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视频标签：第十一届全国高中
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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《函数的奇偶性（1）》上海—刘
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上海—刘瑞雪—设计—函数的奇偶性（1）
函数的奇偶性(1) 教学设计说明
上海市上海中学 刘瑞雪
函数奇偶性的概念及证明.
（二）内容解析
本节课的内容选自上海教育出版社出版的普通高中教科书《数学》必修第一册第五章第二节《函数的基本性质》，是“函数的奇偶性”的第1课时.
上海教育出版社出版的2020版普通高中教科书《数学》在保持原有上海“二期课改”教材特色的前提下，积极吸收融合全国其他教材的亮点，在“函数”单元的设计上呈现出以下两个特色：第一，运算与函数相对独立.将“幂、指数与对数”从函数中分离出来单独作为一章(第三章)，如同后续教材将三角从三角函数中分离出来，强调“运算”和“函数”各自的特性.第二，将“从具体到抽象再回到具体，从特殊到一般再回到特殊”这种符合学生数学学习的心理体验和认知规律的思想方法贯穿始终.“函数”单元的教学内容包括：①幂函数、指数函数与对数函数；②函数的概念、性质及应用；③三角函数.新教材将教学顺序由原来的②①③调整为①②③，类似的编排设计在后续的“数列”单元中同样有所体现.
本节课作为研究函数基本性质的起始课程，在“函数”单元的学习中有着承上启下的重要作用.教材在“4.1幂函数”中，给出了“
的图像关于
轴成轴对称”这一结论的代数论证，为本节课能顺利开展做好了铺垫；在“5.1函数”中,教材展示了如何从已经学过的各种具体函数中归纳共性，抽象概括出函数的概念的方法，这种从形到数，从特殊到一般的重要思想在本节课中将同样得以体现.函数的奇偶性把图像的对称性转化为代数关系，并用严格的符号语言表述，实现了从定性到定量的转化，其中涉及到的研究方法以及表达方式是极具代表性的，为学生规范地表达自己的思想提供了一个范例，也为后续研究函数的单调性等函数的其他重要性质做好了铺垫.
本节课围绕着核心目标“了解函数奇偶性概念的形成”展开.探究过程从具体的幂函数着手，由幂函数图像的对称性抽象概括出“函数的图像关于
轴成轴对称”这一条件的等价表达形式，并给出完整的探究过程，引导学生体验从几何直观到数学符号语言的表述再到严格论证的过程，感受数学证明的严谨性和规范性，启发学生在偶函数概念形成的示范下，经历自主探究、小组讨论等教学活动，归纳并表达出奇函数的概念，体会函数奇偶性概念定义的合理性.同时，借助微视频向学生介绍函数奇偶性概念的形成与发展，通过数学史的融入助推教学目标，彰显数学中的理性精神及德育价值，促进学生数学抽象、直观想象和逻辑推理等核心素养的发展.
二、教学目标及其解析
（一）教学目标
1.理解偶函数与奇函数的概念与图像特征，能借助函数奇偶性的概念解决简单问题；
2.经历观察、分析、归纳、抽象等思维活动，了解偶函数与奇函数概念形成的思维线索，领悟从特殊到一般、从具体到抽象、数形结合、先猜后证的思想方法，发展数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养；
3.体会合作学习，形成善于探索的思维品质，在感受数学对称美的同时，认识数学的应用价值和文化价值.
教学重点：函数奇偶性概念的形成，偶函数与奇函数的图像特征，函数奇偶性的证明.
教学难点：函数奇偶性概念的形成.
（二）目标解析
对于目标1，学生能基于函数奇偶性的概念，会通过函数的图像判断函数的奇偶性，能借助奇函数、偶函数的图像特征绘制出函数的图像.在简单情形下，会用数学符号语言规范表达一个函数是奇函数或偶函数的证明过程.
对于目标2，引导学生在教学过程中“发现”数学概念.能从具体函数出发，借助幂函数的图像将“函数的图像关于
轴成轴对称”和“函数的图像关于原点成中心对称”的概念抽象成代数表达形式，并将结论一般化，由“形”转“数”，验证猜想的正确性.能在函数奇偶性概念形成的过程中体会研究函数性质的基本思想和方法，并能将其迁移到与函数的奇偶性相类似的问题情境中，灵活解决相关问题.
