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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《有限样本空间与随机事件》重庆—卓
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重庆—卓忠越—设计—《有限样本空间与随机事件》
“有限样本空间与随机事件”教学设计
西南大学附属中学校 卓忠越
一、设计理念
本节课作为高中概率单元起始课，以培养学生的数学核心素养为宗旨，遵循学生的已有知识结构和认知规律，着眼于整体大单元教学目标，采用基于情境、问题导向的互动式、启发式、探究式课堂教学方式，通过独立思考、自主探究与合作交流相结合，培养学生理性思考、敢于质疑、把握本质的学习习惯，渗透归纳总结、类比推广、数学抽象、模型转化等思想方法，逐步培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
（一）注重数学核心素养培育的落实
本设计主要关注数学抽象、逻辑推理和数学建模核心素养的培育，主要通过以下途径予以落实。
表1 主要核心素养与培育途径
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核心素养 |
培育途径 |
数学抽象
与
逻辑推理 |
学生在熟悉的情境中，用归纳或类比的方法，抽象随机现象共同特征和随机事件概念，能用数学语言准确予以表达。
学生对比随机试验结果不同的表达方式、剖析不同数学表达的本质，逐步对试验结果进行数学化抽象，能用抽象的数学语言表达生活现象。 |
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数学建模 |
学生对比不同随机试验背景的结果，分析不同结果背后的本质，初步具备试验模型建立与转化意识。 |
（二）注重凝练大主题，统领单元学习
本节课作为概率单元起始课，注重从整体单元教学入手，聚焦本单元的大背景、大主题，致力于呈现本单元“森林”全景，让学生了解为什么要学习本单元、本单元要学什么、学习的路径与方法是什么，把学生带到正确的起点，看到要去的终点。
表2 概率单元的“大背景”与“大主题”
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大背景 |
初中对随机事件、概率的定义是感性的、描述性的概念，还缺乏准确的数学表达；
随着复杂事件的概率问题出现，概率亟需准确的数学定义。 |
通过课前单元导学材料，充当本节课先行组织者，让学生了解为什么要学习本单元。 |
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大主题 |
集合语言重构相关概念，集合思想统领单元学习 |
通过呈现单元学习主线，让学生明确要学什么、学习的路径和方法是什么。 |
图1 概率单元学习主线图
（三）关注数学思想方法的渗透
本设计主要渗透归纳类比、数学抽象、模型转化等数学思想，主要通过以下途径予以实现。
表3 主要数学思想与实现途径
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数学思想 |
实现途径 |
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归纳类比 |
主要通过对随机想象共同特征的归纳、对样本点、样本空间、随机事件等集合化概念的生成、对复杂样本空间的准确数学化表达等过程。 |
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数学抽象 |
主要通过数学化表示样本空间、随机事件等过程。 |
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模型转化 |
主要通过对比不同的随机试验背景可以写出相同的样本空间，建立相同的试验模型等过程。 |
二、教学内容解析
概率论是研究随机现象规律的数学分支，为人们提供了从不确定角度认识客观世界的思维模式和解决问题的方法。概率课程承担的主要育人任务是培养学生分析随机现象的能力。基于整体单元化教学的需要，本节课作为高中概率单元的起始课，兼具知识预备和单元导引的双重价值。
