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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《空间中点、直线和平面的向量表示》天津—路
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天津—路景明—设计—空间中点、直线和平面的向量表示
第一章 空间向量与立体几何
第4单元 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
1.空间中点、直线和平面的向量表示
（人民教育出版社 普通高中教科书A版 选择性必修第一册）
教 学 设 计
授课教师：天津市小站第一中学 路景明
2022年10月
《空间中点、直线和平面的向量表示》教学设计
一、内容及内容解析
1.内容：用向量表示空间几何中的点、直线和平面.
2.内容解析：本节课是人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册第一章第四节第一课时的内容，主要研究空间向量的应用.从本章知识的内部结构看,空间向量是空间中既有大小又有方向的量，直线的方向与空间向量的方向具有一致性，平面的方向能由与之垂直的向量确定，点的位置可由观察基点与此点所构成的空间向量表示，这样空间向量可表示空间中点的位置，直线和平面的方向.根据其方向的特点，空间中的直线与平面，平面与平面的位置关系转化为向量的相关问题.对于“平行”与“垂直”两种特殊的位置关系，以向量的运算为工具，可证明空间中线面间的平行与垂直的关系，并能解决直线与平面、平面与平面和异面直线的夹角问题.本单元的核心内容是探求利用空间向量解决立体几何问题的一般方法：即先用空间向量表示点、直线和平面等基本要素，从而将立体图形“向量化”；然后进行空间向量的运算,求得相应结果；最后把空间向量的运算结果“翻译”成几何结论.显然，本课时的教学内容用空间向量表示点、直线和平面等基本要素是问题解决的“基础”，也是沟通向量方法与空间图形的“桥梁”，空间向量的运算是问题解决的“核心”，用运算结果解释几何结论是问题解决的“归宿”.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：用向量表示空间几何中的点、直线和平面；利用向量共线定理、平面向量基本定理推导直线和平面的向量表达式以及求平面法向量的方法.
二、目标及目标解析
1.目标
（1）能用向量语言描述点、直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.
（2）初步了解立体几何中的向量方法，通过建立立体图形与空间向量之间的联系，从几何图形到空间向量的转换中进一步体会转化与化归的思想.
2.目标解析
达成上述目标的标志是:
（1）能通过选取基点，确定点的位置向量；能通过向量知识和立体几何初步知识推导出空间直线、平面的向量表示式；能根据给定的点及方向用向量表示直线；能根据给定的两个不共线的方向向量，用向量表示平面；知道法向量能表示平面的原理，并能求一个平面的法向量.
（2）通过用空间向量表示点、直线和平面等基本要素的过程，让学生体会用向量语言描述立体几何问题是利用空间向量解决立体几何问题的第一步，结合利用法向量表示平面的的推导过程，提升直观想象、逻辑推理等素养.
三、教学问题诊断分析
1.已具备的认知基础:学生在“立体几何初步”的学习中，已经能够解决立体几何中的点线面的位置关系和度量问题,学生经历过运用平面向量解决平面几何的问题，自然能提出运用空间向量解决立体几何的问题.
2.可能存在的认知困难：本课学生属于区级普通中学的高二学生，学生整体的逻辑推理能力和直观想象的素养还处于发展阶段,学生主动应用向量法解决问题的意识还不强，没有充分认识到向量运算的思想和方法蕴含着现代数学的许多特征，对于用空间向量解决立体几何问题时，对“三部曲”的第一步“建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化成向量问题”缺少经验和体会.
基于以上分析，确定本节课的教学难点：用向量表示平面的推导过程.
突破难点的关键：教学中，采用图形语言——自然语言——向量语言过渡的表达形式，通过问题引导，逐步建立用向量表示图形中的点线面的方法。在推导过程中遇到的问题，通过选择教师搭建脚手架、小组合作探究解决.
四、教学策略分析
1.教法分析
结合本课时的内容特点和学情分析，本节课主要采用任务驱动、问题启发、和“基于问题链”的教学模式.本课时以提升学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养为根本出发点，启发学生从数学角度发现和提出问题.类比平面向量学生已有的经验方法，探究空间中点、直线和平面的向量表示，获得向量研究新的数学对象的一般路径,落实“四基”发展“四能”.
