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视频标签：第十一届全国高中
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《贝叶斯公式》湖南—吴
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湖南—吴浩—设计—贝叶斯公式
| 教学设计标题： 贝叶斯公式 | ||
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教学内容解析： 本节内容选自普通高中教科书人教A版《数学》选择性必修第三册，是在条件概率的基础上对复杂事件概率的进一步研究.贝叶斯公式与实际生活联系紧密，对该内容的学习能让学生进一步提升数学抽象、数学建模的核心素养.同时，能让学生感受数学的应用价值，加强学生运用数学知识分析、解决问题的意识. |
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学生学情分析： 学生已完成条件概率、概率乘法公式和全概率公式的学习，而贝叶斯公式的推导需以上述知识为基础.学生也多次体验过从具体问题中抽象出概率模型的过程，完全具备在教师的引导下，探究学习贝叶斯公式的条件. |
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教学目标设置： 1.借助实例，理解贝叶斯公式的推导过程，掌握公式结构特征； 2.在抽象概率模型的过程中，巩固条件概率有关内容，发展学生数学抽象的核心素养； 3.体会贝叶斯公式在解决问题过程中的作用，感受数学的应用价值，增强数学知识的应用意识，激发学习兴趣. |
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教学策略分析： 1.借助几何图形巧妙地实现了概率计算的“可视化”，为引出贝叶斯公式埋下伏笔，为学生推理和构建模型提供了思维基础. 2.学生通过自主思考与合作探究相结合的方式，理解贝叶斯公式与条件概率有关知识的联系，感悟贝叶斯公式的内涵. 3.引例、例题、练习、作业中的素材选取均与实际生活联系紧密，让学生在运用所学知识解决问题的同时，充分感受数学的应用价值. |
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教学过程 |
师生活动 | 设计意图 |
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一、新课引入 美国心理学家卡尼曼在《思考，快与慢》一书中，详细分析了影响人们制定决策的有关因素，并因这一研究获得了2002年的诺贝尔经济学奖.大家是否好奇作为心理学家的他是如何拿到经济学奖的呢？我们不妨来思考一个他在书中提到的问题：某人⾮常腼腆，少⾔寡语，他做事井井有条，专注细节。在图书管理员和农民两种职业中，你认为他更可能从事哪种职业？（二者必居其一） 追问：你的判断依据是什么？ 为了更理性地分析这个问题。我们需要了解更多的信息： 条件1：事实上，卡尼曼进行这项调查时,美国农民与图书馆管理员的人数比例为20：1. 条件2：农民中性格符合条件的占比10%,在图书管理员中这一比例为40%. 结合以上背景，如何求出此人为图书馆管理员的概率呢？ 我们不妨借助这样一个面积为1矩形来分析这个问题，首先，将矩形分成面积为1：20的两个部分用来，表示管理员和农民. |
教师以心理学家研究的问题为引入，学生根据所给信息给出自己的判断及依据. 教师引导学生发现问题：问题中某人的职业需要考虑的若干因素. 教师补充相关信息并提出问题：如何求出此人为图书馆管理员的概率？ 学生在教师的引导下，借助直观图形，通过可视化的手段引导学生分析问题并最终解决问题. |
用一个心理学研究课题作为引入，新颖的问题能使学生兴趣盎然地进入学习情境. 对于引入的问题，学生从直接判断到理性分析的过程也是用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界的过程.这一设计体现了《课程标准》的要求. |
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接下来，我们将两类人群中，性格符合描述的比例分别用红色来标记. 如此一来，此人为图书馆管理员的概率可以表示为如图所示的面积之比. 结合已知条件我们如何来计算这一比值呢？ 不难发现，此人为管理员的概率可以表示为： 可以看到，尽管图书管理员中性格特点符合要求的比例要高于农民群体，但这也抵不过农民的总人数多.卡尼曼将这种由刻板印象快速做出的判断称之为“非理性认知”，而通过精确的数学计算，我们能够更理性地做出选择. |
《课程标准》指出，直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础. 借助几何图形实现复杂事件的概率分析与计算的“可视化”，在解决问题的同时发展学生直观想象的核心素养. |
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二、新知探究 从以上问题的分析过程中还能发现这样一个现象：当我们了解了两类人群的人数比例后，便对此人为管理员的概率有了一个初步的结论，即1/21,但当我们再结合他的性格特点，以及两类人群众性格符合这一描述的比例，我们又可以对刚刚得到的概率进行修正. 接下来，我们从上述过程中抽象出概率模型：设A表示“甲是图书馆管理员”，B表示事件“甲的性格特点符合上述表述”.我们计算得到的概率其实是 . 你能发现上述计算过程与条件概率计算公式之间的联系吗？ 根据条件概率的定义： . 实际上，我们通过概率的乘法公式 来计算 ,通过全概率公式. 来计算 .因此， 这便是我们今天要研究的贝叶斯公式： 一般地，设 是一组两两互斥的事件， ，且 . 则对任意的事件 , ，有： . 从结构上来看，贝叶斯公式描述了两个条件概率 与 之间的关系. 从意义上来看，我们将公式中的 称为先验概率，也就是我们基于最初的条件，对事件 发生的概率的一个主观判断. 称为后验概率.即在事件 发生后，我们对事件 发生的概率的重新评估. |