表4 主要教学内容解析
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教学内容 |
思想方法 |
核心素养 |
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知识预备 |
通过随机试验，引入样本点、样本空间的概念，用集合语言刻画随机事件，让学生获得研究对象——随机事件。
会用合适的集合语言表示一个试验的样本空间与随机事件。 |
归纳类比
数学抽象
模型转化 |
逻辑推理
数学抽象
数学建模 |
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单元导引 |
引导学生了解概率研究对象、研究方法和研究路径。 |
在学习本节课之前，学生在初中有对随机现象、随机事件描述性的感性认识，并能计算简单的古典概型随机事件的概率。但因为未能用数学语言来准确刻画随机事件，导致不能准确地理解随机现象与随机事件的关系，不能表达事件与事件之间的关系，不能解决生活中更为复杂的概率问题。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：理解样本点、有限样本空间、随机事件的概念及相互关系，并会用合适的集合语言表示一个试验的样本空间与随机事件。
三、教学目标设置
（一）教学目标
1.结合实例，获得随机现象的共同特征；
2.经历样本点、样本空间、随机事件概念的生成过程，理解随机事件与样本点、有限样本空间的关系；
3.能用准确的数学语言写出实际问题的样本空间、随机事件，积累从具体到抽象的活动经验。
（二）目标解析
达成目标1的标志：结合初中所学，能举出生活中概率研究对象的例子；结合两个情境，归纳抽象随机现象的共同特征，体会随机思想，明确研究对象。
达成目标2的标志：经历发现初中对随机事件刻画局限性问题的过程，理解用集合语言描述随机事件的合理性和必要性。结合具体实例和自主阅读教材，获得样本点、样本空间、随机事件的准确概念，绘制反应三者关系的Venn图，认识随机事件与样本点、样本空间的结构关系。
达成目标3的标志：经历对不同情境的样本空间、随机事件进行准确表达的探究过程，体会从实物化到文字化、符号化、数字化的逐级数学抽象过程，能够结合树状图、列表分析样本点个数，能够用合适的集合语言准确表示常见的样本空间、随机事件。
四、学生学情分析
学生在本节内容之前，已经在九年级上册学习了“概率初步”，对随机现象有初步认识，会描述性地刻画随机事件，会求简单的古典概型随机事件的概率，但对随机事件缺乏准确的数学定义。学生在上一章还学习了“统计”的初步知识，具备基本的数据收集能力和单变量数据基本的分析处理能力。
本节课将用集合语言对“随机事件”概念进行重构，是学生首次接触。那么，在初中描述性定义的基础上，为什么还要进行重构？为什么想到用集合语言来重构？集合是现代数学中重要的数学思想方法和语言，几乎所有的数学过程都从构造集合开始，概率论当然不例外。但学生刚开始对此可能有疑问，理解上可能有困难，因此教师需要搭设合适的探究过程和递进的启发问题，让学生理解引入集合语言进行刻画的合理性和必要性。
另外，构建合适的样本空间是表达和刻画“随机事件”的前提，是后续研究随机事件概率的基础。面对一个实际问题，如何准确地表示出试验的样本空间，比如分析有多少个样本点、用什么符号和形式来表达样本点、相同的试验背景为什么可以写出不同的样本空间等问题，学生都会遇到很多困难和疑惑。因此课堂教学要设计充分的探究过程，采用独立思考与交流分享并用的方式，引导学生发现问题并解决问题。
基于以上分析，确定本节课的教学难点是：用适当的符号和形式，准确地书写随机试验的样本空间和表示随机事件。
五、教学策略分析
1.基于“翻转课堂”的理念，通过课前给学生推送单元导学材料，包括初中概率知识回顾、有趣的随机现象案例、概率发展简史、概率重大阶段成就等阅读资料，让学生提前了解概率的研究对象、研究内容和研究方法，感受概率研究的有趣和有用，激发学生进一步学习的兴趣；
2.选择熟悉的抛硬币试验与惊叹的谢尔宾斯基三角形试验相结合，并分别运用GeoGebra和Matlab软件编程，制作重复试验动画，既有利于学生归纳获得随机现象的共同特征，又有利于提升学生进一步研究随机现象的好奇心。
