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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《弧度制》宁夏—李
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宁夏—李静—设计—弧度制
弧度制
李 静 （宁夏回族自治区宁夏育才中学）
一、教材分析
1.内容
1弧度的概念、弧度与角度的换算、弧度制下的弧长公式与扇形面积公式.
2.内容解析
（1）知识上下位：三角函数是一类最典型的周期函数，通过本章的学习能够让学生进一步完善函数的知识体系，掌握研究函数的思想方法，学会用三角函数的相关知识构建函数模型解决实际问题.本节课的主要内容是弧度制的概念及角度制与弧度制的互化，弧度制的引入统一了三角函数自变量与因变量的单位，建立了角的集合与实数集之间的一一对应关系，为后续三角函数的学习奠定基础.
（2）思想方法：本节课在初中已有的扇形弧长与面积公式的基础上，通过数形结合、类比归纳、转化等数学思想构建了度量角的新的单位制——弧度制，并简化了角度制下扇形的弧长与面积公式，进一步完善了学生对角的度量制度的认知体系，强化了创新意识与辩证思维，发展了直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
基于此，本节课的教学重点：弧度制的概念及弧度制与角度制的互化.
二、目标及解析
1.课程目标
了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.
2.课时目标
（1）了解弧度制的概念，体会其引入的必要性与定义的合理性.
（2）能够应用弧度制度量角的大小.
（3）了解角度制与弧度制的内在联系，能进行角度与弧度的互化，并简化弧度制下扇形的弧长与面积公式.
3.课时目标解析
（1）通过具体实例抽象出数学模型，体会弧度制引入的必要性，并结合初中扇形的弧长与面积公式，寻找影响角大小的几何量，借助数形结合、转化化归的数学思想从数、形两个角度说明弧度制量角的合理性，经历“背景—定义（单位1）—换算—应用”的探索过程，完成弧度制概念的建构，发展直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
（2）通过裁角、量角的过程感受1rad角的大小，体会以“单位1”为基准进行测量的度量本质，并举一反三强调角的旋转方向，发展直观想象的核心素养.
（3）经历“发现问题—提出问题—解决问题”的探索过程，建立角度制与弧度制互化的桥梁，通过扇形弧长与面积公式的再推导对弧度制加以应用，提高知识的综合运用能力，深化角度制与弧度制的内在联系，在完善角度量认知体系的同时，体会揭示相同事物本质所用的辩证统一思想，发展数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
三、学情分析
1.认知与能力基础
（1）初中学生已经学习过角度制下扇形的弧长与面积公式，具有基本的识图与运算能力.
（2）学生已经学习了角度制及任意角的相关知识，有用不同单位进行度量的生活经验，具备用量角器量角的能力，这为本节课弧度制概念的构建提供了必要的知识储备和能力保障.
2.可能面临的困难
由于弧度制与角度制量角的本质截然不同，所以理解弧度制“用线段的长度来量角”的度量本质，需要有一定的批判思维和创造能力，这对学生而言具有一定的挑战性.
3.教学难点
基于此，本节课的教学难点：弧度制的生成与理解.
四、教学策略分析
本节课是概念课的教学典范.拟采用问题驱动、引导发现的启发式教学方法来教，引导学生通过观察发现、自主探究、合作交流的探究式学习方法来学，并借助信息技术直观展示动态图象帮助学生感受弧度制量角的合理性.具体教学策略包括以下几点：
1.合作探究
本节课在裁角、量角、建立角度制与弧度制互化桥梁的环节，都给予学生动手实践、交流讨论的机会，只有充分激活了学生的思维，这节课的各环节才能顺利推进，内容才会丰富充实，方法才会异彩纷呈.
2.问题驱动
本节课紧紧围绕如何用卷尺量角、怎样说明弧度制量角的合理性、如何定义1rad角的大小、怎样建立角度制与弧度制互化的桥梁等问题展开，以“问题串”的方式引导学生由特殊到一般，从具体到抽象构建弧度制的概念，符合知识地生成与发展规律，有助于突破教学难点.
3.技术运用
借助计算机软件动态展示同心圆中影响角大小的几何量的变化情况，加深学生对弧度制本质的理解；利用智慧课堂教学助手展示学生练习的完成情况，将信息技术与课堂教学高度融合的同时，提高课堂效率.
五、教学基本流程
1.创设情境，引出概念（3分钟） ------问题驱动
2.合作探究，建构概念（15分钟）
3.分析归纳，理解概念（11分钟） ------师生互动 三动课堂
4.情景再现，应用概念（6分钟）
5.小结反思，升华概念（4分钟） -------培育自动
6.布置作业，巩固概念（1分钟）
1.创设情境，引出概念
教师引言：不同的度量规定会产生不同的度量单位.例如，物体的质量可以用千克、斤、磅等度量单位表示；物体的长度可以用米、尺、码等度量单位表示.《愚公移山》中有“太行、王屋二山，方七百里，高万仞”.
问题1：仞是中国古代的一种度量长度的单位，如果让你研究“仞”，你会怎样研究？
师生活动：教师在引导学生交流的基础上，总结研究长度单位“仞”的方法路径.
（1）明确度量规则：说出新的度量单位“仞”是怎样产生的，如何规定的.
（2）确定度量单位：确定度量单位“仞”的具体长度，找到与已有单位的换算方法.
（3）学会正确度量：以“1仞”为单位，以累加或等分的方式度量其他物体的长度.
