第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《一元线性回归模型参数的最小二乘估计》山东—孟

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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《一元线性回归模型参数的最小二乘估计》山东—孟

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山东—孟祥峰—设计—一元线性回归模型参数的最小二乘估计

文本框: 人教A版选择性必修三
第八章第2节 一元线性回归模型参数的最小二乘估计

教学内容解析

1. “一元线性回归模型参数的最小二乘估计”是人民教育出版社A版《普通高中教科书选择性必修第三册》第8章“成对数据的统计分析”第2节的内容，是统计思想方法在实际生活中的典型应用案例。本节内容渗透了数学建模与转化化归的数学思想方法，在具体方法上有观察法、主元、消元等。本节课的教学重点是一元线性回归模型参数的最小二乘估计和利用统计软件进行数据分析。
2 . 本节内容是在学习了“一元线性回归模型”的基础上，继续对一元线性回归模型参数进行估计，并对模型的刻画效果进行检验，是后续非线性回归模型学习的基础。因此本节内容可以看作一元线性回归模型的下位学习，非线性回归模型的上位学习。
3.本节教学过程呈现了发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的特点。在学习过程中让学生体会最小二乘的思想，积累数据分析的经验。围绕“儿子身高与父亲身高的关系”这个案例，完整呈现了从直观寻找与散点整体接近的直线，到用竖直距离

刻画散点与直线的“距离”，再到用

定量刻画整体接近的程度，最后得到参数估计的数学化过程。对建立的模型进行应用是利用数学建模解决实际问题的一个重要环节，教学中通过“儿子身高与父亲身高的关系”这个案例，利用经验回归方程进行预测，并对结果进行合理解释，进而进一步介绍残差分析的方法，据此对模型进行评价和改进。学会使用统计软件是统计学习的重要环节，《普通高中数学课程标准（2017年版 2020年修订）》对此也提出了要求。本节内容还渗透统计软件的学习使用，让学生初步学习使用统计软件进行数据分析，注重与信息技术的融合，提高学生的信息素养，进一步发展学生的统计观念，培养学生的数据分析和数学建模等核心素养。
二、教学目标设置
统计学习不应只是记住一些概念、公式或方法实施的操作步骤，更重要的是了解概念和方法产生的必要性，以及方法的合理性，了解统计研究问题的思路和特点，进而学会用统计的眼光看问题，培养数据分析素养。
依据“课程目标——单元目标——课堂教学目标”设置本节课的教学目标如下：
1.通过小组合作探究问题：“从直观感知与散点在整体上最接近的直线”，学生了解解决这一问题的各种思路，并能判断可行性。
2.通过类比物理中力的分解，学生明白“用竖直距离刻画样本点与直线最接近”这一问题的原因。
    3. 围绕“求解构建的数学模型的最值问题”，通过层层递进的问题串引领，学生明白求解双变量问题最值的基本方法——消元、主元；通过详细解答过程的投影，学生基本掌握运算过程，掌握运算法则。
4. 通过信息技术与数学教育教学的深度融合，学生学会使用统计软件。
5. 通过观测数据与预测数据的不同，学生理解残差分析的必要性和合理性，认识统计方法的特点（如统计推断可能犯错误，估计结果具有随机性），体会统计结论的好与坏。
6.通过数据收集、录入、整理，学生经历较为系统的数据处理的全过程，掌握基本数据分析方法，理解数据分析的思路，学会运用所学知识解决实际问题，尝试使用统计软件。
7.通过改编诗，呈现本节课的要点，学生加深对本节课的印象，巩固本节课所学内容。
8.通过贴近学生生活的案例探究作业，学生进一步掌握统计思想的应用，熟悉统计软件的使用。
三、学生学情分析
学习过程是知识不断重建的过程，这一过程必须以学生原有的认知结构为基础，加强与学生已有知识和能力的联系，既可以帮助学生理解新知识，又有利于学生能力的发展。根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中“一元线性回归模型”的内容及要求，学生学情分析如下:
1.学生原有认知基础
学生在初中已经初步建立了统计观念，在高中必修课程中，进一步学习了数据分析的方法和思路，逐步建立起了“获取数据——分析数据——解释问题”的解决问题的模式，能够较好地把握数据分析的基本思路与思想，初步具备了求和符号运算能力，了解了绝对值转化为平方的“二乘”思想方法，学生对计算机操作有一定的基础。
2.学生学习时可能遇到的困难
困难点1：在直观感知线性相关的基础上，寻找与散点整体最接近的直线。学生已经学习了线性相关与统计的有关知识，学生通过努力可以解决困难。因此教师提出问题，学生采用小组讨论的方式，集思广益，并对每种思路的可行性继续进行讨论，力求突破难点。
困难点2：如何用数学语言刻画样本点与直线最接近？学生的第一反应是用点到直线的距离，如何引导学生使用竖直距离进行刻画是本节课的又一难点。可以类比物理中力的分解，引导学生理解用水平距离和竖直距离也是等价的，而由于随机误差的存在，使点在竖直方向上“偏离”了直线，因此用竖直距离刻画更直接有效，成功突破难点。
困难点3：建立函数模型后，求最小值是学生面临的又一个难点。通过引导学生回忆处理双变量问题的基本方法，与学生的已有知识、技能相结合，突破难点。
基于以上分析，本节课的教学难点为：用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”和参数最小二乘估计公式的推导。
四、教学策略分析
为提高教学质量和效益，根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中“一元线性回归模型”的内容及要求，结合学生的实际情况，拟定教学策略如下：
1.采用小组讨论的方法，解决“如何找到一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近”这一问题。对此问题学生可能无从下手，充分发挥学生的主体作用，采用独立思考与合作探究等方式，实现对问题的多角度探究，提高课堂的效率和质量。
2.通过类比物理中力的分解，解决“为什么用竖直距离刻画样本点与直线最接近”这一问题，渗透多学科融合的理念，从而突破难点。
3.通过在学生思维的最近发展区设置层层递进的问题串，从而解决“将实际问题建立数学模型后，通过数学运算求解最值”的难点。通过教师讲解并投影详细解答过程，增强学生对运算的理解，培养学生的数学运算核心素养。
4.通过信息技术与数学教育教学的深度融合，使学生学会使用统计软件。通过数据收集、录入、整理，让学生经历较为系统的数据处理的全过程，学会数据分析方法，理解数据分析的思路；让学生运用所学知识解决实际问题，体会统计的作用，强化统计软件的使用，加强学生的课堂体检，体会信息技术在数据处理中的优越性。通过学生操作软件呈现学生对概念知识的理解与应用。
5.通过改编诗，将本节课的要点呈现，加深学生的对本节课的印象，起到强化巩固的作用。
6.通过分类布置作业，选做作业贴近学生生活，适当增加了探究性和综合性，既能激发学生的学习兴趣，又能加强学生统计思想的应用，提高数据分析的能力，熟悉统计软件的使用。
五、教学过程设计
教学设计说明：为达到教学过程、知识的发展过程和学生的思维过程三者的协调同步，本节课的教学过程设计注重学生的学习体验，注重学生的数学建模、数学运算、数据分析能力等核心素养的培养。本节课的教学流程图如下：