3.选择从九年级上册数学教材中的问题切入，立足学生初中所学概率初步知识，贴近学生思维的最近发展区，通过教师搭设合适的探究过程和递进的启发问题，让学生自主发现引入集合语言刻画随机事件的合理性和必要性，既加深了对概念的理解，又培养学生分析问题和解决问题的能力，发展学生的“四能”。
4.本节课作为概率单元起始课，涵盖各级概念共计13个，面对繁杂的学习内容，首先组织该课时沿着“随机现象—随机试验—试验结果—样本点—样本空间—随机事件”的知识路径，使学生获得概率研究对象随机事件；其次，在形成初步概念之后，组织学生自主阅读教材并绘制Venn关系图，加深概念理解，培养学生提取信息和自主建构知识结构的能力，培育学生逻辑推理和数学抽象的核心素养。
5.设计三组基于不同目的的对比探究活动，通过问题串引导学生自主探究与交流分享相结合，及时评价反馈，突破本节课“用适当的符号和形式，准确地书写随机试验的样本空间和表示随机事件”的难点，培育学生数学抽象的核心素养。
6.设计三级课后作业，分别有“知识巩固”、“数学实验”和“跨学科应用”作业，确保学生在掌握数学基础知识的同时，能运用所学探求现象背后的本质，培养学生理性的科学精神；能跨学科融合，运用所学解决生活实际问题。
六、教学过程设计
教师：结合课前的阅读材料和初中所学，同学们认为概率的研究对象是什么？
师生活动：师生共同列举出生活中常见的丰富的概率问题实例。
教师追问：它们都有什么共同特征呢？
【设计意图】回顾初中概率初步知识，感受概率研究源于生活，引导学生思考现象背后的共同特征，把握事物的本质。
教师：先看大家所熟悉的抛一枚硬币的情境，如果抛一次硬币，观察正面向上的结果有几种可能？结果确定吗？如果重复抛100次，并统计它们的结果，又会出现什么现象？
师生活动：教师播放一段由GeoGebra编程制作的抛硬币100次模拟试验动画（如图2），学生从中体会一次试验结果的偶然性和多次重复试验结果的频率却具有稳定的规律性。
教师：我们再来看一个更为有趣的情境。教师介绍随机数与随机点构建的规则，并提问，这些点的产生具有随机性吗？你看出这些点的分布有什么规律性吗？
师生活动：教师播放一段由Matlab编程制作的3000余个随机点分布规律的视频，惊奇的发现随机点的分布具有明显的规律性，呈著名的谢尔宾斯基三角形的形状（如图3）。引导学生共同归纳总结以上现象的共同特征：
就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性；但在大量重复观测下，各个结果出现的频率却具有稳定性的现象，我们称之为随机现象.
教师：概率是一门非常年轻的学科，通过阅读课前导学资料，大致了解了概率的发展，能感受到初中对随机事件的认识更多是一些感性的认识；高中，我们将结合实例，从理性的角度准确刻画和研究随机现象。（引出本节课的课题“有限样本空间与随机事件”）
【设计意图】分别选择熟悉和有趣的两个情境，引导学生归纳获得随机现象的共同特征，有利于提升学生进一步研究随机现象的好奇心，体会随机思想，明确研究对象。
1.随机试验概念生成
教师：随机现象的频率稳定性需要基于大量重复观测，所以对随机现象进行重复试验和观察就是必需的。因此我们定义随机试验的概念：
为研究某种随机现象的规律，我们把对随机现象的实现和同时对它的观察，称之为随机试验。
师生活动：结合实例，对随机试验进行解析，明确试验分为现象的实现和结果的观察两个步骤。
【设计意图】通过随机试验将研究对象转化为对试验结果的研究。
2.样本点、样本空间、随机事件等概念生成及关系辨析
教师：当完成一个试验，最关心的是试验的结果。不妨来看九年级上册数学教材上的一个例子：小伟掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数.请思考以下问题：掷一次骰子，观察骰子向上的一面上，
（1）可能出现哪些点数？
（2）出现的点数会是奇数吗？
（3）出现的点数会是3的倍数吗？
（4）出现的点数会是3吗？
（5）出现的点数会大于0吗？
（6）出现的点数会是7吗？
师生活动：教师请学生回答以上问题，并根据事件发生的可能性不同，分别标记为随机事件、必然事件、不可能事件三类。
【设计意图】从初中数学教材中的问题切入，让学生回顾初中概率初步知识，贴近学生思维最近发展区，层层递进。
教师追问：能否用一个恰当的数学形式，更加简洁地把以上事件表示出来？不妨以（2）为例，出现的点数是奇数，包含哪些结果？
