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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《基本不等式》四川—游
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四川—游婷—设计—基本不等式
基本不等式（第1课时）
（人民教育出版社普通高中教科书A版（2019）数学必修第一册第二章第二节）
四川省绵阳中学 游婷
一、内容和内容解析
1.内容
基本不等式的定义、证明和几何解释；基本不等式求最值的两种模型及其在数学中的简单应用.
2.内容解析
教材通过对重要不等式 ＋ ≥ 的字母代换，得到了基本不等式，揭示了这两个不等式的联系.通过进一步研究如何利用不等式的性质进行证明引入分析法，为培养高中阶段学生的逻辑推理能力提供了更丰富的策略.教材通过探究活动研究基本不等式的几何背景，寻求它的几何解释，动态地展示了基本不等式中“不等”到“相等”的转化过程.以上设计能够引导学生从建立过程、证明方法和几何解释多个角度认识基本不等式，加深学生对基本不等式的理解. 教材例1和例2是基本不等式在数学中的应用，例2的题干给出的基本不等式的数学模型，揭示了基本不等式可以解决的两类最值问题，为利用基本不等式解决实际问题（例3，4）埋下伏笔.
（1）内容的本质
基本不等式的结构特点是：当 0时，有 ≤ ，当且仅当 ＝ 时等号成立.从运算角度来看， 是两个正数 的“算术平均数”， 是两个正数 的“几何平均数”,基本不等式刻画了两个正数在运算中出现的大小关系的变化规律，是“运算中的不变性和规律性”，是不等式性质的一个特例.从代数角度来看，基本不等式在完全平方公式 ≥0的基础上进行代数变形而成，正好也体现了代数学中数系数系结构和各种公式的构造特点（逐步归纳、复合构造），学生从中体会到构造新公式的手段和方法.从几何角度来看，基本不等式刻画了“周长相等的矩形中，正方形的面积最大” “等圆中，弦长不大于直径”等现象，它们即是基本不等式在几何基本图形中的体现，也是基本不等式的直观解释.从数列的角度来看，基本不等式描述了两个正数的等差中项、等比中项及其关系，这也是基本不等式的一个代数模型解释，只是要随着学生学习的深入不断补充、完善.
（2）知识的上下位关系
相等关系与不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础. 基本不等式是不等关系中一种特殊、重要且基本的表现形式，有多种有意义的变式，可以联系很多领域，在数学内外都有广泛应用，是非常重要且基本的内容，它可以作为不等式理论的基本定理，成为支撑其他许多重要结果的基石，是解决许多最值问题的工具.
（3）蕴含的思想方法及育人价值
在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量、转化与化归，以及数形结合、数学模型等思想方法.因此，基本不等式内容可以培养学生的逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模等核心素养.
根据上述教学内容的分析，按照课程标准要求，确定本节课的教学重点为：
教学重点
掌握基本不等式的结构特点、代数证明和几何意义；能用基本不等式解决简单的最值问题.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）从情境中发现、探索并证明基本不等式 ≤ ，探究基本不等式的几何解释，体会数形结合的思想，发展学生的直观想象、数学抽象能力，提升数学运算、逻辑推理素养.
（2）结合具体典例，掌握用基本不等式解决简单的最值问题的基本方法，体会特殊到一般的思想，提升数学运算、数学建模素养.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）能将重要不等式 ＋ ≥ 进行变形获得基本不等式；知道基本不等式的结构特点，其实质就是“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；会利用不等式的性质采用“分析法”证明基本不等式；能借助“圆中弦长与直径的关系”的几何模型进行几何解释.
（2）能结合具体典例，明确基本不等式的使用条件和注意事项，即“一正、二定、三相等”；能用基本不等式模型求最大值或最小值；在解决具体问题的过程中，体会基本不等式的作用与力量，发展逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养.
三、教学问题诊断分析
由于学生缺少代数式证明的经验，所以基本不等式的证明是本节课的一个难点.基本不等式的几何解释也是学生不容易想到的，需要数形结合地去理解，所以这也是本节课的一个难点.
