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视频标签：第十一届全国高中
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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《古典概型》重庆—税
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重庆—税长江—设计—古典概型
古典概型教学设计
教材：普通高中数学教科书数学必修第二册（人民教育出版社A版）
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本节课时是高中数学必修第二册第十章10.1.3古典概型的第一课时，是在有限样本空间与随机事件，事件的关系与运算之后，又在概率的基本性质，事件的独立性和计数原理之前，起着承上启下的作用，通过古典概型的学习，学生进一步理解随机事件和样本点的关系、事件和样本空间的关系，概率的意义，为研究概率的基本性质提供具体的案例支撑．
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古典概型的学习中对等可能性的重点剖析、实验验证有利于进一步理解概率的有关概念，深化对古典概型这一数学模型的认识．
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通过适当的表达形式和分类方法例举出随机试验的样本点和样本空间，体验从具体事件到数学抽象的过程，也为后面概率的基本性质，计数原理的学习做好了铺垫．
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用随机数表进行随机试验的模拟，培养学生数学建模思想的同时，也实现了借助数学的抽象思维摆脱了客观物质条件的限制．利用计算机软件产生的随机整数，可以模拟某些随机试验，达到快速进行大量重复试验的目的，也展示了计算机技术在数学上的广泛运用．
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古典概型是一种特殊的数学模型，其与生活联系密切，便于解释生活中的一些问题，增加学生学习数学的兴趣．
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理解古典概型的两个特征；
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能用适当的表达形式和分类方法通过列举获得古典概型的样本空间；
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掌握古典概型的概率计算公式；
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能对样本点的等可能性进行判断；
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体验用随机数表模拟随机试验的过程，理解数学建模的思想，建立数学应用的意识；
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通过动手实践，培养学生的自主探究和协作互助的能力，获得数学探究活动的体验．
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我校为重庆市国家级重点中学，学生学习基础较好，学生在初中对古典概型有了初步的学习，熟悉古典概型的计算公式，但对古典概型的两个特征的认识和理解还有不足，需要通过具体案例，进一步提炼和辨析两个特征，使学生深刻领会”有限”和”等可能”的含义．
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学生对古典概型中等可能性的要求认识尤为不足，常因未关注等可能性得出错误结论，如“同时投掷两枚相同的硬币出现一正一反的概率为1/3”等，需要通过辨析和实验验证，理解面对多个相同的物体时如何选取样本点才能保证等可能性.
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以投掷两个硬币，出现一正一反的概率问题作为实验探究，帮助学生体会“等可能性”在实际问题中如何呈现，并通过对“两个相同的硬币”与“一大一小两个硬币”两种情景的辨析，使学生掌握在面对实际问题时，如何保证等可能性．让学生自己动手，体会在试验、合作中得到的新知，获得更为深刻的理解和认识．
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学生没有随机模拟的经验，通过随机数表，引导学生探究用随机数模拟随机实验的方法，培养学生数学建模思想，并利用计算机软件产生的随机整数，模拟随机试验，深化对随机模拟这一建模过程的体验．
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古典概型是一类与生活紧密联系，广泛运用的数学模型，可以充分的通过生活实例让学生体验、感知其中的数学原理，所以选择了一条以“体验、思考、表达”为主线的课程设计思路．通过丢硬币与投篮的对比，提炼古典概型的两个特征，通过动手实验，理解样本点的选择方式和等可能性，使学生在学习过程中，获得数学探究活动的基本体验，并运用获得的数学知识，思考，表达藏在猜拳游戏，及抽样情景中的数学原理．
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引入采用了生活中常见的“十五二十”猜拳游戏，其背后的数学原理与教材在P235例8一致，以贴近生活的方式将其展开．在课堂的初始阶段，通过生活中常见现象背后的数学原理引发学生关注，展开思考和探究．
