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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《二面角（1）》上海—邓
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上海—邓佳敏—设计—二面角（1）
10.4.2 二面角（1）
上海交通大学附属中学嘉定分校 邓佳敏
（一）教学内容
二面角的概念与二面角的平面角.
（二）内容解析
本节课选自上海教育出版社出版的《普通高中教科书 数学 必修第三册》第十章第4节《平面与平面的位置关系》的第2课时——“二面角”，该课时内容主要分为二面角的平面角、平面与平面垂直两部分.承接“平面与平面平行”，在学习了“平面及其基本性质”、“直线与直线的位置关系”、“直线与平面的位置关系”的基础上展开，并为学生后续学习简单几何体做准备.
“10.4平面与平面的位置关系”是立体几何的核心内容之一，作为“直线与直线”、“直线与平面”、“平面与平面”的内容逻辑主线中的最后一环，其教学应注重使用类比的数学思想.例如，在平行关系中，线线平行、线面平行、面面平行的判定和性质相互转化、不断推进；在“角”的度量中，异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角，都是将空间中的角转化为平面中的角，其研究思路一脉相承，渗透将三维空间的问题转化为同一个平面中的问题的基本思想方法.通过本节的学习,欧氏几何体系的基础内容——空间中点、线、面的位置关系便成为一个较完善的知识和逻辑体系.
《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》要求学生能够运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间观念；了解、归纳平面与平面垂直的性质定理与判定定理，并对性质定理加以证明；对推理论证的要求较高.二面角是刻画两个相交平面位置关系的概念和一种度量方式，虽然在国家课程标准中没有对二面角的概念提出要求，但二面角的教学一方面是为了知识体系的完整性，另一方面也是为学生进一步发展空间想象与逻辑推理能力提供机会.此处的重点应放在二面角的平面角的构造上，着重于对位置关系的认识，而把如何计算角的大小的问题，放在选择性必修的空间向量及其应用时再具体处理.二面角的学习不仅仅是为定义面面垂直服务的，更是为了完善平面与平面的位置关系，培养学生的空间想象能力，有利于学生领会类比的数学思想，发展直观想象、逻辑推理和数学抽象素养.
本节课是“二面角”的第一课时，围绕着二面角的定义、二面角的度量展开，到给出平面与平面垂直的定义结束，而将平面与平面垂直的判定定理与性质定理放在后一课时.这样处理有以下原因：（1）本节课是一节概念课，为了引导学生尝试从不同角度寻求解决问题的方法，使学生得以充分探索二面角的平面角构造的合理性与科学性，达到训练数学思维、形成理性和科学精神的目标，在有限的时间内教学内容不宜过多，才能达到更好的育人效果.（2）基于授课学生的学情，该班学生具备深入探究立体几何问题的知识与能力，并对此类问题有比较强的兴趣，可以在解决问题的过程中收获学习数学的自信.（3）二面角的内容起着承上启下的作用，二面角的平面角与直线与平面所成的角的探究有异曲同工之妙，但要求略有递进，二面角的平面角的探究过程既能帮助学生回忆、复习线面角的知识，又为后续学习平面与平面垂直的内容打下扎实基础.
（三）教学重点
构造二面角的平面角.
（一）教学目标
1. 经历二面角的概念的形成过程，认识二面角的图形，理解二面角的定义及相关概念，感悟类比的数学思想，提升数学抽象、直观想象素养；
2. 经历二面角的度量的探究过程，会构造二面角的平面角，体会类比、降维转化思想在知识建构与问题解决中发挥的作用，培养严谨的理性思维和善于思考的科学精神；
3. 在交流与合作的学习过程中，探索、理解二面角的平面角的构造合理性，培养数学表达能力与合作精神，促进创新思维的发展.
（二）目标解析
对于目标1，通过类比平面中的角与三维空间中平面与平面所成的角，学生能够认识二面角的图形，理解二面角的定义，认识二面角中的面、棱以及二面角的记法，能够从生活实例中抽象出二面角的几何模型.
对于目标2，在如何度量二面角这一问题情境下，经历“构造什么”——“如何构造”——“为什么这么构造”的探究过程，掌握二面角的平面角的定义，能在二面角中作出平面角，能用二面角的知识解决简单的数学问题.提升在一般观念指导下思考与解决问题的能力，形成有条理、合乎逻辑的思维品质，培养严谨的理性思维和善于思考的科学精神.
对于目标3，通过折纸活动，解决“为什么平面角的边与棱垂直？”这一问题，深入剖析二面角的平面角构造的合理性与科学性，在实践中训练创新思维、在倾听中培养严谨的科学精神、在交流中锻炼逻辑思维与数学表达能力.
