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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《基本不等式（第1课时）》新疆—罗
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新疆—罗凯—设计—基本不等式（第1课时）
《基本不等式》（第1课时）教学设计
一、【教学内容解析】
本节课是高中数学人教A版必修第一册第二章2.2节第一课时。
从全章看，相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程
不等式的基础。本节课是在学习了不等式基本性质基础上研究的一种重要且基本的不等式类型。它在解决其它不等式问题中具有重要作用
这种“基本”主要体现在以下三个方面：
（1）它与很多重要的数学概念和性质相关，从数与运算的角度，它体现了两个正数的算数平均数与几何平均数之间的不等关系，不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算。从几何图形的角度，“等圆中，弦长不大于直径”“周长相等的矩形中，正方形的面积最大”等，都是基本不等式的直观理解。
（2）基本不等式的证明方法或推导方法很多，从数量关系的角度，利用不等式的性质来推导基本不等式；从几何图形的角度，借助几何直观，通过数形结合来探究基本不等式的几何解释；从函数的角度，通过构造函数，利用函数性质来证明基本不等式。
（3）基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值。
因此，基本不等式的学习可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模等学科素养。
基于以上分析，本节课有这样四个教学重点：基本不等式的定义、证明方法、几何解释和用基本不等式解决简单的最值问题。
二、【教学目标设置】
课程目标的制定要突出数学学科核心素养，思考相应数学学科核心素养在教学中的孕育点、生长点。同时要符合新课标提出的评价要求
具体目标包括：
（1）能在具体情景中抽象出重要不等式，通过从一般到特殊的逻辑推理得到基本不等式
（2）能利用不等式的性质证明基本不等式
（3）能通过几何直观和合作交流说明基本不等式的几何解释
（4）能在对基本不等式深刻理解的基础上，利用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题
其中（1）的达成考察了学生的抽象概括能力 （2）的达成考察了学生推理论证的能力（3）的达成考察了学生的直观想象能力，培养了学生数形结合的思想方法（4）的达成考察了学生抽象概括、推理论证的能力同时，还考察了运算求解、数学建模的能力。
三、【学生学情分析】
从学生已经掌握的内容来看，他们在上节课中已经学习了不等式的基本性质，会用作差比较法证明不等式并且在初中多次经历了建立方程（组）模型解决实际问题的过程。但是，由于学生缺少代数证明的经验，对于正确地运用不等式的性质对不等式进行恰当的等价变形会感到困难；其次，基本不等式的几何解释也是学生不容易想到的，需要数形结合地去理解。最后，在利用基本不等式解决两类最值问题时需要理解和识别问题中的数量关系，这与学生熟悉的建立方程模型刻画问题中的等量关系不尽相同。同时，学生在利用基本不等式研究最值问题时，容易出现忽视使用条件等问题。
因此，本节课的教学难点主要是以下两个方面：基本不等式的几何解释、用基本不等式解决简单的最值问题。
四、【教学策略分析】
（1）从全章教学内容出发，我们不仅要关注本节课的教学目标，还要关注整个单元教学目标。教学中以基本不等式的获得与证明及简单应用为明线，以数学思想方法的渗透和体会为暗线。按照“观察——感知——抽象——归纳——探究”的路径展开教学。
（2）创设合适的教学情境，提出合适的数学问题，引导学生主动探索获得基本不等式并给予证明。引领学生多角度、多方位地认识基本不等式，并了解它的几何意义，充分渗透数形结合的思想。
（3）针对教学中重难点，主要采用启发诱导，合作探究的教学方法实施教学。在落实几何解释环节，组织学生以小组为单位进行合作探究，给不同基础的学生提供交流的平台，并辅以信息化技术手段，赋予学生直观感受，便于观察。从而把一个生疏的、内在的知识，变成一个可认知的、可交流的对象，提高了课堂效率。在落实应用基本不等式解决最值问题的环节，通过启发、引导、点拨增强学生思考问题的逻辑性和严谨性.及时对于学生出现的错误给予纠正指导，使学生感悟思想、提升能力。
五、【教学过程设计】
环节一 基本不等式的定义，包含两个活动
活动1：欣赏数学家大会会标，提炼出里面蕴含的不等关系并通过微课探究重要不等式等号成立的条件；在实数范围内证明重要不等式。
思考1.1.1：从会标中可以抽象出哪些几何图形？
思考1.1.2：如果从正方形 的面积和直角三角形的面积这个角度出发，你能找到什么样的不等关系呢？
思考1.1.3：对于任意的直角三角形，上述不等关系恒成立吗？
思考1.1.4：对于任意实数 不等式 依然成立吗？
【设计意图】融入数学史，将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历史，渗透数学的文化价值，有利于学生进一步理解数学，开拓学生的视野，提升数学学科核心素养。通过适度点拨，引导学生利用图形中的面积之间存在的数量关系，抽象出重要不等式。增强学生用图“形”表现“数”、用“数”解释图“形”的意识。利用信息技术，制作微课，让学生更加直观地确认重要不等式中等号成立的条件，最后让学生在实数范围内给出重要不等式的证明，复习巩固作差法。
活动2：借助重要不等式得推导基本不等式、给出基本不等式的定义并探究基本不等式与重要不等式的联系和区别。