对于目标3，为学生创造交流平台，借助学生的多元思维构建“对话式”课堂.在探索过程中，小组成员分工协作完成指定任务，各小组之间互相评价研究结果，实现资源共享、思维碰撞，在积极的合作氛围中提高学习效率，在不断地自我追问、新旧知识的不断碰撞中逐步完善知识结构，提升用数学的视角去观察世界、思考世界、表达世界的能力.
三、学生学情分析
本节课的授课对象是上海市上海中学高一年级的学生，他们思维活跃，具备一定的直观想象和逻辑推理能力.学生在初中已经建立起了图形“轴对称”“中心对称”的概念，有一定数量的简单函数的知识储备，在高中阶段学习了幂函数、指数函数与对数函数之后，函数知识又有了新的发展，从中积累的一些研究函数性质的方法为本节课的新知探索提供了认知基础.但高一学生的数学思维发展仍处于由具体到抽象，由感性认识到理性表达的过渡时期，抽象概括能力较弱，难以用自己的语言进行严谨的数学表达.如何在不依赖于具体函数图像的情形下，仅用符号语言精准地表达“函数的图像关于
轴(原点)成轴(中心)对称”这类性质？如何从实例中抽象归纳，发现函数图像的对称性的本质？如何将特殊情形中探究得到的规律推广到一般情形中？这一系列的问题，对学生的抽象、归纳能力要求较高，需要师生在本节课中共同探讨，寻求答案.
四、教学策略分析
根据本节课的教学内容与要求，围绕着相应的教学目标，结合学生的认知能力和特点，本节课确定为以数学知识发生发展过程为载体，以问题为核心的方式构建课堂教学，围绕着下述4个内容展开：①为什么要研究函数的性质；②什么是函数的奇偶性(核心内容)；③数学家是如何研究图像的对称性而形成偶函数和奇函数的概念；④函数的奇偶性有怎样的作用与价值.整节课以数学活动为依托，引导学生经历观察、归纳、猜想、论证等过程，在探索发现、合作交流中自主构建知识结构体系，使其对函数性质的认知螺旋上升.基于此，本节课采用以下教学策略：
教学策略1 注重概念教学，开展深度学习
数学概念是数学学习的基础，是数学思想与方法的载体.但高中阶段的数学概念结构复杂，呈现方式灵活，抽象性强，学生在学习过程中容易出现重记忆轻理解，重应用轻推导等问题.因此，本节课中教师结合学生的认知需求与发展，在新旧知识的衔接处，通过问题链，搭建新概念的不同难度阶梯，有目标、分层次地帮助学生理清知识的来龙去脉，深刻理解、精确表达概念.具体设计如下：
在数学概念的引入部分，通过设计学生课前活动1，帮助学生在收集素材的过程中获得对图像对称性的感性认识，挖掘出数学中隐藏的趣味性、实用性，形成知识的表象.通过对情境共性的抽象，从事物的表象中概括出事物的本质特征，引出函数图像的对称性.然后借助学生课前活动2，引导学生复习幂函数的概念和图像，根据“轴对称”“中心对称”的概念将幂函数
进行分类，其中
，启发学生通过观察分析、抽象归纳，发现规律，提出猜想，并进一步思考如何用符号语言表示“指数为正整数的幂函数的图像关于
轴(原点)对称”这一几何特征，帮助学生发现初中从图像出发得到的“轴对称”“中心对称”的概念其实是缺少便于用来进行代数检验的定义的，激发学生的求知欲，进而对函数奇偶性的概念展开探究性学习.