2.学法分析
学生主要采取自主探究、合作交流的学习模式。在课堂教学中始终以学生为核心，鼓励学生独立思考、敢于质疑，通过小组合作、交流分享，突破难点.有效地提升学生的课堂参与度，提升学生的合作探究意识，提高分析问题、解决问题的能力.
五、教学过程设计
课前准备
引导语：
我们已经把向量从平面推广到了空间，在平面向量中，我们已经掌握了用向量解决平面几何问题的“三部曲”.通过空间向量运算解决立体几何问题，首先就是要将空间中的位置和方向表示清楚，即用向量语言来描述立体几何问题.即建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决几何问题的关键.
【设计意图】向量从平面推广到空间，既做了数学知识和工具上的准备，也做了学习方法上的准备.这里有一个提示作用：本节课就要是学会用向量语言来描述立体几何问题，即如何用向量表示空间的基本图形.
1.明确内容，聚焦问题
问题1：组成空间几何图形的基本元素是什么？
师生活动：（1）点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.
（2）教师总结：用空间向量解决立体几何问题，首先就要学会用向量表示空间中的点、直线和平面，将几何问题转化为向量问题.这是向量法的第一步，也是本节课的研究任务.
【
设计意图】明确本节课的教学内容.明确基本对象是点、直线和平面，研究的任务是对象的表示.
2.明晰任务，新知探究
问题2：如何用向量表示空间中的一个点
？
师生活动：（1）学生独立思考，回答问题.点的表示，是相对位置，比如，教室中的一个物体，从教师视角，学生视角有不同的表示，然后抽象出数学问题。
（2）师生辨析学生结果，在几何学中，通常用点来标记位置，所以点就是位置的抽象化，引导学生确定点
的位置是相对某一参照物来说.参照物不同，空间点的相对位置也不同，代数表达也不同.
（3）教师总结：首先，在空间中取一定点
为“基”点；其次，空间中任意一点
的位置由向量
来表示,即点
的位置确定.因此，我们把向量
称为点
的位置向量，如图（1）.
【
设计意图】点是位置的抽象，给定起点
,那么空间一个向量的终点
就和空间的一个位置
对应，即确定了基点，向量与点就实现了一一对应.用向量表示点，是用向量表示直线和平面的基础.另外，图中的平面用于衬托立体感，这是用图形语言表述数学对象的需要.
小结：空间中点的向量表示
问题3：如何用向量表示空间中的直线？也就是如何用向量表示出直线上的任意一点？
教师追问1：为了解决这个问题，我们先来回忆一下如何确定一条直线？
学生思考，得出结论：两点确定一条直线，取定直线上两点
，
可以确定直线的方向向量
.
教师追问2：如果只给定方向向量
，能不能确定唯一的直线？
【
设计意图】引导学生达成共识，确定直线的要素：点与方向.即直线
可以由直线上一点
与方向向量唯一确定.
教师追问3：如何用向量表示经过点
且以
为方向向量的直线
?
（1）引导学生得出结论：用向量表示直线，就是表示直线上的任意一点.
（2）学生独立思考，如有困难，鼓励学生相互讨论，教师巡视、点拨；明
确方法：利用直线
上一定点
和它的方向向量来表示直线上的任意一点
，如图（2）.
教师总结：设点
为直线
上的一个定点，向量
是直线
的方向向量，如果直线
上取向量
等于向量
，此时对于直线
上的任意一点
，由向量共线的条件可知：
点
在直线
上的充要条件是存在实数
，使得
，即
.
教师追问4：类比点的向量表示，直线的向量表示与所选基点有关，其表达方式固然有变化，如果我们选取空间中的任意一点
为基点，应该如何表达这条直线？
师生活动：（1）通过点的位置向量表示方法，引导学生理解基点的重要性；
鼓励学生先独立思考，解决问题.
证明过程如下：进一步地，取定空间中的任意一点
,如图（3），
利用点的位置向量
来刻画直线，将
分解成以
为起点的向量，
,即
，
点
在直线
上的充要条件是存在实数
,使
①
注意到,可得
②，由①可得②.
教师总结，取定空间中的任意一点
,点
在直线
上的充要条件是：
存在实数
,使
①，
②；
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.
由此可知,空间任意直线，由直线上一点
及直线的方向向量
唯一确定.