此外，在利用基本不等式研究最值问题时，学生容易出现忽视使用条件，不验证等号是否成立，甚至出现没有确认和或积为定值就求最值等问题，这也是学生思维不够严谨的表现，因此利用基本不等式求最值也是本节课的难点.
根据学生的学习实际，基于上述分析，确定本节课的教学难点为：
教学难点
1.用分析法证明基本不等式；
2.构建几何图形探究基本不等式的几何解释；
3.以数学模型的观点理解基本不等式，用其解决两类最值问题.
四、教学支持条件分析
1.在主导思想上
本节课依据“教评学一致性”的理念进行课堂教学设计，实施目标导引教学.基于学习目标创设学习问题，激发学习兴趣；基于目标设计与之匹配的评价设计和教学方案，引导学生主动参与学习过程，动手动脑动口.在学习过程中锻炼理性思考能力和批判性思维.
2.在内容上
（1）对于基本不等式的证明这一难点，通过分析探究、交流合作、小组展 示、师生释疑等环节，设计环环相扣的问题链，引导学生深入讨论、理性思考.
（2）在进行基本不等式的几何解释的教学时，为了帮助学生直观地观察图形中几何元素之间的动态关系，并将其转化为代数表示，利用几何画板制作了一个动态图形，以帮助学生直观理解.
（3）对于利用基本不等式求最值这一难点，设计贴近学生最近发展区的变式练习，并让学生自己尝试对代数式进行变式，加深对能利用基本不等式求最值的代数式结构的理解.同时借助信息技术（多媒体课件、希沃白板），实时展现学生的思维过程，对错误进行“赏析”，在师生互动、生生互动中逐步突破难点.
五、教学过程设计
环节一 复习回顾,引入课题
引导语 我们以前在代数式的化简、运算及因式分解中常常会用到两个重要的乘法公式： .
那么，在研究不等式的性质后，是否也有一些特殊不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的基础性、工具性作用呢？今天我们就来研究这个问题.
【设计意图】从整体单元入手明确研究对象（特殊不等式），构建新旧知识的联系，清楚新知识的作用（和以前乘法公式一样，具有数学模型的力量）.
环节二 抽象概念,内涵解析
1.基本不等式的定义
引入 在不等式第一节的学习中，我们利用完全平方差公式得出了一类重要不等式：
＋ ≥ （当且仅当𝑎＝𝑏时，等号成立）.
问题1 在代数研究中，通过对已有代数式变形可以获得新的代数式，这是一个充满惊喜的过程！如果 0，我们用 分别代替上式中的 可以得到怎样的式子？
师生活动预设 学生独立计算后回答：对于 0，得到
≥ 教师引导：由此我们从式的运算关系得到了数的运算关系.将此式变形得到
≤ ，当且仅当 时，等号成立，通常我们称此不等式为基本不等式. 其中 叫做正数 的算术平均数， 叫做正数 的几何平均数.基本不等式表明两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.
【设计意图】学生能从探索过程获知，基本不等式是重要不等式的特殊形式，建立新旧知识的联系，为不等式的学习提供可参考的对象.通过分析基本不等式的代数结构特征，得到基本不等式的代数解释，加深对基本不等式的认识.
2.基本不等式的证明
问题2 你能证明基本不等式吗？（
≤ ）
师生活动预设 学生可能根据两个实数大小关系的基本事实，用作差比较法证明上式.学生可能从 ≥0出发证明基本不等式.教师给与赞许并投屏展示学生的证明过程.教师引导：从已知出发进行推证是一种常用的证明方法.当从已知出发进行推证比较困难时，我们也可以换一种思路.请同学们翻到教材第44页并认真阅读.然后通过思考的问题引导学生.
思考（1） 回顾“充分条件与必要条件”中的相关知识，谈一谈你对“要证……，只要证……”的理解.
师生活动预设 在学生回答的基础上，教师明确指出：“只要证的内容”是“要证内容”成立的充分条件.