在数学概念的形成部分，通过探究“函数
，
的图像关于
轴对称”的等价表达形式，引导学生经历“质疑—探疑—解疑—释疑”的学习过程，将从图像特征中得到的描述性语言自然而然地改进为数学符号语言，在循序渐进的体验中实现思维的递进.学生在充分参与偶函数概念形成的基础上结合教师的板书示范，自主调动已有的学习经验，通过深入细致的观察、科学合理的类比、严谨完整的论证后给出奇函数用符号语言表示的定义，体会研究函数性质的一般方法，感悟类比的数学思想.在新概念形成之初，学生往往容易忽略两个问题：一是概念中要求偶(奇)函数的定义域要关于原点对称；二是探究中的“等价”二字意味着我们可以从“形”和“数”两个不同的角度刻画函数的奇偶性.教师通过强调“对任意的
均有
”以及追问“函数的图像关于
轴(原点)对称是函数为偶(奇)函数的什么条件?”引导学生精准把握函数奇偶性概念的本质，熟悉其表述，形成正确的认知结构.然后再借用信息技术将数学史融入课堂教学，引领学生再次经历函数奇偶性概念发生、发展的过程，感受数学知识产生的背景，深化对数学概念的理解，把握函数的奇偶性概念的内涵、外延和价值，使学生能更好地运用高中数学概念教学中获得的知识解决问题，增强自身的探索意识和创新精神.
教学策略2 关注问题转化，提升迁移能力
迁移是数学学习过程的重要组成部分，是促进知识内化不可或缺的重要环节，数学核心素养中的六项基本内容均可以在迁移过程中得以体现，因此培养学生的学习迁移能力实则是在为不断夯实学生的数学核心素养保驾护航.本节课在设计时力求通过合理运用迁移理论，让学生在课堂教学中实现“知一隅，而以三隅反”的效果，能将在一个情境中获得的概念学习策略迁移至相同类型甚至是不同类型的情境中去，促进学生提升个人从单一情境中抽象出一般的数学模型的能力，最终构建个人的数学生活，深化数学核心素养.具体设计如下：
在数学概念的应用环节，本节课作为函数奇偶性的起始课，在例题的设计上更关注学生对新概念的理解，强调解题的规范性与条理性.例1选自课本，两道题目表面上看似简单，实则暗藏玄机，函数的表达形式由概念中的“
”变成了只含字母“
”，借助这个巧妙的设计引导学生学会利用定义等价转化问题，并使用准确的数学符号语言表述论证过程.然后通过追问“函数
是否为一个奇函数”以及“能否在不改变函数表达式的前提下，改变一个条件，使得函数
不是一个偶函数？”启迪学生思维，归纳出“说明一个函数不是偶(奇)函数”的方法以及“函数的定义域关于原点对称是函数为偶(奇)函数的必要非充分条件”这一结论，对函数奇偶性概念进行再认识，充分体会概念中“任意”二字的含义以及函数定义域的重要性.最后再通过课后练习，加深学生对课堂上获得的知识、研究结果、思想方法的理解，使学生能将它们灵活地运用到各种具体情境中解决问题，最终形成稳定的、可迁移的数学思维模式.
教学策略3 渗透评价理念，重视课堂生成
教学评价是数学教学活动的重要组成部分，它既可以引导学生多思考、多创新、多参与，在评价中了解自己学习上的进步与存在的问题，调整自己的学习方法和思维习惯，也可以帮助教师了解学生对知识技能掌握的程度和学生的思维活动的特征，及时改进教师的教学行为，提高学生的学习积极性和紧迫性.本节课借助教学评价串联教学活动，在评价理念的渗透过程中，着重体现了以下两个特点：
一是评价主体多元化.在数学概念的形成部分和应用环节，自主探究、生生合作、师生合作三种学习模式相辅相成.学生在独立思考、自主探究，合作学习、互相纠正，班级汇报、教师指导的学习模式中获得自我评价、同伴评价、教师评价，借助评价信息发现不足，及时调整学习节奏和方式，形成正确的学习方法.
二是评价形式多样化，在概念引入部分的设计上采用边答边评的形式，教师给予学生及时的点评和信息补充，提升学生的学习兴趣、自信心，帮助学生完善知识体系，提升逻辑思维的缜密性；在例1的设计上采用比较评价的形式，教师将学生的书写过程投屏展示，然后再板书示范，引导学生观察比较，在对比中掌握论证表述的精准形式；在探究2的设计上采用答完再评的形式，教师借助延缓评价为学生搭建起一个自由发挥的空间，让学生在课堂上有机会去充分探索新知、获取新知，去分享自己的见解、解题思路，逐渐成长为既具独立性、创造性，又有合作精神、基础扎实的优秀学习者.而每个学生的回答又可以折射出不同的个性色彩，生成更具活力的数学课堂.