（一）学生学情分析
本节课的授课对象为一所上海市实验性示范性高中的学生，授课学段为高二学年上学期，学生已系统学习了平面及其基本性质、直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系.对公理、定理等有较好掌握，对立体几何有较强的学习兴趣，且已经历过从定性到定量探究空间中两个对象的位置关系的研究过程，具备探究立体几何问题的基本活动经验和能力.
然而，在学习立体几何时，学生仍会面临“知其然而不知其所以然”的难题，能从直观上认识空间对象的位置关系，但在试图说明其内在本质或原理时却感到无从下手.因此，还应注重培养学生透过现象看本质、有理有据阐明观点的理性思维.
（二）教学难点
基于以上分析，本节课的教学难点为理解二面角的平面角构造的合理性.
本节课是《二面角》的第一课时，属概念课.本节课遵循“情境与问题——分析与归纳——本质特征的抽象、定义——关键词辨析——简单应用——联系与综合”的概念形成方式安排学习过程，创设基于情境、问题导向的启发式、探究式课堂，渗透数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学素养，从而达到把握数学本质、启发思考的效果.
教学策略1 以问题驱动课堂，培养理性思维
数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用.数学思维、数学能力的提升应来自于学生内心的思考与感悟，本节课创设了符合学生认知规律的问题情境，由多个由浅入深、循序渐进的问题贯穿，以“如何定义二面角？”——“如何度量二面角？”——“如何构造角？”——“为什么这样构造？”为主线，引导学生经历发现问题、分析问题、解决问题的过程，深入挖掘、探究二面角的平面角构造的“情”与“理”，培养学生发现事物本质、关系和规律的科学精神，与有理有据阐明观点的理性思维.
教学策略2 以交流灵动课堂，激发学习兴趣
以学生为课堂主体，围绕如何度量二面角这一主题，引导学生深入思考，启发学生主动提出自己的想法，鼓励其他同学进行说明和补充，形成开放、高效的课堂氛围.“为什么这么构造？”——开放性的问题能够提升学生作出多种解释的发散性思维，激发学生的学习兴趣和动力，从而推动师生之间、生生之间的互动和交流向纵深发展.
教学策略3 以技术辅助教学，降低想象难度
除了用教室的门和实物模型进行演示，本节课还利用GeoGebra软件，生动地展现二面角的动态结构与平面角的大小变化.形象的软件展示能为学生理解二面角提供直观，让学生在感性认识的基础上再进行理性思考，循序渐进地帮助学生掌握平面上表示空间图形的方法和技能、形成空间观念、提高空间想象能力.
教学策略4 以情境丰富课堂，实现德育价值
创设首尾呼应的太阳能发电这一生活情境，培养学生的民族自豪感与爱国主义情怀，增强学生的公民意识和社会责任感；通过讲述欧几里得在《几何原本》中对平面倾角的定义，渗透数学文化，感受立体几何的研究贯穿古今的震撼；在讲解二面角的概念时，以蛋白质折叠的二面角模型与北斗卫星的轨道面与赤道面夹角对比，极微观和极宏观的科学情境，可以调动学生的学习热情，使学生获得“数学来自于宇宙、数学是宇宙的语言”的体验.
（一）情境与问题
播放纪录片《辉煌中国》片段，展示上海龙阳路地铁站光伏发电项目的照片（图1-3）.
图1-1 图1-2 图1-3
问题1：用数学的眼光看，图1-1中蕴含哪些几何元素间的位置关系？
【设计意图】在之前的学习中，学生已积累了较多立体几何的学习经验，借助太阳能发电的情境，启发学生从实际情境中抽象出数学问题.介绍宏伟壮观的新能源基地有利于培养学生的民族自豪感，激发学生的学习热情.
问题2：图1-2中，当光伏板转动时，光伏板与水平面所在的两个相交平面间的哪个量在变化？
【设计意图】立体几何的核心是空间中的距离与角度，当相交平面的位置关系发生变化时，它们之间的角度也在变化，从而体现研究二面角的必要性与意义，引出本节课主题.
（二）分析与探究
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二面角的概念
直线上的一点可以将直线分为两部分，每部分称为射线.类似地，在空间中，平面上的一条直线也将平面分为两部分，每部分称为半平面.
【设计意图】给出半平面的概念，为二面角的定义做准备，渗透类比思想.
在平面内，两条直线相交会形成四个角.在空间中，两个平面相交也会形成四个二面角.
问题3：类比角的概念，你能给出空间中二面角的定义吗？
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角 |
二面角 |
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图形 |
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定义 |
平面内，从一点出发的两条射线所组成的图形. |
空间中，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. |
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构成 |
顶点、边 |
二面角的棱、二面角的面 |
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表示方法 |
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、
、 |
【设计意图】通过类比平面几何中直线的夹角与射线的夹角，得到立体几何中面面夹角与二面角的定义，有利于学生联想到通过平面内的角来度量二面角.问题3以学生为课堂主体，鼓励学生大胆定义新概念，使学生感悟类比思想，发展逻辑推理素养，收获探究新定义的自信.