思考1.2.1：你能否借助重要不等式探寻 和 之间的不等关系？
思考1.2.2：重要不等式与基本不等式的联系和区别
【设计意图】在实际教学中，为了让学生能自然联想到用替代法，从重要不等式推导出基本不等式，我先带领学生分析重要不等式的结构，让学生认识到重要不等式体现的是两个实数平方和与乘积之间的不等关系，然后提出问题“那我们如何从重要不等式中得到两个数和与积的不等关系呢？”通过这样的设问引导，让学生经历从一般到特殊的逻辑推理过程。在得到基本不等式的过程中，体会重要不等式和基本不等式实际上是一脉相承的。通过探究它们二者之间的联系和区别，能够更加深刻地认识基本不等式的适用范围、等号成立条件以及其代数结构特征（即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数）。
环节二 基本不等式的证明
思考2.1：你能直接给出基本不等式 的证明吗？
思考2.2：还有其它证明方法吗？
【设计意图】基本不等式有许多证明方法，引导学生从不同角度，使用不同方法证明基本不等式。学生可能最先想到“作差法”，当然也有学生还是从重要不等式出发，利用不等式的基本性质，用综合法给出相关证明。教科书上为我们介绍了第三种方法“分析法”，这也是一种利用不等式的性质进行证明的方法，鉴于学生可能对分析法证明的格式和为什么可以这样证明难以理解，教学中我会特意对分析法的原理和过程进行充分的剖析，让学生体会能用分析法证明的命题，其证明过程必须具有推理的可逆性和推理结果的唯一性，基本不等式的证明就具有这个特点。这也为学生高中阶段的推理和证明提供了更丰富的策略。
环节三 基本不等式的几何解释
在老师的引领示范下，学生以小组讨论的形式探究并展示基本不等式的几何解释
【设计意图】与从“赵爽弦图”中的相等关系和不等关系中抽象出基本不等式的变形形式这一从形到数的过程不同，这一次是已知基本不等式，寻求它的几何解释。使学生体会从数到形的转化过程，让学生从建立过程、证明方法和几何解释多个角度再次认识基本不等式，通过运用数学符号语言、自然语言和图形语言三种方式刻画基本不等式，将几何意义和代数意义一起讲解，最终达到加深对基本不等式深入理解的目的。教学中最主要的难点是让学生将 与 与图中的几何元素建立起联系，从而将基本不等式与几何元素的大小联系起来，因此在讨论前，我先引领示范，利用两个等腰三角形的拼接，从面积角度出发带着同学们完成了几何解释，启发它们展开讨论。从实际课堂效果来看，学生的思维过程还是非常活跃的，给出了很多意想不到的几何解释。有同学是从赵爽弦图中得到启发，从大正方形中四个全等的长方形的面积与大正方形面积的比较中得到结果，有些同学从二次函数的性质出发，利用二次函数图象中点的坐标关系得到结果。有同学探究了等圆中半径与弦长一半关系中得到结论。最后一组同学利用两个圆的外切，从公切线角度出发，利用勾股定理完成证明。通过小组讨论，利用信息技术进行成果展示，给学生足够的课堂参与机会和自我领悟提升的空间.让学生在自主探究、合作交流中获取知识和过程性经验.发展“四基”“四能”。
环节四 基本不等式的应用
思考4： 成立吗？0是 的最小值吗？
追问： 成立吗？1是 的最小值吗？
例1 已知 都是正数，
（1）若积 等于定值 ，你能求出和 的最小值吗？
（2）若和 等于定值 ，你能求出积 的最大值吗？
练习 已知 ，当 取什么值时， 的值最小？最小值是多少？
【设计意图】课本中的例题的安排实际是给出了基本不等式解决最值问题的两类模型。从以往的教学经验中我发现，很多同学学习完利用基本不等式求最值后，就记住了“一正、二定、三相等”这个口诀，至于“为什么有这样三个要求”，“怎么想到用基本不等式来解决最值问题”、“问题是否符合基本不等式应用条件”、“为什么最后需要取等”等问题根本没有清晰认识。甚至有些同学在没有确认和或积为定值就求最值。产生这些问题主要原因有两个：其一、对于代数式最小值的含义不清。其二、忽视基本不等式的适用范围。针对这些问题，我在讲解例题前通过一个思考和一个追问，强调了代数式的最值必须是代数式能取到的值这一基本事实。同时讲解例题的过程中再次给学生强调 “当一个问题是涉及两个正数的积与和的最值问题时，我们就可以考虑使用基本不等式来解决”。最后，由学生展示解题过程，落实“一正、二定、三相等”这三个环节。
【归纳总结、布置作业】
1、课本46页练习1 2 3 4 5
2、思考：还有哪些方法可以证明基本不等式
【设计意图】课堂小结环节，回顾了重要不等式和基本不等式的探究过程、运用基本不等式求最值的条件，分析了本节课运用的思想方法。在作业布置环节，让学生课后继续探寻基本不等式其他的证明方法和几何解释。整节课贯彻了 “学生为主体，教师为主导”的教学思想。
六、【教学评价分析】
（1）核心知识评价要求
本章总共有7个核心知识，分别涉及三个认知层次，了解、理解、掌握，其中对于本节课的要求是掌握基本不等式及其应用。特别强调，对数学知识技能的评价，要关注学生能否把握知识之间的内在联系。
（2）思想方法评价要求
本章涉及函数与方程、数形结合、化归与转化、特殊与一般这四个数学思想方法。与本节课相关联的有2个，其中数形结合的思想方法的落实，要求学生能说明基本不等式的几何解释，特殊与一般要求学生能利用一般结论求最大值或最小值问题。教学中要特别关注学生能否掌握应用基本不等式求最值问题。
（3）关键能力评价要求
本章的关键能力主要包括抽象概括、推理论证、运算求解、直观想象等。这些关键能力在本节课都有涉及。在教学中要特别关注学生能否形成利用类比、特殊与一般的关系来研究新问题的意识。要特别关注学生能否理解基本不等式这个重要的数学模型，在具体问题中，能否识别这个模型。
【板书设计】
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