五、教学过程设计
学生课前活动1：生活中，具有对称性的图像无处不在.在建筑学中，简单的结构因对称的应用而恢宏稳定，给人一种平衡和谐的视觉感受，是中国建筑最大的特色之一；在品牌标志中，简单的图形因对称的应用而纷繁美丽，有利于快速树立品牌形象，打造知名度.请同学们课前搜索资料，将你熟悉的具有对称性的建筑或品牌标志的图片上传到问卷星链接中：https://www.wjx.cn/vm/mq2TGAt.aspx#
中国建筑及中国企业品牌标志图片展示：
学生课前活动2：请同学们复习幂函数的概念和图像，作出
的图像，其中
取
.
(一)巧设情境、引入新知
如果我们将图1中厦门海沧隧道(世界十大跨海公路隧道)的双连拱部分和图2中中国移动绿色标识部分分别抽象成曲线，并按照图3、图4的方式建立平面直角坐标系，就会发现这两条曲线对应的函数的图像分别关于
轴和原点对称.
图1 厦门海沧隧道 图2 中国移动 图3 图4
【
设计意图】通过具有对称性的中国建筑物和国产品牌标志的真实情境连接教学内容和现实生活，激发学习兴趣，引出研究函数图像的对称性的必要性.学生在感受对称性在生活中应用的普遍性和重要性的同时体会国力的强大，增强民族自豪感.
问题1：在幂函数
中，哪些函数的图像关于
轴对称？哪些函数的图像关于原点对称？
问题2：结合问题1的结果，你能否提出一个猜想？
预设结果：
为偶(奇)数时，幂函数的图像关于
轴(原点)对称.
问题3：以幂函数
为例，思考如何用符号语言表示“函数图像关于
轴(原点)对称”这一几何特征？
思考：问题3中的结论能否作进一步的推广？
【
设计意图】借助幂函数图像的对称性，通过问题链的形式，启迪学生思维，逐步引导学生发现初中从图像出发得到的“轴对称”“中心对称”的概念缺少便于用来进行代数检验的定义，导出引入“函数的奇偶性”概念的必要性.
(二)形成概念、理解辨析
探究1：“函数
，
的图像关于
轴对称”的等价表达形式.
探究1包含：①从图像对称推出关系式；②从关系式推出图像对称.
【
设计意图】在学生经过思考与讨论，从形到数，逐渐接近甚至达到函数图像对称性的代数表达的精确形式时，借助探究1激发学生的批判性思维，引导学生意识到将特殊情形中探究得到的规律推广到一般情形时需要进行严格证明，体会合理猜想与逻辑推理的辨证统一，逐步形成严谨的逻辑思维能力.
学生活动1：请结合①的推理路径图，思考如何证明②.
【推理路径图】
函数
图像上任意一点关于
轴的对称点也在该函数图像上.
对任意给定的
都有
(①：黑色箭头方向；②：红色箭头方向)
【推导过程】①：在函数
的图像上任取一点
则
因为函数
的图像关于
轴对称，所以
关于
轴的对称点
也在图像上，即
即对任意给定的
都有
②：在函数
的图像上任取一点
则
关于
轴的对称点为
.因为
，所以
也在函数
的图像上.即函数
的图像关于
轴对称
【
设计意图】借助推理路径图，揭示思维过程，将问题解决的路径可视化.鼓励学生在①的推理路径图的基础上作出②的推理路径图，将具体函数(幂函数)研究中得到的方法迁移到抽象函数中.引导学生发现探究中的“等价”二字意味着不仅要从图像对称推出关系式还需要从关系式推出图像对称，从“形”和“数”两个不同的角度加深对偶函数定义的理解.使学生在循序渐进的活动体验中，逐渐养成借助直观理解概念，借助逻辑用语进行数学表达、推理论证的思维习惯，提升思维的灵活性、严谨性.