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抛硬币实验前，设计了回顾“历史上的抛硬币实验，实验结果与理论吻合”这个环节，复习了可以通过大量重复实验，用频率估计概率这初中介绍过的知识点，即是对古典概型理论正确的验证，也说明可以用频率的分布来研究概率，为后面的抛硬币实验做好铺垫．
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对于样本点等可能性的认识是古典概型问题的分析重点．抛掷两枚硬币这个案例，在教材P227例3 也出现过，但这里强调了“两个相同硬币”这个干扰项，以及对样本点是否等可能的探究，很多学生认为，将相同的物品进行编号，会破坏“相同物品”这一前提条件，故课程中设计了“同时抛两枚相同的硬币”与“同时抛两枚不同的硬币”的对比实验，用所得数据验证在“恰好出现一正一反的概率”这个问题上两者的等效性，进一步说明编号才能保证样本点的等可能性．而这一结论的获得源于学生实际的动手操作，带来良好的活动探究体验．
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学生以往并没有随机模拟的经验，故在实验环节设计了让其中一个大组通过随机数表，进行模拟投硬币实验，引导学生探究用随机数模拟随机实验的方法．
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通过实验数据的反馈，训练学生数据分析，数据处理的能力．
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由于本课在计数原理之前，学生目前只能通过例举出所有的样本点的方式计算概率，如何做到不重不漏，清晰明了就是问题的关键．通过在黑板上展示学生用例举法获得样本空间的过程，引导学生思考列举时怎样创建合理的分类标准，怎样选用适当的符号、形式、图表来清晰简洁的表示实验结果．
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.1
介绍猜拳游戏，引出古典概型
引入：介绍“十五二十”猜拳游戏的规则，指出不同于其它猜拳游戏，“十五二十”存在着数学上的制胜策略，即：喊出哪一个点数获胜概率最大？引起学生的思考，展开古典概型的教学．
【设计意图】“十五二十”猜拳游戏，是对教材P235例8投掷两枚骰子点数之和模型的等价转换，通过贴近生活的方式将其展开．在课堂的初始阶段，通过生活中的常见现象背后的数学原理引发学生关注，展开思考和探究．
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.2
两类概率情景的分析，引发认知冲突
提出三个问题：
-
丢一枚质量均匀的骰子，丢出奇数的概率是多少？
-
丢一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是多少？
-
老师到操场上去投篮，结果有两种，投进和投不进，请问老师投进的概率是多少？
分析：投骰子时，一共6个结果，奇数占其中3个,所以是
.丢硬币一共有正面反面两个结果，正面是其中的一个，概率也是
，但老师投篮投中的概率却不能用
计算。
提问：老师投篮的概率该怎么算呢？
【设计意图】对比两类情景的概率计算方式，创造认知冲突，虽然都是两个样本点，但是概率的算法却不同，引导学生发现这是两类不同的情景，通过比较，感知古典概型的特点，并引出用频率估计概率的方法．
分析：初中知识告诉我们，反复投，用成功的次数除以总次数获得频率，大量重复实验，用频率估计概率．
但是大量重复的试验费时费力，我们对于一些特殊的随机试验能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？
丢硬币一共两个样本点，正面占其中一个，我们计算出的概率为
，与历史上的实验结果高度吻合（展示历史上的实验）．
【设计意图】回忆初中的知识，可通过大量重复实验，用频率估计概率．一方面历史上的丢硬币实验证明了古典概型的正确性，也说明了我们可以借助频率的分布来研究概率的分布，为后面“抛掷两枚相同的硬币”实验，通过样本点的频数来验证等可能性，获得概率的分布特点，打下理论基础．
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.3
讨论交流，通过比较，提炼古典概型的特点和计算公式
提问：投篮投中的概率就不能用
来算，投篮和丢硬币，都是两个样本点，它们有什么不同？请学生相互交流讨论．
分析：丢硬币，每个结果发生的可能性是相同的，投篮受到技术的影响，两个结果发生的可能性不同．
提问：掷骰子的六个样本点发生的可能性是否相同？
生：发生的可能性是相同的．
分析：丢硬币，丢骰子都一个共同的特征，即样本点发生的可能性相同，概括出古典概型的第一个特征：等可能性．
【设计意图】对比两类不同的情景的样本点特点，获得古典概型对等可能性的要求．
例举另外一类随机事件：比如在[0,1]之间任取一个实数
，有多少种结果？对比丢硬币，丢骰子的样本点个数，概括出有限性：样本空间的样本点只有有限个．
【设计意图】有限性的直接获得较为困难，通过对比“在[0,1]之间取任取一个实数，有多少种可能”这个问题，引导学生反向注意到古典概型样本点有限这个特点．
概括得到古典概型的定义及计算式：如果随机试验E的样本点和样本空间同时具有等可能性和有限性，我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
一般地，设试验
是古典概型，样本空间
包含
个样本点，事件
包含其中的
个样本点，则定义事件
的概率
，其中
和
分别表示事件
和样本空间
包含的样本点个数.