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二面角的度量
问题4：在我们身边有哪些二面角的形象？
【设计意图】启发学生用数学的眼光观察世界，通过在生活中寻找二面角，感受二面角的几何形象，深化二面角的概念.
展示蛋白质肽链的 折叠（图2-1）与北斗导航卫星的轨道示意图（图2-2）.
图 2-1 图 2-2
【设计意图】引出二面角的度量问题，突出二面角度量的重要性. 极微观和极宏观的科学情境，形成强烈对比，调动学生的求知热情.
用教室的门演示：随着两个半平面位置关系的变化，二面角是有大有小的.
问题5：如何度量二面角的大小？
生：用一个平面内的角来刻画二面角的大小.
【设计意图】将二面角的度量问题转化为构造平面内的角的问题，以简驭繁，渗透将立体问题转化为平面问题的降维转化思想，为接下来的探究活动做铺垫.
问题6：怎样构造角来刻画二面角的大小？
追问1：为什么将角的顶点取在棱上？
（1）度量直线与平面所成角时，将其转化为平面内的角，角的顶点为直线和平面的交点，即两个几何对象的公共点.类似的，用一个平面内的角度量二面角，角的顶点也应取在两个面的公共点，即二面角的棱上.
（2）顶点取在棱上时，两条边就可以取在二面角的两个面内，更好体现两个面的相对位置.
【设计意图】通过类比直线与平面所成角，建立新旧知识的联系.
追问2：当二面角 给定时， 的大小与点 在棱上的取法有关吗？
【设计意图】通过等角定理证明所构造的角的大小与顶点在棱上的位置无关，强调二面角的构造的任意性与确定性.
追问3：为什么角的两边与棱垂直？不垂直可以吗？
活动1 将半透明纸折成二面角，在二面角内画出不同的角，验证你的想法，并交流讨论.
图 2-3
预设回答1 符合直观：当两个半平面重合、完全展开成一个完整平面时，边与棱垂直的角分别是 、 ，与我们对二面角大小的直观认识符合.
预设回答2 唯一确定：当顶点 确定时，在两个面内只能作唯一一条垂直于棱的射线，此时角唯一确定.
Geogebra软件演示：
图 2-4
【设计意图】基于学生的实际情况，容易得到二面角的平面角的构造方法，但说理与论证却比较困难.问题6及追问的设计，是在问题5的基础上将角的构造问题拆解为取顶点、作边等一系列环节，一步步启发学生思考每个环节的内在原理.活动1旨在让学生在实践中体验二面角的平面角的建构过程，在交流讨论中互相启发，发现事物的本质关系，从而培养发现和提出、分析解决问题的能力，锻炼有理有据、逻辑连贯地阐明观点与透过现象看本质的理性思维，树立善于思考的科学精神.
（三）阅读与辨析
图 3-1 图 3-2
欧几里得编著的《几何原本》第XI卷中定义：从两个相交平面的交线上同一点，分别在两平面内各作交线的垂线，这两条垂线所夹的锐角叫做该两平面的倾角（也可叫交角）.
[1]
[1] 欧几里得著.兰纪正, 朱恩宽.几何原本[M]. 译林出版社, 2014, 477.
【设计意图】数学承载着思想和文化，是人类文明重要的组成部分.通过了解欧几里得在《几何原本》中对相交平面的倾角的定义，感受厚重的数学历史和辉煌的数学文明.今日所学的知识依赖于一代代的大师付出的艰苦卓绝的努力，鼓励学生直面未知、勇敢探索，唤起学生的科学奉献精神.
活动2 阅读课本第41页、第2段二面角的平面角的定义，并在学习单上补全定义中的关键词.
【设计意图】阅读是重要的课堂活动，可以帮助学生加深对概念的理解，并通过对定义进行辨析，落实、巩固二面角的平面角的相关知识，培养严谨的思维习惯.
二面角的平面角应满足：（1）角的顶点在棱上任取；（2）角的两边分别在二面角的两个面上；（3）角的两边垂直于二面角的棱；（4）二面角的取值范围是 .
当二面角确定时，其平面角就唯一确定，反之亦然.
（四）练习与实践
活动3 在正方体 中，作出以下二面角的一个平面角，并求它的度数：（1） ； （2） ； （3） .
图4-1
思考：在第三幅图中，二面角 的平面角是哪个角？大小是多少？
在（1）中，当二面角的大小等于 时，其平面角是 ，此时，我们称这个二面角为直二面角.当两个平面相交所成的二面角是直二面角时，我们就说这两个平面相互垂直.
图 4-2
【设计意图】正方体是一个直观的模型，可以此为载体帮助学生掌握二面角的表示方法、学会构造简单的二面角的平面角并求解大小.利用正方体可以使学生更直观地认识和理解空间对象的位置关系，培养“空间感”和洞察力.同时在具体问题中更自然地引出下节课的主题——平面与平面垂直.