师生活动：学生可以逐一写出（2）—（5）对应事件包含的结果情况，但（6）写不出来。
教师追问：没有结果，如何表示？
师生活动：学生自然想到用空集
来表示，并将以上结果都统一为集合的形式，实现将每个事件都跟一个集合对应起来。
【设计意图】以表示每个事件对应的结果为契机，遇到没有结果如何表示的困惑。借助用空集表示没有结果，自然引出统一用集合形式来表示每个事件，让学生充分理解引入集合表示的合理性和必要性。
教师追问：这些集合都以什么对象作为元素？把所有可能的元素放一起，构成的全集是什么？
师生活动：引导学生抽象出这些集合以每次试验的结果作为元素，把所有可能的结果放一起构成全集。并结合该实例，分别定义试验的样本点
和样本空间Ω的概念。
教师追问：（2）—（6）每个事件分别对应一个集合，它们与全集的关系是什么？
师生活动：学生容易获得子集关系。教师引导学生把必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形，从而获得所有随机事件都是样本空间Ω的一个子集的认知。
【设计意图】以实例为载体，分别引入样本点、样本空间和随机事件的集合化概念，避免概念过于抽象，便于学生理解和厘清关系。
教师：将以上概念推广到一般，为加深理解和厘清它们之间的关系，请同学们结合刚才的实例，自主研读教材P
228—P
230，提取“样本点、样本空间、有限样本空间、随机事件、事件发生、基本事件、必然事件、不可能事件”等概念的集合化准确定义，并用“Venn图”将样本点、样本空间与随机事件、基本事件等的关系表示出来。
师生活动：学生自主研读，获取相关概念的准确定义，并依据对概念的理解，在课堂任务单上用“Venn图”表示它们之间的关系。教师进行巡视和指导，并引导学生共同完成不同概念间相互关系的建构（如图4）。
图4 样本点、样本空间与随机事件之间的关系图
【设计意图】合理使用教材，自主研读，培养学生自主阅读获取信息的能力，同时把教学的重心置于引导学生加深对概念的理解和准确辨析概念之间的关系。
探究一
问题1:足球比赛的开球权是由主裁判“抛硬币”决定的。在一场足球比赛开赛前，主裁判抛掷一枚专用的硬币，观察它落地时朝上面的正反面情况.请写出试验的样本空间.
师生活动：教师引导学生分析这个试验的实现和结果，思考如何表示样本空间？学生独立思考，教师巡视指导，并挑选不同的写法代表进行展示，引导学生分享交流。
教师：在大部分学生用文字进行抽象表示的基础上，启发学生思考，是否可以进一步抽象为更简洁的形式？
师生活动：学生提出还可以用字母、数字、符号等形式来进行抽象表示。教师指导学生如何规范地书写，并特别强调在用字母和数字形式表示时，要交代字母和数字的含义。教师总结提供四种不同抽象程度的写法，引导学生体验由实物化逐步文字化、字母化、数字化的数学抽象过程，并特别强调数字化表示形式的重要性和实用性。
（法一）
Ω1=
；
（法二）
{正面,反面}；
（法三）设用z表示“正面”，用f表示“反面”，则
{z,f}；
（法四）设用1表示“正面”，用0表示“反面”，则
{1,0}。
【设计意图】通过学生独立完成与交流分享相结合的方式，培养学生冷静思考的学习习惯，并及时评价反馈；通过逐步文字化、符号化、数字化表示随机试验结果的过程，培养学生的数学理性精神，渗透数学抽象的思想方法。
问题2:小明正在做一项《生男生女是否真的等可能》的统计调查，他随机选择一个独生子女家庭，观察其孩子的性别.请写出试验的样本空间.
教师：对比问题1，这个试验是否也可以用数字0、1来写出其样本空间？如果可以，请在任务单上写出来。
师生活动：学生独立思考后可以写出跟
{1,0}完全相同的样本空间，教师巡视并进行评价反馈。
问题3：不同的试验背景，为什么却写出相同的样本空间？
师生活动：师生共同探讨，总结发现两个试验的结果个数相同，都只有两个结果。
教师追问：你还能举出生活中可以用0、1来表示的随机试验的例子吗？
师生活动：学生通过大量举例，真切感受不同的试验背景，经过适当的数学抽象，样本空间都可以用0、1来表示，就可以把它们转化为相同的试验模型来解决问题。
【设计意图】通过对比不同的随机试验背景却可以写出相同的样本空间，建立相同的试验模型，渗透模型转化的思想方法。
探究二
问题1:抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上面的正反面情况.请写出试验的样本空间.