教师追问5：当字母
发生变化时会有什么变化？
得出结论：
表示与
共线的所有向量，
表示以
为起点，直线
上任意一点为终点的向量.再次验证，点
及直线的方向向量
不仅能确定直线的位置，还可以表示直线上的任意一点.同时说明直线的方向向量不唯一，直线上的任意两点都可以确定直线的方向向量.
【
设计意图】类比平面向量的研究方法研究空间向量，引导学生关注其中维数带来的变化。引导学生利用共线定理寻找向量表示直线方法，让学生体会利用空间向量解决立体几何问题，是平面向量解决平面几何问题的发展.学生在探究问题的过程中体悟数形结合数学思想，提升学生的直观想象等核心素养.
小结：空间中直线的向量表示
3.类比探究，研究平面
问题4：如何用向量表示平面？
点和直线的向量表示我们并不陌生，在平面向量中已经研究过，我们只是通过基点
将结论推广到空间.那么如何用向量表示平面呢？
教师追问：如何确定一个平面？
师生活动：学生各抒己见，教师归纳总结.类比空间中直线的向量表示的推导方法，请同学们自主探究平面的向量表示.
师生活动：学生独立思考，然后分组开始讨论交流；教师巡视、点拨；学生分享小组研究成果，多媒体展示，师生评价，梳理成果.
预设方案一：两条相交直线确定一个平面.
教师追问1：我们把两条相交直线向量化，那自然会得到两个不共线的方向向量。我们能否利用平面上一点以及两个不共线的向量来表示平面上的任意一点？
学生小组成果展示：两条相交直线可以确定一个平面，因此设两条相交直线的交点为
，它们的方向向量分别为向量
和向量
，如图（4）.
那么，由平面向量基本定理可以得到这个平面的任意一点
，
存在唯一的有序实数对
使得向量
，
教师总结：两条相交直线确定一个平面，其实就是平面向量基本定理的几何表现.因此，点
与向量
和
，不仅可以表示平面
，还可以具体表示出
内的任意一点；即给定一个点和两个定方向不仅可以定性的确定一个平面，而且可以定量地描述该平面.
【
设计意图】类比直线的向量表示式的研究过程，鼓励学生合作探究，通过平面向量基本定理，写出平面内任意一点
的向量表达式；发展学生数学抽象等数学核心素养.
教师追问2：选择
为基点，当点
在平面内时，平面内任意一点
的位置向量是
，
当
在平面外时，平面内任意一点
的位置向量如何表示？
教师归纳结论：平面内的任意一点
，存在实数
,使
，由平面向量运算法则得，任取空间任意一点
，如图（5），
分解向量
,于是，空间一点
位于平面ABC内的充要条件是
存在实数
,使
③，
我们称表达式③为空间平面ABC的向量表示式.
教师引导，从式子③可以发现，当实数
发生变化时，
表示平面ABC内任意向量,
表示以
为起点，平面ABC内任意一点
为终点的向量.所以，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
【
设计意图】类比空间直线的向量表示方法确定研究思路，在学生最近知识发展区完成知识架构，整个过程都在图形的辅助下进行的，使学生体悟数形结合、类比归纳、等价转化等数学思想，发展数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养.
预设方案二：类比空间中点、直线的向量表示方法,提出猜想、验证猜想.
观察 |
点 |
位置向量 |
空间中一点 （1个条件） |
|
直线 |
|
直线上一定点加定方向（两个条件） |
|
猜想 |
平面 |
 |
平面的向量表示是否需要三个条件？（平面上一个定点＋两个不共线的方向来表示） |
验证猜想：将直线的共线向量
利用平面向量基本定理拓展到平面上的任意一条直线的
从而明确确定平面的几何要素为平面内一定点和两个定方向，进一步反向验证了思路一的解决方法.
预设方案三：能否用更少的条件，比如一个点和一个方向来确定一个平面？
师生活动：学生思考后，通过讨论，得出结论：过定点且垂直于直线的平面是唯一确定的.即给定空间一点
和一条直线
，可以利用点
和直线
的方向向量来确定平面.
