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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《探究函数y=ax+b_x的图像与性质》海南—叶
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海南—叶穗—设计—探究函数y=ax+b_x的图像与性质
探究函数的图象与性质教学设计
人教A版高中数学必修第一册
海南中学 叶穗
一、教学内容解析
（一）内容
函数的图象、性质与变形。
（二）内容解析
内容的本质：对勾函数是由正比例函数和反比例函数通过加法运算得到的新函数，是生活中常见的一类函数模型，因其结构的独特性，与两类构成它的函数之间有着密切的联系，能够与基本不等式相结合解决实际问题，弥补基本不等式在取等时的不足，可研究的性质较为丰富，可变形的空间较大，能够辅助研究的模型种类较多，既可以从函数图象的角度研究性质，也可通过结构与性质的分析研究函数图象。
从函数结构上分析，当
时，函数图象均呈“对勾形状”，因其结构相似，此类函数的分析研究思路一致；从变化趋势上分析，对勾函数的变化趋势可以通过对正比例函数与反比例函数的叠加分析推测，利用基本不等式取等条件时，取得的特殊点处，刚好也是两个基本初等函数的交点处等同横坐标；从图象位置上分析，对勾函数因其始终位于两个基本初等函数的上方，也可利用图象辅助观察出两条渐近线，从而获取绘制对勾函数图象的关键要素，其中渐近线也可以涉及到极限分析的范畴；从函数变形上分析，部分分式函数可通过常数分离化为对勾函数，运用对勾函数的图象与性质可研究此类分式函数模型，建立函数结构变形与函数性质之间的桥梁。
蕴含的数学思想和方法：总结归纳研究函数的一般路径，用一般思想方法引领学生探究，发展学生的一般观念，是培养学生数学核心素养的有效措施，在回顾和强化研究函数的一般路径，形成系统的研究思路，依据“事实—概念—性质—结构—应用”这一明线路径，选取性质与结构为主线，引导学生自主探究函数
的图象与性质，蕴含着类比、化归等思想方法，培养了学生直观想象、逻辑推理和数学抽象等核心素养；在探究正比例函数和反比例函数对对勾函数图象影响的过程中，学生经历直观观察、性质剖析，从变化趋势和位置关系，挖掘研究结构，渗透数形结合等思想方法，培养了学生直观想象、逻辑推理等核心素养；在对于分式函数变形以及开放式变形探究活动中，给学生自由想象的空间，增强学生逻辑推理能力，提升学生思维的灵活性，培养了逻辑推理等核心素养。
知识的上下位关系：对勾函数是一类重要的数学模型，教材虽未作过多介绍，仅有内容编排在人教A版高中数学必修第一册第三章《函数概念与性质》中探究与发现一栏，是《普通高中数学课程标准（2017年版）》要求的“数学建模活动与数学探究活动”的一部分，基于幂函数的学习基础，带着研究函数路径的三个问题，从研究对勾函数的结构入手分析对勾函数的图象与性质，重在让学生经历探究、发现的过程与方法、形成探究的路径和意识，积累探究问题的经验，为后续的基本初等函数的研究作铺垫。
（三）教学重点
对勾函数
的图象与性质，对勾函数结构变形与分析。
二、教学目标设置
（一）课时目标
（1）探究函数
的图象与性质；
（2）探究函数
和函数
对函数图象的影响；
（3）探究函数
的图象与性质；
（4）探究函数
的结构与变形。
（二）目标解析
达成以上目标的标志是：
-
学生能通过信息技术绘制函数的图象，通过直观感知、操作确认，抽象、归纳出该函数的性质，能用代数证明这些性质。
-
学生能通过绘图直观感知，结合函数和函数的图象变化趋势和位置关系，对对勾函数的变化趋势影响进行分析，揭示两类函数与对勾函数之间的内在联系。
-
学生借助Geogbra软件自主选择参数
，绘制的函数图象，发现并归纳总结该函数的图象特征与函数性质，深化研究函数的一般思路。