环节	教学活动	学习评价		设计意图
复习旧知引入课题	上节课我们学习了一元线性回归模型，请同学们回忆一下：父亲身高与儿子身高相关吗？正相关还是负相关？线性相关吗？由于两个变量之间具有较强的线性相关性，为此我们建立了一元线性回归模型其中称为因变量或响应变量，称为自变量或解释变量，是与之间的随机误差，随机误差假设为：零期望、定方差。	评价者：教师如何评价：教师投影展示父子身高数据表和散点图，学生共同回答相关问题，教师补充；评价什么：学生回答是否正确。		通过复习旧知调动学生已有的相关知识，激发学生的学习兴趣，引入本节课的课题。
环节	教学活动	学习评价		设计意图
问题引领探究新知	问题1：如何找到一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近。请同学以小组为单位想一想、画一画、议一议。追问：请同学们继续以小组为单位对上述思路进行可行性分析。问题2：如何刻画和直线的“距离” ？追问：三个距离等效的情况下，选择哪一个作为解题的依据？问题3：从成对样本数据出发，如何用数学的语言刻画“从整体上看，各散点与直线最接近” 问题4：绝对值使得计算不方便，有没有改进方法？问题5：最小时和的值，可以作为斜率和截距的估计值。如何求其最小值？追问：有几个变量？双变量的一般处理方法有哪些？可采取哪种方法？消元法的关键是什么？问题6：大家观察一元线性回归模型，有没有可以利用的条件？问题7：由你能想到什么？问题8：怎么处理？追问：主元思想是否可以解决？	评价者：教师、生生如何评价：小组活动时生生之间评价，小组代表展示时教师点评；评价什么：学生从不同角度提出解决问题的思路，学生是否积极思考的态度。评价者：教师、学生、生生如何评价：小组活动时生生评价，学生代表对可行性进行分析时，学生补充纠正，教师总结并投影展示；评价什么：每种思路的可行性。评价者：教师、学生如何评价：在用“点到直线的距离”进行刻画的基础上，引导学生类比物理力的分解将距离分解为水平距离和竖直距离，引导学生思考三个距离之间的关系，并由学生补充，教师总结完善评价什么： 1．有哪些刻画二者之间“距离”的方法； 2．三个“距离”刻画效果的关系； 3．选择哪个作为解题依据的理由。评价者：教师、学生如何评价：学生回答，学生补充，教师投影展示；评价什么：数学语言的规范性，对问题刻画的准确性。评价者：教师如何评价：学生集体回答，教师投影展示；评价什么：学生的知识迁移能力。评价者：教师，学生如何评价：教师投影展示表达式，并进行分析，学生回答，学生补充，教师提示总结提升；评价什么：双变量问题的不同处理方法。评价者：教师如何评价：教师投影展示模型，学生回答；评价什么：哪个条件可以利用及其理由。评价者：教师、学生如何评价：学生回答，学生纠正补充，教师投影展示，形成问题解答；评价什么：平均数的变形应用、加和符号的运算。评价者：教师、学生如何评价：学生回答，学生纠正补充，教师投影展示；评价什么：因式分解的方法、平方的展开公式、二次函数最值的求法、书写的规范性。评价者：教师、生生如何评价：学生独立思考，小组讨论交流时生生评价，学生代表回答时，学生纠正补充，教师投影展示；评价什么：以哪个变量作为主元及其理由，运算的正确性。		学生经历提出问题、分析问题的过程，学生在独自思考中进步，在思维碰撞中成长。通过同学之间的相互讨论，体会统计方法的合理性，培养学生数据处理能力。在学生最近发展区内提出问题，使学生既能面对适度的学习困难，又能保持足够的学习兴趣，提高学生数学思维的参与度。类比物理中里的分解进行学科间知识迁移，成功突破难点。让学生经历完整的数学模型建立过程，提升学生的数学建模能力。由单个点上升到整体，保持了知识的连贯性、思想方法的一致性。在必修课程方差的学习中，学生对于此类问题的转化与化归具有了一定的经验，符合学生的最近发展区。通过层层递进的问题串，帮助学生逐步学会思考，成功进行知识技能的迁移,使知识和思想方法得到螺旋式的巩固和提高。从要解决的问题出发，从模型出发，引导学生要从根源上寻找问题的解决之道。根据学生的思维规律，设置层层递进的“问题串”，引导学生的数学思维活动，降低思维难度，帮助学生学会思考，成功突破难点。提高学生思维的迁移能力，加强学生对加和运算符号的认识与理解，进一步巩固学生的数学运算能力，使数学思想方法得到进一步的巩固和提高。