教师结论：法向量定义：直线
⊥
,取直线
的方向向量
,我们称向量
为平面
的法向量.如图（6）
教师追问1：如何用向量表示过点
且以
为法向量的平面？
师生活动：（1）教师引导，学生分析，表示平面就是表示平面上的任意一点
.由线面垂直的性质定理可知，直线
垂直平面上的所有直线，我们在向量中利用数量积为零来刻画垂直.
（2）教师给出结论：给定一个点
和一个向量
,那么过点
，且以向量
为法向量的平面,可以表示为集合
.
【
设计意图】前面表示平面时需要三个条件:一点和两个方向；引入法向量只需两个条件：一点和一个方向，体现了求简求精的思想.
教师追问2：平面的法向量是唯一的吗？
学生回答预设1：法向量就是平面垂线所在的方向向量。因此法向量与平面内的任一向量都垂直.我们知道直线的方向向量并不唯一，因此平面的法向量不唯一，他们都是互相平行的.
学生回答预设2：由直线和平面垂直的性质定理可知，垂直于同一平面的两直线平行，“由
得
”，和直线
和直线
的方向向量
。
【
设计意图】培养学生关注空间向量与立体几何间的联系.空间向量体系的建立需要立体几何的基本知识，反过来，立体几何中的问题可以用向量方法来解决.通过追问，学生能够对一个平面的向量表示有更深刻的理解，当一个平面确定后，其法向量有无限多个，为后续向量法解决立体几何问题奠定基础.
小结：空间中平面的向量表示
教师追问3：请你来评价一下以上三种平面的向量表示方法.
师生活动：学生阐述观点；教师引导学生体会利用法向量表示平面的方便之处.
【
设计意图】这几种表示平面的方法的目的都是建立平面与向量的联系，用向量表示平面，为通过向量运算研究图形的性质奠定基础，表示方法各有特点：前两个是充分运用平面向量基本定理，通过向量的线性运算表示平面；第三种是借助平面的法向量，通过向量的数量积运算表示平面，对于平面而言，法向量是反映垂直方向最为直观的表达形式，他既体现了几何图形直观，又提供了代数定量刻画.
以上教学环节围绕空间中点、直线和平面的向量表示，通过空间向量的运算，构建了一条问题链.体现了“问题引导学习”的理念，把学生的思维活动引向深处.
4.典例分析，实践应用
例1：如图（7），在长方体
中，
,
,
是
的中点
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求直线
的方向向量
(2)求平面
的法向量
(3)求平面
的法向量.
分析：本题实际上是求解两类问题：一类是求直线的方向向量，另一类是求平面的法向量.求直线的方向向量，就是找到一个向量，满足它所在的直线与已知直线平行或重合；求平面的法向量，就是要找到一个向量，满足它所在的直线与已知平面垂直.
师生活动：（1）教师根据学生需要及时引导，寻找求得直线方向向量和平面法向量的方法，学生给与解答，教师点评.
（2）教师进行总结，结合本题引导学生归纳求解平面法向量一般步骤.
【
设计意图】通过问题驱动，学生能够积极思考，向量法解决立体几何问题的步骤，给了学生解决问题的一般套路，为后续向量的应用奠定了基础；发展了直观想象、数学运算等数学核心素养.
解析：（1）由题意可知
，
所以直线
的方向向量是
.
师生活动：教师追问1：直线
还有其他的方向向量吗？
学生思考后，得出结论：与
共线的向量
、
都可以作为直线
的方向向量,并且它们都是共线向量.
（2）因为
轴垂直于平面
，所以
是平面
的一个法向量.
教师追问2：平面
还有其他的法向量吗？
学生思考后，得出结论：因为长方体的特点，所以
，这样，平面
的一个法向量是
、
、
、
都可以作为
的法向量，且这些法向量都是共线向量.
教师追问3：从直观上我们不能找到平面
的垂线，那么就不能直接写出平面的法向量.那么此时我们如何求平面的法向量？
学生思考，教师引导，利用线面垂直的判定定理以及向量的运算性质求法向量.
（3）因为
,
,
是
的中点，所以,
，
，
，所以
,
设
是
的法向量，则
所以，则
所以
取
,得
∴
于是
是平面
的一个法向量.
师生活动：总结求平面的法向量的步骤
①设平面的法向量
②找出（求出）平面内两个不共线的向量的坐标
，
；
③根据法向量的定义建立关于
的方程组
④解方程组，取其中一组解，即得平面法向量.