-
能在函数的基础上进行结构变形，挖掘不同参数下的函数图象的不同，猜测函数的图象并利用信息技术绘制验证其猜想，获取利用结构研究函数图象与性质的一般方法。
三、学生学情分析
（一）学情分析
函数
对于学生而言并不陌生，在此之前，学生已掌握了函数的概念与性质，初步积累了研究基本初等函数的基本路径，能够总结简单的函数性质，利用基本不等式研究其特殊点，通过观察也能发现两条渐近线。但学生对研究函数的一般思路与方法还缺乏清晰的认知，没有完全形成研究函数的一般观念，不能从量与量之间的关系和结构思考问题，还停留在研究定义域、值域等性质中，不能深刻挖掘函数
与函数
、函数
的联系，给自主探究过程带来了困难。
基于学生深入研究函数
的图象、结构与性质，学生自然会对
的取值对函数
图象的影响产生好奇，自主探究函数
的图象与性质可完成度较高，但要注意部分学生将两类函数的研究思路割裂开来，忽视函数
和函数
的结构分析，不能最大限度地发挥“形”与“数”相结合的研究思路；利用ggb软件绘制并观察函数
的图象，学生自然能发现图象与对勾函数图象类似，进而从运算角度研究这两个函数之间的关系，将未知的函数转化为已知的函数，但学生的逻辑推理论证的能力不足，完成程度还有待提升。
基于以上诊断，解决以上问题的关键在于引导学生动手操作，直观观察图象，发现、归纳和总结性质，积累研究函数的经验，提升挖掘结构分析能力，体会数学研究过程的完整性。
（二）教学难点
研究函数路径的回顾，函数
的变形分析。
四、教学策略分析
（一）教学支持条件分析
使用Microsoft Office PowerPoint、希沃白板，运用Geogbra多媒体技术动态演示，直观呈现，能帮助学生更好的分析问题、解决问题。
（二）教学材料组织分析
合理利用教材探究与发现一栏切入课题，衔接研究函数的基本路径回顾，引导学生体会研究过程中应加入更多灵活的思考，从更为宏观的角度掌握一般的数学研究方法，挖掘函数的图象与性质之间的联系，提供研究函数结构的基本思路，选取适应的几类函数供学生验证深入，引导学生自主构造函数，观察图象验证猜想，将函数研究路径进一步推广升华。
（三）教学方法分析
本节课主要为探究性课堂，学生基础整体较为良好，能够研究对勾函数的图象与基本性质，课堂以学生为主体，重心落在让学生自主探究，从函数图象、性质与结构等多个方面深入研究对勾函数，大胆放手让学生成为课堂“小老师”，教师作辅助者、引导者、补充者等角色。
（四）问题串设计分析
本节课主要设计两个关键问题和四个探究活动，关键问题分别为总结归纳研究函数的基本路径，以及从对勾函数的结构发现函数
和函数
对对勾函数变化趋势的影响，关键问题中有多个小追问逐步引导；四个探究遵循研究函数
的图象与性质，过渡到研究参数
对函数
图象的影响，再从结构与代数中发现函数
的图象与对勾函数图象之间的联系，最后一个探究则要求学生自主设计一个新函数，猜想其函数图象，利用信息技术绘制图象，并谈谈你的发现。
（五）学习反馈分析
课后提供有研究意义的思考题给学生多次探究验证，获取系统的研究函数手段，形成宏观研究数学的一般思路。
五、教学过程
（一）创设情境，引出课题
引导语：近期海南爆发疫情，海口人民的朋友圈都被这个“贴贴”刷屏了，小明是一名初升高的学生，疫情期间，他居家自学高一数学，当他翻到必修第一册92页，其探究与发现一栏要求研究一个新的函数。
师：小明问到，除了基本的性质外，还可以怎么系统地研究这个函数？今天请各位同学充当小明的老师，来一起为小明答疑解惑。为解决小明的疑惑，我们需要深入思考研究函数的一般路径与方法。
【问题1】给你一个新函数，你将如何研究？请总结归纳下研究函数的基本路径。
生:回答较为单一，但基本都能关注到图像和性质这两个关键要素。