教师：抛掷两枚硬币，请分析试验有多少种可能的基本结果？用什么样的形式来表示两枚硬币的情况？
师生活动：学生结合树状图、列表等方式，分析试验的基本结果，并采用适当的形式写出样本空间。教师巡视并指导，挑选不同的写法代表进行展示，引导学生分享交流。预设学生主要有两种不同表示，分别是：①把抛掷两枚硬币看成先抛一枚再抛第二枚，并设1表示“正面”，0表示“反面”，样本空间为
{(1，1), (1，0), (0，1), (0，0)}；②不区分硬币，以观察落地时朝上的面为正面的次数为目的，
{两正, 一正一反,两反}。
教师：第一种表示中，为表示两枚硬币的结果，我们可以用坐标形式的有序数对（x
1,x
2）来表示。依此类推，要表示n枚硬币的结果，可以用n维坐标（x
1，x
2，……，x
n）来表示。
教师追问：第二种表示可以吗？如果可以，为什么相同的试验却写出了不同的样本空间？
师生活动：引发学生思考，发现是因为观察角度和目的的不同，导致写出了不同的样本空间。
【设计意图】通过增加硬币枚数，引导学生结合树状图、列表等方式分析复杂的随机试验结果，并用n维坐标形式的有序数对来表示n维样本点；通过分享交流不同的样本空间，发现明确试验的观察角度和目的，对写出准确的样本空间至关重要。
问题2:抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上面为正面的枚数.请写出试验的样本空间.
教师：对比问题1，两个试验背景相同，但观察的角度和目的不相同。
师生活动：学生在问题1的基础上，容易写出样本空间Ω
2
{2，1，0}
问题3：相同的试验背景，为什么写出不同的样本空间？
师生活动：对比问题1、问题2，相同的试验背景，基于不同的观察目的，可能写出不同的样本空间。
【设计意图】通过试验对比，强调明确试验的观察角度和目的，对写出准确的样本空间至关重要。
探究三
如图5，一个电路中有A、B、C三个电路元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象.对整个电路进行一次检查，观察各元件是否正常.
问题1：写出试验的样本空间；
问题2：用集合表示下列事件：M=“恰好两个元件正常”；N=“电路是通路”；T=“电路是断路”.
师生活动：利用前面两个探究得到的成果，解决更复杂的实际问题。教师引导学生分析试验的所有可能结果，选择合适的符号形式，按要求规范地写出样本空间；引导学生分析随机事件与样本点的对应关系，并用集合表示出来。
问题3：对比分析事件N与事件T，二者有何关系？
师生活动：教师引导学生分别从生活角度和集合角度分析这两个事件的关系，发现在生活中是相对的，从集合的角度是互补的，从而引发互补的两个集合对应两个相互对立的事件的猜想，由此引出，下节课我们将通过研究集合的运算来研究事件之间的关系。
【设计意图】通过较复杂的现实情境，巩固所学，检测学生能否准确写出试验的样本空间和随机事件，同时借助分析事件关系与集合运算的对应，引出后续研究内容，明晰整体单元学习主线。
1，知识路径回顾
师生活动：带领学生回顾本节课知识获得的路径，再次明确知识生成的主线，明确本节课学习的重点和难点。具体知识路径如下：
随机现象—随机试验—试验结果—集合表示（样本点、样本空间、随机事件、事件发生、事件关系等）—正确表示试验的样本空间、随机事件
2.思想方法总结
师生活动：引导学生总结本节课用到的主要数学思想方法如下：①由特殊到一般的归纳、转化思想；②由生活化到符号化、数字化的数学抽象思想；③由一个到一类问题的模型转化思想。
3.素养能力提升
师生活动：引导学生总结发现，通过本节课的学习，经历用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考实际问题、用数学的语言表达生活现象的过程，利用数学抽象、数学建模、逻辑推理等思想，不仅收获了数学知识和数学方法，更收获了解决生活实际问题的能力。
【设计意图】对知识、方法、技能进行总结、反思、升华，促进学生对本节课所学内容和方法的理解与认识。
1.知识巩固
任务：完成教材P
231练习1—3题。
目的：练习准确书写随机试验的样本空间，并用集合准确表示随机事件。
2.数学实验
任务：亲自用抛骰子的方式去完成谢尔宾斯基三角形的产生。
目的：讨论分析其规律性产生的原因。
3.跨学科应用
任务：查阅资料或走访气象局专家。
目的：深入了解天气预报中“明天下雨的概率为70%”的预报原理和意义。
【设计意图】设计三级课后作业，确保学生在掌握数学基础知识的同时，能运用所学探求现象背后的本质，培养学生理性的科学精神；能跨学科融合，运用所学解决生活实际问题。
七、课堂板书设计
基于本节课的实际，采用提纲式与对比式相结合的形式，既有利于核心概念的呈现，又有利于呈现初、高中随机事件概念的区别与联系。
图6 课堂核心概念教学板书设计
图7 课堂探究环节板书设计
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
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