【
设计意图】通过对例题1的探究，总结求平面法向量的具体方法，加深学生对方向向量和法向量的理解，同时为后续研究直线、平面间的位置关系和度量等问题做准备，需要注意的是，平面的法向量并不唯一，与具体问题背景结合时，可以利用向量的“自由性”，根据问题的条件灵活确定表示法向量的有向线段；通过解方程组求法向量时，可以对参数适当取值，求出平面的一个法向量即可.
5.拓展练习、目标检测
在例1的基础上，求平面
的法向量.
师生活动 ：学生独立完成，教师巡视，点拨。学生代表展示结果.
【
设计意图】通过题目训练，巩固直线的方向向量及平面法向量的求解方法，加深对两个概念的理解，培养学生直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养.
6.梳理归纳，感悟本质
问题1：本节课主要学习了哪些知识？
师生活动：学生思考后，对本节课的知识内容进行总结：
（1）用向量表示点：向量
叫做点
的位置向量
（2）直线的向量表示式：
或者
（3）用向量表示平面：
或者
,其中
是平面的法向量
（4）求直线的方向向量和平面法向量的方法；同一条直线的方向向量有无穷多个，他们互相平行；同一平面的法向量有无穷多个，他们互相平.
（5）求平面的法向量的步骤
①设平面的法向量
②找出（求出）平面内两个不共线的向量的坐标
，
；
③根据法向量的定义建立关于
的方程组
④解方程组，取其中一组解，即得平面法向量
问题2：本节课主要学习了哪些解决问题的方法？
师生活动：学生思考后，对本节课的思想方法进行总结：
点、直线、平面的向量表示他们的研究方法是一样的，例如平面的推导方法就是类比直线的推导过程，从几何知识出发，需要借助空间中的一个基点来表示.通过选定基点
，更加方便我们从空间去表示点线面的位置和方向.
教师总结：本节课的地位和作用
通过本节课，我们学习了用向量表示空间中的点、直线和平面，并深入研究了直线的方向向量和平面的法向量的求法.理解参照系的作用，体会“位置”、“方向”作为三维欧几里得空间基本概念的基础地位.为我们利用空间向量的运算，研究空间直线、平面间的位置关系以及距离、夹角等度量问题提供了工具.
【
设计意图】通过向量表示空间内点、直线、平面的研究方法，形成将确定空间直线、平面的条件“向量化”的一般观念.通过此活动体验，获得向量研究新的数学对象的一般路径,落实“四基”发展“四能”，提升学生数学抽象等数学核心素养.
7.布置作业，巩固所学
教科书
，练习第1，2，3题
课堂目标检测设计
A组（基础达标）
1.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则直线AB( )
A.与坐标平面xOy平行 B.与坐标平面yOz平行
C.与坐标平面xOz平行 D.与坐标平面yOz相交
2.若平面α∥β,则下面可以是这两个平面法向量的是( )
A.
=(1,2,3),
=(-3,2,1) B.
=(1,2,2),
=(-2,2,1)
C.
=(1,1,1),
=(-2,2,1) D.
=(1,1,1),
=(-2,-2,-2)
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养.
B组（能力提升）
1.如图（8），在三棱锥A-BCD中，E是CD的中点，点F在AE上，且EF=2FA．
设
，
，
，求直线AE、BF的方向向量．
2如图（9），在直三棱柱
中，
.以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系
①求平面
的法向量；②求平面
的法向量.
【设计意图】考察求直线方向向量和平面法向量的能力.
C组（拓展探究）
思考题：空间向量由平面向量推广而来，空间向量与平面向量有许多共同性质。如果我们把平面看成二维空间，把普通的空间看成三维空间，我们能不能把向量的概念推广到四维“空间”呢？他们是否也与平面向量、空间向量有许多共同的性质？
【设计意图】作业分层布置，力求让不同基础的学生都拥有成功学习的体验.必做题主要考查学生对本节课重点知识的掌握情况，检查学生运用所学知识解决问题的能力，实践作业的设置是为了让学生体验如何检索、搜集资料进行数学学习，这是本节课所学内容的提高与拓展，可以更好地培养学生分析问题和解决问题的能力.
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