环节	教学活动	学习评价		设计意图
迁移应用巩固新知	问题9：利用软件求得儿子身高关于父亲身高的经验回归方程为，结合方程思考并回答以下问题：（1）根据模型，如果一位父亲的身高为176cm，预测他儿子长大成人后的身高（保留整数）？（2）根据经验回归方程的斜率和截距，高个子的父亲一定生高个子的儿子吗？矮个子的父亲一定生矮个子的儿子吗？（3）根据模型，由你父亲的身高估计你的身高，预测数据与观测数据是否符合？若不符合，请说明理由。问题10：以“父子身高关系”为例，你能通过残差分析判断模型刻画数据的效果吗？	评价者：教师、学生如何评价：教师展示如何用统计软件excel求经验回归方程，学生独立完成问题（1），学生思考并回答问题（2），教师展示高尔顿钉板实验，学生完成问题（3）并说明理由,教师引出残差分析的必要性并投影展示；评价什么：学生运算的速度及准确性、学生对经验回归方程的理解。评价者：教师、学生如何评价：教师展示用excel表格计算残差，生成残差图，学生思考回答，学生补充，教师总结提升；评价什么：如何通过残差图判断模型刻画数据的效果。		加强信息技术与数学教育教学的深度融合，使用信息技术组织教学资源，让学生学会使用统计软件，将学生从机械、烦琐的数据处理中解放出来，把更多经历集中于统计概念和方法的理解，从而提高学习效率。通过实验展示，让学生将理论与实践相结合，加深学生的理解认知。强化统计软件的使用，加强学生的数据分析能力，学生能够通过残差分析判断回归模型刻画数据的效果。
环节	教学活动		学习评价	设计意图
情境创设应用新知	做一做：收集部分男（女）同学的鞋码和身高，画出散点图，直观感知鞋码和身高是否符合一元线性回归模型。若符合，求出经验回归方程，并通过残差图判断效果。若不符合，请说明理由。		评价者：教师、学生如何评价：收集部分男同学的鞋码，学生录入并生成散点图，求出经验回归方程、残差图；评价什么：对统计软件的使用、对一元线性回归模型的判断、残差的定义，残差分析。	通过选择贴近学生实际的典型案例，使学生置身于案例中。通过数据收集、录入、整理，让学生经历较为系统的数据处理的全过程，学会数据分析方法，理解数据分析的思路，让学生运用所学知识解决实际问题，体会统计的作用，强化统计软件的使用，加强学生的课堂体检。
环节	教学活动		学习评价	设计意图
课堂回顾要点小结	请总结本节课所学内容。《青玉案·回归》，分析决策有良方，最小二乘来帮忙. 众里寻他千百度，蓦然回首，消元主元，回归线过样本中心处.		评价者：教师、学生如何评价：学生总结补充，教师投影展示并展示改编诗；评价什么：本节课的主要内容、主要思想方法。	从知识、方法、思想几个角度进行总结，积累经验，促进学生反思生活、感悟思想、提升素养；通过改编诗，将本节课的要点呈现，加深学生的对本节课的印象，起到强化巩固的作用。
目标	学习活动		学习评价	设计意图
分类提升作业布置	必做：教科书113页1，2，3，4，习题8.2第2题；选做：以小组为单位，研究数学成绩、物理成绩、化学成绩两两之间是相关的吗？哪两个学科之间相关性更大？语文成绩对数学成绩有影响吗？		评价者：教师、生生如何评价：教师进行书面作业批改，学生进行小组探究；评价内容：对经验回归方程等的理解、对统计软件的使用。	分类布置作业，选做作业贴近学生生活，适当增加了探究性和综合性，既能激发学生的学习兴趣，又能加强学生统计思想的应用、数据分析的能力、统计软件的使用。