投篮的概率不能用1/2来算，就是因为我们选取的样本点不具有等可能性，用了古典概型的公式，却不符合古典概型的定义．所以遇见一个随机事件，应该先判断它是否为古典概型．
【设计意图】概括古典概型的定义，介于学生对古典概型的计算公式也在初中学习过，而且非常熟悉，所以不对公式的获得进行展开．
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.4
反例辨析，深化理解概念
提问：（1）向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗?为什么？
(2)某同学随机地在一个圆环靶子上取一点，这一试验的结果从点所在的环数来看只有有限个：点在10环、点在9环……点在5环．你认为这是古典概型吗？为什么？
分析：都不是古典概型．（1）不符合有限性，（2）由于各环数所代表的面积大小不一，不符合等可能性．两个要求，缺一不可．但是随机实验是不是有限个样本点很容易判断，等可能性这一要求却没有那么明显．
【设计意图】反例辨析，深化对等可能的性和有限性的理解．
5.5
实验探究，理解等可能性
问题：同时掷两枚一模一样的硬币，出现一正一反的概率是多少？
分析：学生往往认为有
和
两个不同的结果，这是由于样本点的选择不同导致的．样本点的选择有两类：“全是反面，恰好一个正面，恰好两个正面”和“全是反面，A硬币正面，B硬币反面，A硬币反面，B硬币正面，全是正面四种”，提出问题：
认为有4个样本点的同学将硬币编为A，B，为什么要编号？编号丢出的数据和不编号丢出的数据是否一致？
另外得出的两个不同的结论，根本原因是选取的样本点不同，但是哪一种选法才是等可能的？
展开课堂实验：
第一组：抛两个完全相同的硬币，一个同学抛，另一个同学记录一正一反，两正，两反分别出现了多少次；
第二组：抛两个不同的硬币，记录数据；
第三组：提出问题：硬币不够了，每两人只能分到一个硬币，能不能用一个硬币模拟两个硬币的效果呢？分析出将一个硬币抛两次，第一次记为A硬币，第二次记为B硬币即可．
第四组：提出实在没有硬币了，在生活中我们也常受到客观条件的限制，无法实际操作随机试验，那有没有数学的方法，帮助我们进行思想实验？介绍随机数表的构成原理，引导学生运用随机数表，设计方案模拟丢硬币的实验．分析出可以选取相邻两个随机数，用随机数的奇偶模拟硬币出现的正反．
四组同学分别通过实验采集数据，一四组完成第一个表格，二三组完成第二个表格．
完成表格，汇总数据，让学生进行数据分析，表达观点．
可以相互讨论的问题包括：如果一正一反的概率为
，则数据比例大约是多少？数据是否能看出样本点的等可能性？第一组的数据和第二组的数据比例是否一致？如果数据差异较大，产生的原因是什么？
最后在计算机上展示模拟实验，通过表格软件中的RANDBETWEEN函数可以返还两个整数间的随机数，为了模拟抛硬币，可以设定在（0,1），分别代表正面，反面，这样就可以轻松模拟出多次丢硬币的实验．展示模拟了丢一万次的结果，分析得到编号后，四个样本点是等可能的．
分析数据知：两反，A正B反，A反B正，两正，是等可能事件，而一正一反是它们的和．而两个相同的硬币，在思想上编号以后，与两个不同的硬币原理一致．
小结：同时抛掷两个相同的硬币/同时抛两个不同的硬币/先后抛同一个硬币两次，在原理上是等效的．
计算古典概型时，需要对物品进行编号，方能保证等可能性．
【设计意图】以投硬币实验作为切入点，设计了四组不同的实验，在学生动手实践、动脑思考、数据分析的学习活动中，验证怎样选择样本点才能做到等可能．
通过四组不同的实验，一是帮助学生理解“同时抛掷两个相同的硬币/同时抛两个不同的硬币/先后抛同一个硬币两次”三种情景的一致原理；二是用实验验证相同的物体编号后样本点才具有等可能性；三是引导学生设计、体验用随机数模拟随机实验．在实验过程中，突出了本节课的重点，培养了学生合作探究的能力，并进一步加深了学生对古典概型的理解．
5.6
古典概型的实际运用
例1：考虑下面两个随机实验，求事件A和B发生的概率．
（1）一个班级中有18名男生，22名女生，采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生”；
分析：（1）共40个样本点，它们是等可能的，抽到男生占18个样本点，故事件A发生的概率为
；
提问：第一问若改为袋子里有18个一模一样的蓝色小球，22只一模一样的红色小球，从中任取一只，抽到蓝色的概率是多少？
分析：仍然为
．样本点一共40个，抽到每一个小球就是一个样本点，需要对每一个小球编号才能保证等可能性，所以样本点共有40个．
【设计意图】简单运用古典概型概率计算公式，再次体会对物品进行编号以保证样本点的等可能性．
例1（2）：一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”．
请学生到黑板上例举出所有样本点。
对学生的例举过程进行点评，提醒学生例举时是否建立了良好的分类标准，能否用树状图和有序数对的形式表达样本点．
【设计意图】练习用例举法得到样本空间，引起学生对分类标准的关注，并练习通过树状图和有序数对等形式对样本点进行清晰的表达．
