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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《超几何分布》重庆—何
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重庆—何春强—设计—超几何分布
§7.4.2 “超几何分布”教学设计
人民教育出版社 普通高中教科书（A版） 选择性必修第三册
【授课内容】 超几何分布
【课时与课型】 一课时 新授课
【教学内容解析】
超几何分布是人民教育出版社普通高中教科书（A版）选择性必修第三册第七章第4节第2课时内容，是统计学上的一种离散型随机变量的概率分布，它与二项分布一样，都是描述从有限（
）个物件（其中包含
个指定种类的物件）中抽出
个物件，成功抽出该指定种类物件次数的概率分布情况.不同的是，二项分布采用有放回抽样，超几何分布采用不放回抽样！因其概率形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关，故称为超几何分布.
超几何分布与二项分布都是特殊的离散型随机变量的分布，在日常生活中大量存在，他们有着相同的数学期望，但抽取方式不同，超几何分布更集中在均值附近.当远远小于时，每抽取一次后，放回与不放回对的影响都很小，此时，超几何分布可以与二项分布近似.
超几何分布的学习安排在一般离散型随机变量及其分布列之后，紧接二项分布，通过具体实例，去感受“放回抽样”与“不放回抽样”的区别与联系，这种由一般到特殊，由抽象到具象的辨析对比，自然关注了学生数学抽象、逻辑推理等数学核心素养，也是对本章知识的一种深度理解与完美总结.
教学重点：超几何分布，超几何分布的分布列和均值.
【教学目标设置】
1.通过对比放回和不放回抽样说明超几何分布的特征，能求超几何分布的分布列、均值，发展学生的数学建模、数学抽象素养；
2.能用自己的语言解释二项分布与超几何分布的区别与联系，并能够正确选择模型解决实际问题，发展学生的数学建模素养.
【学生学情分析】
学生在学习本节内容之前，已经完整的学习了一般离散型随机变量及其分布列的内容，明确了研究离散型随机变量及其分布列的一般方法，同时，通过二项分布的学习，学生对“有放回”摸球试验已经非常熟悉，这些都有利于我们进行“不放回”摸球试验的教学.但超几何分布的概率依托于古典概型，要借助组合数的计算，特别是对超几何分布的数字特征进行研究时，公式推理较复杂，计算量也较大.另外，在对二项分布和超几何分布进行对比分析时，要求学生有较强的数学建模和数学抽象的能力.通过设置有趣的情境案例，借助PPT、Excel等多媒体软件，激发学生的学习兴趣，提升数字运算效率，让学生直观感受二项分布与超几何分布的区别与联系.
教学难点：在实际问题中抽象出模型的特征；超几何分布期望的推导以及区别二项分布和超几何分布.
【教学策略分析】
为了便于教学的顺利切入和展开，本节课从一个有趣的生活案例引入，通过对“有放回”和“不放回”两种抽奖方式的对比分析，在学生作“决策”的过程中“悄无声息”的提出超几何分布的概念，并在此基础上引导学生猜想、推理论证超几何分布的均值.再通过一个数据较大的摸球模型，借助Excel计算功能，让学生感受超几何分布和二项分布的区别与联系。这样分散了教学重难点，通过由特殊到一般再到特殊的层层推进，设计“问题串”教学，以问题的提出，问题的解决为主线，始终在学生的“最近发展区”设置问题，通过不断探究、发现，在师生互动，生生互动中完成超几何分布的探究与学习。
为了调动学生的探究积极性，使每个学生都经历数学模型的抽象过程，遵循以学生为主体，教师是课堂活动的组织者、引导者和参与者的课堂教学原则，教学上采取“启发式教学”方法，学生主要采取自主学习和小组合作相结合的“探究式学习法”，小组合作也为不同认知的学生提供了学习的机会和帮助.
【教学过程设计】
引导语 上一节我们认识了建立在
重伯努利试验基础上的二项分布，本节课我们来认识另外一种常见的概率分布模型.
环节一 实例引入，提出问题
问题1 双11即将来临，某商家拟推出一项抽奖优惠活动：在一个不透明的盒子里放有外观相同的10个乒乓球，其中有3个乒乓球的表面上写有“奖”字，顾客消费满500元便可获得两次抽奖机会，每次从盒中任意摸取一个球，抽中带有“奖”字的乒乓球，均可获得50元现金代用券.现有两种抽奖方式可供选择：有放回抽奖和不放回抽奖，请同学们利用所学数学知识，给出合理的决策方案.