教师引导学生从事件发生的概率在条件更详细时发生变化这一视角再次回顾上述问题，并逐步抽象出概率模型. 学生回顾已学知识，积极思考上述概率的计算过程与条件概率的计算公式之间的联系.教师适时引导，让学生通过思考、讨论理解概率的乘法公式和全概率公式在上述过程中的作用. 教师类比推导得到的概率公式，给出一般情况下的贝叶斯公式.并引导学生结合韦恩图理解公式的结构特征； 联系引入中的问题，引导学生发现并理解贝叶斯公式的内涵. |
在具体的解答过程中引导学生用数学语言表述解答过程，抽象出具体的概率模型，有助于培养学生数学抽象的核心素养. 建构主义理论认为，教师在创设情境的过程中要提示新旧知识之间联系的线索，帮助学生建构当前所学知识的意义. 引导学生思考条件概率的定义与计算过程间的关系意义正在与此. 从结构与意义两个层面来辨析新知，两者相辅相成.掌握结构特征是理解其意义的基础；而体会其意义也有助于学生掌握公式的结构特征. |
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三、典例分析 例1 假设某种疾病的发病率是0.001.现有一种试剂可以检验患者是否得病，其准确率是0.99，即患者确实得病的情况下，它有99%的可能呈现阳性.其误报率是1%，即在患者没得病的情况下，它有1%的可能呈现阳性.现有某人的检验结果为阳性，请问他确实患病的概率是多少？ 分析：不妨将患病记为事件A，检验结果呈现阳性记为事件B，需计算 . 依题意： ，故： . 故在某人检验结果为阳性的条件下，他确实患病的概率为9.02%. 也就是说，某人在检验结果为阳性的条件下，确实患病的概率只有9.02%.这意味着阳性有着非常高的误诊率，你认为造成这一现象的原因是什么呢？ 如何有效的降低误诊率呢？ 通过解决上述问题，我们可以发现借助贝叶斯公式来计算概率的一般步骤如下： 1、 辨别出问题中的事件 与事件 .其中，事件 需要满足两两互斥且和事件为整个样本空间；事件 即我们得到的新的信息. 2、 根据条件得到先验概率以及公式中相关条件概率； 3、 代入公式计算. |
教师引导学生分析问题，寻找所给条件与贝叶斯公式之间的关系，并借助公式解决问题. 学生在解决问题的基础上，结合实际情况思考如何提高检测的准确率. 教师根据学生提出的方案借助技术软件直观展示在此条件下概率变化情况并引导学生发现提高先验概率是提高后验概率的有效手段. 学生回顾分析、解决问题的过程，在教师的引导下总结应用贝叶斯公式的一般步骤. |
具体例题的分析可以让学生熟悉贝叶斯公式的结构特征及意义.应用所学知识对生活中常见的问题进行探究可以让学生再次感受数学的应用价值. 从数学的角度思考如何提高检验过程中的准确率是用数学的思维分析世界的具体体现.在感受数学应用价值的同时，也增强了学生学习数学的获得感. 从具体的解题过程中提炼出解决问题的一般步骤，有助于培养学生的逻辑推理能力，也让学生对新知的应用能落到实处. |
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例2 在一个抽奖游戏中，编号1，2，3的三个外观相同的箱子中只有一个有奖品（主持人知道编号）.你可以从三个箱子中随机选择一个箱子，在你打开箱子之前，主持人从剩下的两个箱子中打开一个空箱子（如剩下两个都是空箱，主持人随机打开一个）.现在给你一次重新选择的机会，你是坚持原来的选择，还是改选另一个箱子？ 分析：分别设1，2，3号箱有奖品为事件 .不妨设主持人打开的是3号箱并设为事件 ，设你选择的是1号箱. 依题意， . . . . 因此，在主持人打开一个空箱子后，我们改选获奖的概率更大. 事实上，主持人打开的空箱子给我们提供了新的有用信息，抽奖人需要根据这一信息，得到后验概率，并据此修正自己的选择以提高成功概率. |
学生直接给出自己的判断并说明理由.教师引导学生借助贝叶斯公式进行严谨的推理. 在学生解决问题后 教师引导学生体会贝叶斯公式的思想并讲述贝叶斯公式在人工智能等领域的重要作用. |
让学生探究一个情形更为复杂的问题在巩固所学知识的同时也可以检验学生的方法迁移能力. 决策制定的例题也与引入的问题相呼应.学生在解答问题的同时能深刻体会到贝叶斯公式的思想. |
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四、课堂练习 三批同样规格的产品，第一批占40%，次品率5%；第二批占30%次品率4%；第三批占30%，次品率6%.从这三批此的产品中任选1件. （1）求这件产品是次品的概率； （2）若取到的产品为次品，求它来自于第一批产品的概率. |
学生独立完成练习的解答过程.教师适时点拨存在疑问的学生. | 课堂练习在检验学生学习效果的同时可以加深学生对所学知识的理解. |
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五、课堂小结 知识小结：贝叶斯公式 . 思想方法小结： 1.贝叶斯公式的应用步骤； 2.贝叶斯公式中的数学思想. |
教师带领学生从知识和思想方法两个方面总结所学内容. |
引导学生从知识与思维方法两个维度对所学内容进行总结，有利于学生构建完备的知识体系. |
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六、课后作业 1.在A,B,C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%,5%,4%的人患流感.已知三个地区的人口比例为5：7：8，现从这三个地区中任选一人. （1）求这个人患流感的概率； （2）如果此人患流感，他更可能来自于哪个地区？ 2.查阅资料，了解贝叶斯方法、人工智能与贝叶斯公式的联系 |
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七、板书设计： 贝叶斯公式 一、贝叶斯公式： 二、贝叶斯公式的应用步骤： 1、 辨别出问题中的事件 与事件 . 2、 根据条件得到先验概率以及公式中相关条件概率； 3、 代入公式计算. |
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视频来源：优质课网 www.youzhik.com