偶函数的定义：对于函数
如果对于其定义域
中任意给定的实数
，都有
并且
就称函数
为偶函数.
偶函数的图像特征：偶函数的图像关于
轴对称.
探究2：“函数
，
的图像关于原点对称”的等价表达形式.
学生活动2：请先自主完成探究2的证明过程，然后以小组为单位交流讨论，互相检查书写过程是否完整、严谨，最后推选一名小组代表在班级层面汇报展示小组的探究结果.
【
设计意图】借助已有的偶函数概念形成的探究经验，引导学生将研究方法进行迁移，自主建构探究奇函数概念的研究方法、证明思路以及符号语言的精准表达方式.通过探究2为学生创设了思考、讨论、类比、概括的良好氛围，使所学知识成为学生经历观察、猜想、推理、论证而自然得出的结论，从中体会从特殊到一般、从具体到抽象的研究问题的方法，加深对定义的理解，提升数学表达能力和处理逻辑性问题的能力，培养团队合作精神.
奇函数的定义：对于函数
如果对于其定义域
中任意给定的实数
，都有
并且
就称函数
为奇函数.
奇函数的图像特征：奇函数的图像关原点对称.
(三)应用举例、巩固新知
例1 (1)证明函数
是一个偶函数；
(2)证明函数
是一个奇函数.
【
设计意图】在函数奇偶性的概念中，函数都是以“
”的形式出现，而这两道题中却只出现了字母“
”，这微妙的变化可能会给学生在表达上带来阻碍.课堂教学中鼓励学生先大胆尝试独立完成证明，再相互交流解题思路，充分调动学习的积极性，最后教师对学生中出现的
等论证表述给予指导、纠正，指出以
的形式呈现的函数对于奇偶性论证表述的影响，并与学生一起归纳出奇函数、偶函数的证明步骤，让学生充分体会数学证明的严谨性和规范性.
变式1：请判断函数
是否为一个奇函数？并说明理由.
变式2：请在不改变函数表达式的前提下，改变一个条件，使得函数
不是一个偶函数.
【
设计意图】辨析偶函数和奇函数的概念，引导学生正确、灵活地应用概念解决数学问题.变式1旨在强调概念里“任意”二字的含义，根据概念可以通过举例的方式说明一个等式不恒成立，从而得出一个函数不是奇(偶)函数.变式2旨在强调函数的定义域关于原点对称是函数为偶函数或奇函数的必要非充分的条件.
（四）数学文化、学科德育
【设计意图】通过微视频向学生介绍函数的奇偶性研究的历史演进过程.将数学家们的思维活动呈现给学生，使学生沉浸在对数学知识的期盼、探求的情景之中，增强学生对数学概念的认知，体会每一个数学概念的形成都是经过了无数数学家不断地思考质疑、反复推敲才得以完善的，鼓励学生在日常学习中也要学会发现问题、提出问题、合理猜想、严谨求证、最终解决问题，形成动态的数学观.
（五）课堂小结、作业布置
课堂小结：
1.本节课学习了哪些主要知识？
2.在探究偶函数和奇函数概念的过程中，你学到了哪些重要的方法？
【设计意图】引导学生积极主动地思考，将零散的知识进行归纳总结，掌握内在联系，构建系统的知识模块、完善的知识框架，从知识内容和数学方法与思想两个方面形成思维导图，强调从特殊到一般、从具体到抽象、从形到数、先猜后证的方法.
作业布置：
（I）基础题
1.如图1，已知函数
在
轴一侧的图像，分别作出
为偶函数和奇函数时的大致图像.
图1 图1
2.以下3个命题中正确命题的序号有_________.（填所有正确命题的序号）
①奇函数的图像一定过原点；
②偶函数的图像不一定与
轴相交；
③若函数的图像上存在无数对关于
轴对称的点，则函数一定为偶函数.
（请同学们将第2题的答案上传到问卷星链接中：https://tp.wjx.top/vj/h4Mp8nz.aspx）
3.证明：(1)函数
是一个偶函数；(2)函数
是一个奇函数.