六、板书设计

一元线性回归模型参数的最小二乘估计

公式公式推导过程

七、教后反思
本节课通过问题引领的形式引领学生对一元线性回归模型参数的最小二乘估计进行探究和深入理解，较好地突出了教学重点，突破教学难点。
在探究新知环节，通过八大问题以及若干个小问题，引领学生采用个人思考、小组讨论、代表展示等方式解决问题，培养学生逻辑推理、数学运算核心素养。在新知应用环节，通过选择贴近学生实际的典型案例，使学生置身其中，经历较为系统的数据处理全过程，经历运用所学知识解决实际问题，发展学生的数据分析素养。在课堂小结环节，通过诗词改编，完整呈现本节课要点，加深学生的对本节课的印象，起到强化巩固的作用。在作业布置环节，通过选择贴近学生生活的案例作为作业，适当增加了探究性和综合性，既能激发学生的学习兴趣，又能加强学生统计思想的应用、数据分析的能力、统计软件的使用。
本节课的亮点主要有以下几点：
1.在求解最小值的过程中，引导学生使用求解双变量问题的常规方法，使问题得到解决的同时也让学生明白了数学思想方法的一致性；
2．借用模型让学生估算自己与父亲的身高，拟合效果不佳的原因有一部分是因为父母生活的不容易，让学生懂得感恩父母；通过创设贴合学生实际生活的案例，使学生置身于案例中深入理解数据分析的思路，体会统计的作用；
3．总结时通过改编诗，加深学生对课堂知识的印象；课后开放性作业，选择学生感兴趣的内容，成功将课堂延伸到课下。
由于时间比较紧张，公式推导过程没有给学生充分的时间进行数学运算，课下可以继续进行研究。

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