回到开头提出的问题：
例2.甲乙两人在进行“十五二十”游戏，假设双方出拳时都等可能的在“0”“5”“10”中任选一种．
（1）请写出样本空间中所有的样本点并判断该试验是否为古典概型；
（2）请问游戏时喊出哪一个数字获胜概率最高？
（请同学上台写出样本空间）
分析：（1）该试验的样本空间为
，
，
，
，
，
，
，
，
共9个样本点，因为是出拳是等可能的，所以是古典概型；
（2）喊出10获胜的概率最大．
对学生的书写进行点评，展示也可以通过表格来例举出样本空间．分别得到了喊各个数字获胜的概率，从而得到“十五二十”猜拳游戏的制胜策略，提出即使是生活中的一件小事，处处都藏着数学，激发学生对数学学习的兴趣．
【设计意图】回答引入时提出的问题，进一步训练样本点的表达，也可以看出喊5和10，0和20获胜的概率，从而制定“十五二十”猜拳游戏的制胜策略，体现数学原理在生活实际中的运用，激发学生对数学学习的兴趣．
例3.从两名男生（记为
和
），两名女生（记为
和
）中任意抽取两人，估算四人的平均身高．
（1）分别写出依次有放回的简单随机抽样，不放回的简单随机抽样，和“先抽一男生，再抽一女生”三种抽样方法的样本空间；
（2）分别求三种抽样下，抽到两人都是男生的概率．
分析：依次有放回简单随机抽样的样本空间为
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
,共16个样本点，抽到两人都是男生的概率为
.依次无放回简单随机抽样的样本空间为
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
,共12个样本点，抽到两人都是男生有两个样本点，概率为
.
按比例“先抽一男生，再抽一女生”的样本空间为
，
，
，
,共4个样本点，抽到两人都是男生的概率为0.
提问：如果男女生身高存在较大差异，应该选择那种抽样方式更加科学？
分析：应该避免出现样本中两个均为男生或者两个均为女生这样的极端样本，比例抽样最佳，其次是无放回的抽样．
如果时间充足，则进一步提问：再提供一种抽样方法：如果一次性从4人中抽取两人，不讲顺序，样本空间是什么？抽到两名男生的概率又是多少？留给学生思考．
【设计意图】对比了三种不同的抽样方法对样本空间的影响，通过抽取出两人都是男生的概率的比较，解释了分层抽样的科学性．
5.7
总结回顾，提炼要点
课堂小结：
求解古典概型问题的一般性思路：
（1）明确实验的条件及要观察的结果，用适当的符号表示实验的可能结果；
（2）根据实际问题情景判断样本点的等可能性；
（3）计算样本点个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率．
【设计意图】学生总结反思，进一步强调本节课内容的重点和难点和方法，培养学生提炼、总结、概括的能力．
5.8
课后拓展，自主探究
课后调查：买彩票结果无非中与不中，那中奖的概率是不是
？怎样选择样本点才是等可能的？学校后门有个卖彩票的小店，请调查常见彩票的中奖规则，并尝试算一算中奖率是多少？
【设计意图】有意识地将数学与生活结合，借助常见的彩票中奖率的问题，激发学生探究的热情，做到学以致用，巩固基本知识的同时又提升了学生分析问题和解决问题的能力．
5.9
课后练习
1、课后练习
教科书238-239页，第1题、第2题、第 3题．
2、思考提升
下面有三个游戏规则，袋子中分别装有球，从袋中无放回的取球，分别计算甲获胜的概率，则游
戏是公平的是（ ）
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游戏1 |
游戏2 |
游戏3 |
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1个红球和1个白球 |
2个红球和2个白球 |
3个红球和1个白球 |
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取1个球 |
取1个球，再取1个球 |
取1个球，再取1个球 |
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取出的球是红球，则甲胜 |
取出的两个球同色，则甲胜 |
取出的两个球同色，则甲胜 |
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取出的球是白球，则乙胜 |
取出的两个球不同色，则乙胜 |
取出的两个球不同色，则乙胜 |
A．游戏1 B．游戏1和3 C．游戏2 D．游戏2和3
3、实践应用
课后调查：请调查常见彩票的中奖规则，并尝试算一算中奖率是多少？
【设计意图】在作业的布置中，注意将双基训练与能力发展相结合．创新性地设计探究问题，有意识地将数学与生活结合，使学生能够学以致用，既巩固了基本知识，同时又提升了学生运用知识分析问题和解决问题的能力．
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
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