师（引导完善）：研究函数，通常最先接触的是函数在生活中的案例体现，这些我们称为事实，经由事实我们抽象出了函数的概念，进而研究函数的图象与性质，而在运算和变形的过程中，又研究了函数的结构，最后才是函数的应用。根据之前研究基本初等函数所积累的经验，我们可以明确为研究函数的基本路径为“事实—概念—性质(关系)—结构(联系)—应用”，因此，图象、定义域、单调性这些性质仅仅只是研究函数路径中的一环。
师生活动：有趣且紧跟时事的引入，有效吸引学生的注意力，通过提问启发思考，引导学生回顾和完善研究函数的路径，从而获得研究函数的一般方法和路径。
设计意图：引言提供了小明的知识储备背景，表明了小明在自学情况下，已经研究过了基本初等函数，为后续的研究路径回归奠定了基础，学生对于研究函数的路径回顾大多数较为单一，在他们的认知里，研究函数仅局限于研究其图象与性质，但研究其结构的过程中，能够挖掘更多的发现，学生也将会在后续的研究中体会到，路径不是一条明确定死的路线，研究过程中应加入更多灵活的思考，从更为宏观的角度掌握一般的数学研究方法。课堂中，要求学生自我定位为帮助小明研究函数的“小老师”，而不局限于回答问题的“学生”，学生定位的不同会影响学生思考的深度。
（二）明确任务，合作探究
探究1：本节课我们将以函数为例展开研究，利用信息技术（Geogbra软件）绘制的图象，观察函数图象的形状特征，并研究该函数的基本性质。
师：课前老师已经要求同学们完成这项任务，我们请一位小组来分享下研究的结果。
生：（小组分享并罗列研究出来的性质）。
师（追问1）：观察该函数的图象，形状如何？
生：函数图象整体呈两个“对勾”的形状。（学生若回答其他形状也可加以鼓励和引导）
师（追问2）：特殊点和渐近线是如何获得的呢？
生：（学生基本能回答利用基本不等式研究函数的特殊点，但渐近线他们目前没有能力证明，只能通过利用信息技术绘图观察或者简单利用极限原理推理得出来）
师（鼓励引导）：这个函数称为对勾函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“耐克函数”、“双飞燕函数”、“海鸥函数”。
师：还有没有其他小组有其他的发现？
生：（若学生没有其余发现，教师可继续引导，若有不同的发现，鼓励其分享）
设计意图：每个学生小组（5人）配备一台笔记本电脑，学生可使用Geogbra软件绘图观察并研究其图象性质，参与图像生成和发现规律的过程，再借助函数表达式证明函数的性质，强化学生从基于形的直观和基于数的运算两个角度，研究函数的意识，帮助学生提高数学表达能力，发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养。由于时间有限，性质的发现和证明已要求学生在课前完成。
（三）深入挖掘，动态研究
引导语：我们发现，渐近线
刚好是构成对勾函数的一部分，即函数
是由正比例函数
和反比例函数
叠加而成的函数。
【问题2】这两个函数是否对对勾函数的变化趋势有影响?请同学们利用ggb软件绘制出函数
和函数
的图象，从变化趋势、图象位置等角度展开研究，并谈谈你的发现。
生：（学生探究不设限，自由分享）
师：（若学生已能自己观察出以下几点，教师作简单点评，若未能观察出来，教师辅助引导，如有其它发现，教师加以鼓励）可从函数结构分析图象的位置关系，例如当
时，
，函数
的图像始终位于函数
的图像上方且永远都不接近，因此可以从这个角度分析出来直线
是对勾函数的渐近线，所以在第一象限中，对勾函数的图象也被夹在这两个图象之间了。
也可从变化趋势推测出对勾函数的变化趋势，例如函数y=x是匀速增长，:函数
是单调递减的，当
(0,1)，函数
递减速度较快，此时反比例函数占主要影响，因此对勾函数在
(0,1)上单调递减，当
时，函数
递减速度减慢，此时一次函数占主要影响，对勾函数单调递增。
还可以研究渐近线，例如当
，故
，
轴为一条渐近线；当
，故
，则
为另一条渐近线。由对称性可得，当
时也满足。