思考（2） 在获得显然成立的⑤式
≥0后，为什么就可以断定最前面的基本不等式成立？
师生活动预设 有了思考（1），以学生自我表达做铺垫，学生思考交流后可以发现：从“显然成立”出发，一步步倒推，且每一步都是正确的，即⑤ ④， ④ ③，③ ②，② ①.
教师总结 把教材的过程倒过来就是同学刚才展示的方法.我们把这种从已知出发进行推证的方法叫综合法，将从要证的结论出发，逐步寻求使其成立的充分条件的证明方法叫分析法.注意：在书写表达时每一步都要加以文字说明“要证……，只要证……”，直到“显然×××成立”.分析法这种由未知探需知、逐步推向已知的方法在今后的数学研究中还会经常用到.
【设计意图】让学生阅读教科书，再以有层次的思考题的形式引导学生理解分析法的逻辑和书写格式，为学生高中阶段的推理和证明提供了更丰富的策略，培养学生的逻辑推理能力.
3.基本不等式的几何解释
引入 类比重要不等式的研究，接下来我们探究基本不等式的几何解释.
回顾 不等式（ + ≥ ）的几何解释是什么？
学生活动预设 学生思考并回答：利用赵爽弦图，给出了此不等式的一个几何解释：正方形的面积不小于4个直角三角形的面积和.当 缩为一个点，即 时，等号成立.
教师引导 重要不等式中有平方、两个数的乘积，我们利用赵爽弦图从面积的角度对其进行几何解释.类比这种构建方式，对于 ， ，可以尝试构建怎样的图形从几何的角度来解释基本不等式呢？
合作探究 你能构建一个几何图形来解释基本不等式吗？
学生活动预设
方案一 小组讨论后学生展示：我们小组直接利用赵爽弦图来解释基本不等式，让原来的边长 变成 、 变成 就行了.
教师点评 联系到了前面的代数代换，很不错.如何做出长为 、 的线段呢？可以课后研究一下.
方案二 小组讨论后学生展示：我们小组作线段
AC ，在Rt△
ABD中，利用三角形相似可以得到
AB边的高
CD长为 .
教师点评 非常好！那什么时候等号成立呢？
方案三 小组讨论后学生展示：我们小组也是作线段
AC ，不同的是从基本不等式的变形 ≥ 入手，联想到直角三角形中的射影定理，再通过对直角三角形进行翻折得到 .可以看出四点共圆，并由此得到 扮演者直径的角色.
教师点评 非常好!那 和 的几何意义是什么呢？以上两种方法本质是一样的.在圆中，能够更直观地体现 变化时， 的大小关系.接下来我们通过动态演示来感受一下这个变化过程.
师生活动预设 教师演示几何画板，展示点
C在线段
AB上移动的过程.学生观察思考，教师引导学生总结：“圆中半弦不大于半径，当且仅当弦过圆心，
C点与圆心重合，即 时等号成立.
【设计意图】类比一类重要不等式（ + ≥ ）的几何解释，引导学生结合代数式的结构特征（ 和 ），以小组合作的方式尝试构建几何图形进行几何解释，再观察这些几何元素在变化中表现的大小关系的规律，从而获得基本不等式的几何解释，体会数形结合的思想.借助几何画板，展示点 在线段 上移动的过程，更好地理解 与 之间的关系随着 大小关系的变化而发生的变化，同时体会基本不等式中蕴含的“等式”与“不等式”的内在联系.
环节三 典例分析 巩固理解
引入 以上我们从代数变换、推理论证、几何解释等多个角度研究了基本不等式.“基本”二字体现了其基础性、工具性的地位，它在数学内外都有广泛的应用，比如这样的最值问题.
例1 已知
＞ ，求 的最小值.
思考（1） “求 的最小值”的含义是什么？
师生活动预设 学生思考后回答.教师总结：求 的最小值，就是要求出一个 ,使 ,都有
≥ .这里的 就是要求的最小值.
思考（2） 观察代数式 的结构特征，是否可用基本不等式求其最小值？ 如果能，如何求？
师生活动预设 学生思考后回答:本题要求的代数式是两个正数 的和的形式，且 1由于 是 的算术平均数的2倍，而几何平均数 是一个常值，所以可以利用基本不等式求解.