师生活动 每组同学分成两个小组，分别进行“有放回抽奖”和“不放回抽奖”两种方案的计算，然后再进行小组讨论，给出合理的决策方案.
记中奖的次数为
，奖金为
元，则
.
事实上，若采用有放回抽奖，每次中奖的概率均为0.3，且各次抽取的结果相互独立，此时服从二项分布，即
，
，
（元），其中
.
若采用不放回抽奖，则每次抽取时条件不同，且各次抽取的结果不独立，不满足重伯努利试验的特征，此时不服从二项分布，只能根据古典概型求的分布列.而在不放回抽奖过程中，逐个不放回抽取2个乒乓球和一次性抽取2个乒乓球，结果相同，故可用如下方法求的分布列.
从10个乒乓球中任取2个共有
种不同的取法，中奖个数的可能取值为0，1，2.恰有
个中奖的取法有
种.
.
即随机变量
的分布列为
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，（元），
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.
件，其中有
件次品．从件产品中随机抽取件(不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为
.
，则称随机变量服从超几何分布，记作
.
中各个字母的含义是什么？－总体中的个体总数；－总体中的特殊个体总数（如次品总数）；－样本容量；
－样本中的特殊个体数（如次品数）.
.
在本题中各是多少？，则服从超几何分布，且
，的分布列为
.
.
就可以根据公式求出
取不同值时的概率.
服从超几何分布，则可以解释为从包含件次品的
件产品中，不放回地随机抽取件产品中的次品数.令
，则
是
件产品的
是抽取的
件产品的次品率，猜想
，即
.
，有
.
，所以
.
.表示样本中黄球的个数.的分布列及其数学期望；服从什么分布？服从什么分布？
；若采用不放回摸球，则各次试验的结果不独立，
服从超几何分布.
，则的分布列为
.
服从超几何分布，则的分布列为
.
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| 0 | 0.00004 | 0.00001 | 11 | 0.07099 | 0.06376 |
| 1 | 0.00049 | 0.00015 | 12 | 0.03550 | 0.02667 |
| 2 | 0.00309 | 0.00135 | 13 | 0.01456 | 0.00867 |
| 3 | 0.01235 | 0.00714 | 14 | 0.00485 | 0.00217 |
| 4 | 0.03499 | 0.02551 | 15 | 0.00129 | 0.00041 |
| 5 | 0.07465 | 0.06530 | 16 | 0.00027 | 0.00006 |
| 6 | 0.12441 | 0.12422 | 17 | 0.00004 | 0.00001 |
| 7 | 0.16588 | 0.17972 | 18 | 0.00000 | 0.00000 |
| 8 | 0.17971 | 0.20078 | 19 | 0.00000 | 0.00000 |
| 9 | 0.15974 | 0.17483 | 20 | 0.00000 | 0.00000 |
| 10 | 0.11714 | 0.11924 |
是一个随机变量，根据上表数据计算得
.
.分别服从二项分布和超几何分布，这两种分布有相等的均值（都是8），但从两种分布的概率分布图（如下图）看，通过统计比较两种不同分布在随机变量取值在5－11的概率，可以发现超几何分布更集中在均值附近.| 抽样方式 |
的分布 |
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| 有放回 | 二项分布 |
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| 无放回 | 超几何分布 |
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件产品中次品数的分布规律，有放回抽取是二项分布，不放回抽取是超几何分布.两个分布的均值相同，但由于
，因此超几何分布的方差小于二项分布的方差，即超几何分布取值更集中于均值附近.充分大，且远远小于时，各次抽样结果彼此影响很小，可以近似认为是相互独立的.因此，超几何分布可以用二项分布近似.从方差角度看，由于
，两个分布的方差也近似相等.
和
，而二项分布只需要知道
即可.
.
.件产品中次品数的分布规律，有放回抽取是二项分布，不放回抽取是超几何分布，且二项分布与超几何分布的均值相等，超几何分布的方差更小.服从超几何分布的是（ ）
是首次摸出黑球时的总次数
的均值；
的均值.
.
.
.
的分布列为|
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，服从超几何分布，
，∴
.
，∴
，
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【板书设计】视频来源：优质课网 www.youzhik.com