4.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若存在，请举出一个例子，并思考满足条件的函数是否唯一；若不存在，请说明理由.
【设计意图】第1题让学生体会函数奇偶性的应用价值，它为研究函数的图像和性质带来了便利.第2题引导学生对偶函数、奇函数图像的某些细节作进一步的思考，本题将通过问卷星的形式回收结果并统计正确率，借助信息技术支持本节课的教学与评价.第3题考察学生能否从代数的角度研究函数的奇偶性以及能否用符号语言严格表述，体现逻辑推理素养要求.第4题改编自课本，此处没有给出函数的表达式，给学生的分析、表达可能会带来一定的挑战，启发学生在抽象的情境下从代数的角度解决问题，体现数学抽象素养要求.
（II）拓展题
5.已知函数
和函数
.
(1)请作出上述两个函数的大致图像并指出它们的对称轴或对称中心；
(2)请证明(1)中的结论；
(3)请尝试将函数的奇偶性作进一步地推广，分别探究定义域为
的函数的图像关于直线
对称和关于点
中心对称的充要条件.
【设计意图】学生需要独立完成三项任务：一是结合图像，观察得出具体函数图像的对称轴、对称中心；二是利用对称性的定义，证明一个具体函数的图像具有某条对称轴或某个对称中心；三是在(1)、(2)小问和本节课的教学内容的启发下将结论一般化.考察学生是否掌握了研究函数奇偶性的逻辑推理表达段落，是否理解了其中所蕴含的数学思想.完成这三项任务的过程可以促进学生养成严谨、规范表达的习惯，提升迁移能力，发展逻辑推理、数学抽象素养.
6.请你结合本节课中播放的《奇函数、偶函数的形成与发展》视频，查阅有关资料，了解偶函
数和奇函数概念发展的历史，例如：形成过程、主要人物、关键事件、重要结果、应用价值等等，形成一份阅读报告.
【设计意图】本作业是一份长周期作业，建议用2~3周时间收集资料、撰写阅读报告，以小组为单位合作完成.在这项活动中，学生将进一步走进函数奇偶性的世界，通过搜索、阅读、整理资料，提升自主学习和团队合作等能力，通过经历函数奇偶性的研究从粗糙走向精确，从稚嫩演变到成熟的发展过程，加深对概念的认识，体会数学在社会发展中的作用，感悟数学的价值.
【评价建议】以小组为单位，将组员的阅读报告内容进行汇总整理，提炼核心内容制作成PPT，在课堂上进行小组汇报展示.对每位学生的评价由自我评价、组内互评、组组互评、教师评价结果综合评定.前三种评价方式对应的标准由班级学生讨论后统一制定.教师评价标准如下：
|
内容 |
等第 |
标准 |
|
小组汇报 |
优秀 |
PPT制作精美，汇报内容丰富，有充足的引证根据，表达正确且流畅. |
|
良好 |
PPT整洁，汇报内容较全面，缺乏引证根据，表达自然. |
|
合格 |
PPT制作简单，仅围绕部分内容撰写，条理不够清晰. |
|
须努力 |
表达不清楚，态度不端正. |
本节课通过关注学生的课堂活动表现和课后作业反馈相结合的形式检测课堂教学目标的完成效果.
教师在课堂活动中先通过观察、提问、随堂练习等方法从学生的书面表达和语言表达中对部分学生的知识理解程度、方法掌握情况、探究能力水平进行第一次检测.然后在课堂活动结束时回收学案，通过分析学生的课堂笔记、错题订正、课堂小结等内容，相对全面地了解每一位学生的学习态度以及学习方法、数学思维随着教学过程的变化和发展情况，对教学目标进行第二次检测.最后再通过作业的分层设计，区分出学生的学习能力和水平，关注不同学生在本节课中获得的能力、思维发展情况，诊断学生学习过程中的优势与不足，以便在下一阶段的教学中改进教法和学法，促进学生数学学科核心素养的达成，完成第三次教学目标检测.
附录：上海教育出版社出版的2020版普通高中教科书《数学》中《5.2(1)函数的奇偶性》教学内容.
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
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