师：挖掘函数的结构，从对图象的感知，再由性质去验证，是研究函数中最重要的思想方法，即数形结合。
师生活动：求学生在限定时间内进行小组讨论，小组记录员针对不同的讨论结果进行归纳分析，最后小组代表总结并证明自己发现的性质，提出遇到的疑问。学生先独立思考，发表意见，教师投屏展示学生ggb研究结果，倾听学生的想法，给出评价，通过问题2,启发学生体会两个函数相加构成的新函数的性质与这两个函数性质之间的联系，构建起代数研究图像变化的关键桥。
设计意图：引导学生由静态视角转移到动态视角，从数学运算的角度挖掘函数的结构，利用ggb作图观察函数的变化趋势，为后续利用此类性质研究一般型对勾函数图象与性质的规律总结，奠定了基础，加深学生数形结合思想的渗透，打破研究路径的死板性，拓展学生看待问题的视野，发展了学生的直观想象和数学抽象素养。
（四）由数辨形，由形断数
引导语：函数
的图象是否也是呈现对勾的形式呢？
探究2：各小组自主选定参数
利用信息技术绘制
的函数图象，谈谈你的发现，并总结其函数性质。
小组分享（若学生分享内容不足，教师可通过追问让其补充完整）：
追问1：从你绘制的图象中，观察出什么规律？
追问2：这类函数为什么都呈现出相似的图象？原理是什么？
追问3：请你总结这类函数的性质。
师（可补充）：这类函数的结构与函数
的结构相似，因此不论如何选定参数，这类函数的形状都是类似的，其研究思路应是一致的。
师生活动：学生自主选用参数，利用ggb软件绘图探究，也可引导学生设置游标尺研究参数变化时对函数图象的影响，并类比函数的研究总结函数的性质，要求达到学生亲身经历观察、发现与验证，利用数形结合研究函数的过程。
设计意图：学生类比
的研究过程，对
的研究有迹可循，发现此类函数解析式结构与图象形状均类似，信息技术帮助学生直观研究参数
和参数
对函数的影响，其中参数
影响了对勾函数的渐近线，即影响了函数图像的范围，参数
和参数
共同影响了函数的值域和单调性，挖掘影响对勾函数图像的几个关键要素。
（五）研究结构，变形升华
探究3：我们深入研究函数
的结构，也许会有不同的发现，请同学们利用信息技术绘制并观察函数
的图象，说出你的发现.
师：有没有小组谈谈你们的发现？
生：我们发现它和对勾函数的图象是类似的。
师：原理是什么呢？
生(若学生分享不全面，教师再作补充）：当
时，由
可得
，因此可以将函数化简为对勾函数的形式，由基本不等式可得第一象限的特殊点为
.图像由
向左平移1个单位，向下平移1个单位，则渐近线为直线
=-1和直线
,对称中心为
。
师：有些函数通过变形为对勾型函数，便可以利用对勾函数的性质去研究。经过研究，我们对此类对勾函数的图像与性质有了一定的了解，对勾函数其实就是一类基本不等式的函数模型，但这还不是对勾函数能呈现给我们的全貌，接下来我们将研究对勾函数的结构，看看能从中还能获取哪些有趣的发现。
探究4：请依据以下要求，设计一个新函数，猜想其函数图象，利用信息技术绘制图象，并谈谈你的发现.
(1)变换函数
的参数
(2)对其结构进行变形（通分、平方、倒数......）
生：（开放式探究，学生自由分享）
师生活动：教师放手交给学生探究，将思路集中在对函数
的结构变形中，让学生上台投屏分享，共同交流猜想与验证的过程。
设计意图：注意引导学生根据之前对该类函数已有的研究经验，进行结构变形，猜想验证，加深结构研究，体会图象变换，放手让学生自主探究，鼓励学生间相互合作，给学生自由想象的空间，增强学生逻辑推理能力，倡导积极主动、勇于探索的学习方式，提升学生思维的灵活性。
（六）小结提升，形成结构
-
本节课要研究的主要内容是什么?
-
本节课你是如何构建研究的路径?采取了怎样的研究手段?
设计意图：通过概括研究函数的研究路径，梳理本节课的主要知识内容，体会数学的整体性。
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