思考（3） ≥2中等号是否成立，若成立， 取何值？
师生活动预设 当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最小值为2.教师板书例1的解答过程.
【设计意图】引导学生根据所求代数式的结构特征，判断是否能用基本不等式求最值，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供示范.
变式1 已知 都是正数，求 的最小值；
变式2 已知 ，求 的最大值.
【设计意图】对例1中代数式或条件做变化，考察学生利用基本不等式求代数式最值的能力.
例2 已知 ， 都是正数，求证：
（1）如果积 等于定值 ，那么当 时，和 有最小值
（2）如果和 等于定值 ，那么当 时，积 有最大值 .
师生活动预设 学生思考、书写证明过程并投屏展示，师生共同补充完善.
思考 通过本例的解答，说说满足什么条件的代数式能够利用基本不等式求最值？
师生活动预设 学生讨论后回答：代数式的每一项都是正数，其和或积为定值，就能求积或和的最值，注意不等式中的等号是否能取到.教师总结：通俗地说，就是“一正、二定、三相等”.同时教师明确指出：由例2获得了两个数学模型：积定求和的最小值、和定求积的最大值.利用基本不等式求最值时要注意模型特征的识别“一正、二定、三相等”.
【设计意图】在例1的基础上，进一步示范如何直接利用基本不等式解决最值问题，让学生在获得相关知识的同时，领悟其中蕴含的数学思想方法，能把基本不等式处理最值问题当成数学模型去看待，从而提高解决问题的能力,为后续解决实际问题创造了条件.
环节四 巩固新知，练习反馈
课堂练习 已知
1≤ ≤1，求1 的最大值.
【设计意图】考查学生利用基本不等式求代数式最值的能力.
环节五 归纳提升，形成结构
教师引导学生回顾本节课的内容，并回答下面的问题：
（1）你能归纳一下基本不等式的研究过程吗？
（2）你对基本不等式有哪些认识？体会到了哪些数学思想方法？
（3）处理两类最值问题（积定求和的最小值，和定求积的最大值）时，需要注意什么？
师生活动预设 学生小组讨论总结，再全班交流、互动，教师点评，最终形成比较完整的认识.
教师课堂总结 本节课我们遵循“背景—概念—性质—应用”的研究路径，将一类重要不等式变形获得基本不等式，并对其正确性进行推理论证，再构建几何图形探究其几何意义，最后在应用中获得基本不等式模型解决最值问题的方法.这也是研究一个特殊代数式的一般过程.在今后的数学学习中，我们还会 进一步感受到基本不等式的魅力与力量！
【设计意图】引导学生回顾总结本节课的学习内容和学习方法，反思学习过程，得出有条理的理性认识.在小结中，要注意引导学生体会研究一个特殊代数对象的一般过程.
环节六 布置作业,应用迁移
布置作业
1.综合运用
（1）教科书第46页练习1（用分析法证明）；
（2）教科书第48页习题2.2第1、2、4、5题.
2.拓广探索
（1）《绵中精品小练习》
（2）基本不等式是从 ＋
≥ 变形而来，代数中通过类似的变形得出有用结果的事例很常见.例如，在 0时，在 ＋
≥ 的两边同时除以 可得
≥2.你能得到一些基本不等式的变形吗？
（3）“等圆中，半弦不大于半径”是基本不等式的一个几何解释，你能再给出基本不等式的其他几何解释吗？
阅读拓展 《不等式入门》（可在图书角借阅）
【设计意图】合作探究1将基本不等式变形获得一系列新的常用不等式，发展学生数学运算和数学建模意识.合作探究2让学生构造不同的几何图形解释基本不等式，提升学生直观想象素养，增强学习兴趣.作业1为基础巩固题，目的是让学生利用基本不等式解决简单的最值问题，完善解题格式，以便举一反三.《不等式入门》供学有余力的同学课后研究，获得对基本不等式更多、更深的认识.
六、板书设计
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基本不等式（第1课时）
1.基本不等式
2.证明：分析法
3.几何解释
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