（五）联系与综合
活动4 在学校北边的天台上，布置了若干巨大的太阳能光伏板，它的支架可以带动光伏板转动，使光伏板正对太阳光发电，为校园提供了清洁电能，使绿色低碳科技变得触手可及.
邓老师发现，秋分这天正午，上海的太阳高度角是 ，此时光伏板与水平面所成的二面角的大小是多少？（*太阳高度角指太阳光线与水平面所成角）
图5-1 图5-2
【设计意图】从学生身边的实例出发，经历从实际情境到几何模型的构建，体会数学的应用价值，启发学生用数学的眼光观察身边的事物、培养善于用数学思维思考生活的习惯. 题目情境与课堂引入相呼应，使本节课更具整体性.
（六）小结与作业
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课堂小结与学习评价
1.研究问题：（1）什么是二面角；（2）如何度量二面角.
2.研究过程：
（1）类比平面内的角，得到二面角的概念；
（2）将二面角的度量问题转化为构造平面内的角的问题；
（3）在折纸活动中感受二面角的平面角构造的合理性，经历从直观感知、操作确认到简单推理论证的过程.
3.思想方法：
（1）联系新旧知识的类比思想；
（2）将空间问题转化为平面问题的降维转化思想.
【设计意图】从研究问题、研究过程、思想方法等方面梳理本节课内容，帮助学生归纳总结，实现知识的内化.
课堂学习情况自评表
任务1：结合现实生活情境
，通过问题1-4，认识二面角的图形，理解二面角的定义及相关概念，能在活动3的正方体中正确找到对应的二面角.
任务2：通过问题5、6与活动1（折纸活动），能认识二面角的平面角构造的合理性，经历活动2（阅读活动），知道如何作出二面角的平面角，并会在简单情形中求二面角的大小，完成活动3中平面角的构造与求解.
任务3：在活动4中，能将实际情境抽象成二面角的几何模型，即画出二面角的图形、将情境条件抽象为几何元素之间的关系、正确作出该二面角的平面角、求解二面角的平面角.
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评价任务 |
顺利完成 |
基本完成 |
未能完成 |
未完成的具体活动或问题 |
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任务1 |
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任务2 |
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任务3 |
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课后作业
【基础练习】
教材P44 习题10.4 A组6、7、8，补充题.
教材 习题10.4 A组
6.在正方体 中，平面 与正方体的各个面所成的二面角的大小分别是多少？
7.在 二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是 .求这个点到二面角的棱的距离.
8. 如图，在四面体 中，已知 ， ，且 .试作出二面角 的平面角，并求它的度数.
（第8题） （补充题）
补充题：埃及是欧氏几何的诞生之地，欧几里得在此编撰的著作《几何原本》，奠定了理论几何的基础.同样闻名于世的，还有埃及的金字塔，早在《几何原本》诞生前的2300年，金字塔就已建造而成，它的出现展现了古埃及人的才能与智慧.
胡夫金字塔是最古老、最宏伟的金字塔之一.它是由一个正方形底面、四个全等的等腰三角形侧面构成的几何体.其底部边长为230米，侧壁三角形的腰（侧棱）长214米（计算结果保留两位小数）.
（1）求胡夫金字塔的侧壁与地面所成的二面角大小；
（2）若一只羚羊在金字塔侧壁，沿着与底边成 角的直线向上攀行了100米，此时羚羊所在海拔高度上升了多少米？
答案：习题10.4 6. ；7. ；8. . 补充：（1） ；（2） 米.
评价建议：（1）完成习题10.4的6、7、8题，并能画出金字塔的直观图，可评价为合格；（2）完成习题10.4的6、7、8题和补充题第一问，可评价为良好；（3）能够全部完成正确，可评价为优秀.
【拓展探究】（选做）
本节课我们用半平面内垂直于棱的两条射线构造了二面角的平面角，由等角定理，平面角的大小与顶点的取法无关.某同学受到启发，提出了另一种构造平面角的方法：取一个垂直于棱的平面，与二面角的两个半平面相交的射线所构成的角，它与我们今天所学的平面角是一致的.
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证明该方法构造的平面角的大小与平面的位置无关；
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如果所作的平面与棱成 角，所截得的角的大小是否依然与平面位置无关？请说明理由.
评价建议：（1）能用等角定理证明第一问，并在第二问中回答出所截得的角与平面位置有关，可评价为合格；（2）能用等角定理证明第一问，在第二问中能举出两个不同位置的截面，使截得的角大小不同，可评价为良好；（3）能用等角定理证明第一问，并能通过几何软件、模型等演示出当平面围绕二面角的棱旋转时所截得的角的变化，可评价为优秀.
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
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