教师引言：相似的研究对象其研究路径也有共通之处，以上我们梳理了研究度量单位的方法路径，今天我们就沿着这条路径学习新的度量角大小的方法——弧度制.那么什么是弧度制，又为什么要引入弧度制呢？带着这些问题我们一起来看以下情境.
【设计意图】仞是中国古代的长度度量单位，汉朝规定七尺为一仞.这里通过梳理“仞”的研究过程，总结研究度量制的一般方法路径，为学生有序的研究新的度量制——弧度制，奠定方法基础，同时注重数学文化的渗透.
2.合作探究，建构概念
为促进学生全面发展，落实“五育并举”的育人目标，宁夏育才中学开辟校园西北角一片土地作为劳动教育实践基地，由各班承包耕种，让学生在知行合一的劳动实践中丰富生活体验.如图1为我班分到的扇形试验田，现欲购种需知土地面积，思考：
图1
问题2.现若仅有卷尺为测量工具，你认为可以测得土地面积吗？为什么？
预设1：不能，中圆心角
未知.（追问：我们能否用借用卷尺测量的数据来求出圆心角？）
预设2：可以先用卷尺测出弧长和半径，借助弧长公式
求出圆心角
，再利用
计算面积.
问题3：观察上述表达式，你认为可以用什么量来刻画角的大小？
追问：该性质可以作为度量角的依据吗？为什么？
预设：可以，圆心角
所对的弧长与半径的比值，与半径的大小无关，只与的大小有关，也就是说，这个比值随的确定而唯一确定．因此用弧长和半径的比值表示圆心角是合理的．
【设计意图】问题2以生活中的实际问题引入教学，激发学生学习兴趣，引领学生用已有知识解决实际问题.在解决问题的过程中，得出圆心角的计算公式
.教材中由圆的弧长公式
直接变形得出
，为什么做这样的变形，学生会感到唐突.问题3根据学生认知基础，得到公式，通过分析公式结构，找到圆心角与弧长半径的的对应关系，让学生自然的发现：圆心角所对的弧长与半径的比值，只与的大小有关，也就是说，这个比值随的确定而唯一确定.
师：在数学学习中，除了可以从代数的角度来证明结论，还可以从几何的角度更加直观地解释其合理性.
问题4：观察图2中的同心圆及左侧的数据，当角
确定时，你有什么发现？
图2
预设：虽然两个圆的半径
和所对的弧长
不同，但其比值相同.
师生活动：首先，保持角不变，教师改变图2中两个圆的半径，带领学生观察左侧的比值依旧不变，总结出圆心角的大小与半径的大小无关，当角一定时，其弧长与半径的比值也唯一确定；接着教师提出该结论是否对于其他的圆心角也成立呢？然后改变图2中角的大小，再观察左侧数据，如此往复，带领学生得到结论：弧长与半径的比值随的确定而唯一确定，反之也成立，二者之间具有一一对应的关系.
【设计意图】渗透对应转化的思想，如果两种对象具有一一对应的关系，常常可以用一种对象表示另一种对象.例如用实数表示数轴上的点，用有序实数对表示平面直角坐标系中的点，为后继学习三角函数以及复数的表示提供方法支撑.
问题5：按照前面我们梳理研究度量单位的方法路径，接下来我们该研究什么了？
追问1：你认为应该如何规定弧度制中“1单位的角”的大小？
预设：
时弧长所对的圆心角定义为“1单位的角”.
追问2：此时半径与弧长有何关系？
师：大家的想法与数学家们不谋而合，我们把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度单位用符号（rad）表示，读作弧度.这种利用弧度度量角大小的方法称为弧度制.
追问3：既然角的大小与半径无关，不妨令半径为1，我们把这样的圆称为单位圆，在单位圆中有何结论？
如图3所示∠AOB=1rad，∠AOC=-1rad，在弧度制中角的正负依然由旋转方向决定，逆时针旋转为负，顺时针旋转为正，因此正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.
图3
早在18世纪，伟大的瑞士数学家欧拉（1707-1783）在他的名著《无穷小分析引论》中就提出把圆的半径作为弧长的度量单位，这一思想将线段与弧的度量统一起来， 大大简化了三角的运算.数学教师汤姆生首先使用了“弧度”一词，将“半径” (radius) 的前四个字母与“角”(angle)的前两个字母合在一起，构成radian,并被人们广泛接受和引用.
【设计意图】引导学生类比长度单位“仞”的研究路径，明确接下来要研究的任务，进一步经历研究度量制的一般路径，积累学习度量制的活动经验.
3.分析应用，理解概念
问题6.在提前准备的圆中做出1rad的角，并将其裁出与其他同学比较，大家制作的1rad的角大小相同吗？
方案1：任意画一个圆，用头发度量出和半径长度相同的弧长，该弧长所对的圆心角即为1rad的角.
方案2：由
.
练习1：用制作的1弧度的角测量图4中角的大小，结果用弧度数表示.
图4
【设计意图】第1个角让学生直观感受1弧度的大小；第2、3个角让学生在测量角的过程中认识到，与角度制一样，可以用正负号表示角的旋转方向；第4个角引发学生认知冲突，当用1弧度的角不能准确测量角的大小时，如何更准确的用弧度表示角的大小呢？需要研究弧度与角度的换算关系.
问题7：角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间如何换算呢？
教学活动：学生讨论，教师总结得出
，
.
与半径
表示出我班试验田如图7的面积吗？
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5.1.2 弧度制 背景 定义 换算 应用 |
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