视频简介：

函数 的图像与性质
———信息技术在探究函数图像与性质中的运用
华东师范大学第三附属中学   乐哲君
 
一、教学内容及其解析
（一）教学内容
借助代数推理与几何直观探究函数 的图像与性质，并通过函数图像和代数运算理解和解决问题．

函数来源 探究方法

函数 的图像与性质

（二）内容解析

性质证明

探究内容

本节课是从上教版高中数学必修第一册第4章第3节“对数函数”的课后阅读、探究与实践出发，主要内容是在学生已经学习了幂函数、指数函数与对数函数、函数的概念、性质及其应用、导数及其应用的基础上，运用信息技术，探究新函数 的图像与性质，并通过代数推理证明部分性质，目的是学会用几何直观和代数推理的方法探究函数，为之后研究新的函数提供方法指导，是高中数学学习的点睛之笔，同时也能对对数函数的增长速度有更严谨的认识．
函数是中学数学的核心内容之一，高中的函数内容主要为上教版必修一第四章幂函数、指数函数与对数函数，第五章函数的概念、性质及应用，上教版必修二第七章三角函数以及选择性必修二第五章导数及其应用．函数的概念、函数的基本性质以及分别作为基本初等函数的幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的图像与性质既是高等数学的重要基础，也是用以建立函数模型，解决诸多实际问题的重要工具．函数章节的学习有助于提高对用数学方法描述客观规律的认识，有助于感悟数学模型解释自然现象的作用，有助于在用函数知识解决一些简单实际问题的过程中，增强数学的应用意识．
本节课是一节探究课，探究的内容是一个新的函数 ，是基于教材的拓展内容，新定义该函数为幂对差值函数．幂函数和对数函数都是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步学习数学的基础，也是本节课探究的基础．根据幂函数与对数函数图像与性质的分类，本节课在此基础上先将幂对差值函数 按 的范围进行分类．直接利用幂函数与对数函数的性质，从代数角度分析幂对差值函数 在 与 时的性质，并用于作出函数图像，性质分析是研究函数的重要方法．
对于难以通过性质分析直接得到函数性质的情况，即当 和 时，可以通过描点法先得到具体函数的图像．《普通高中数学课程标准》提出：“教师应注重信息技术与数学课程的深度融合，实现传统教学手段难以达到的效果．”本节课通过用Excel绘制多个具体函数图像，用GeoGebra的游标功能更快捷地演示函数的图像特征，让学生感受幂对差值函数 的形态变化与运动规律，从而发现幂对差值函数 的共性，由特殊到一般，充分发挥了信息技术在探索函数图像与性质中的作用，不但激发了学生的学习兴趣，还将难以呈现的内容变得形象直观，化复杂为简单，把单调枯燥的数学问题趣味化．当然函数性质的探究离不开代数证明，发挥导数在证明函数单调性中的作用，导数的学习使得可研究的函数趋于丰富，本节课源于已学内容，又通过之后的学习解决并深化所学内容，实现了学生学习函数知识的系统性与连贯性．
函数性质的探究需要经历“描绘具体函数图像—归纳猜想函数共性—代数推理严格论证”的过程，并运用信息技术开展探究，这也是本节课的重点．本节课让学生完整地经历观察、猜测、证明等探究过程，引导学生尝试从代数推理与几何直观两个角度研究函数，让学生充分体验分类讨论、从特殊到一般、数形结合的数学思想，发展逻辑推理与直观想象的核心素养．另一方面，Excel、GeoGebra等软件的使用能让学生感受到信息技术在探究过程中的巨大作用，让学生感受到技术让实践和创新成为可能，驱动其有更大的热情与更多的精力投入到数学探究活动中．
 
二、教学目标及其解析
（一）教学目标
1．回顾幂函数与对数函数在 上的性质，了解幂对差值函数 的分类方法，学会分析幂对差值函数的性质，体会类比思想；
2．经历用Excel描点绘图的过程，并观察用GeoGebra绘制的幂对差值函数图像，体会由特殊到一般的研究方法，学会通过观察具体函数图像归纳猜想幂对差值函数的图像特征，感受信息技术在探索函数图像与性质中的作用，提升数形结合的能力，发展直观想象素养；
3．在归纳猜想的基础上学会用代数推理证明性质，能够用导数证明幂对差值函数的单调性，发展逻辑推理素养；
4．在交流活动中分享探究的喜悦与困惑，养成规范表达的习惯，反思研究函数的一般方法，培养用于探索的思维品质和树立学好数学的信心．
（二）目标解析
对于目标1，能在回顾幂函数与对数函数在 上的图像与性质后，对幂对差值函数 按 的范围进行分类，能通过分析幂函数与对数函数的性质得出当 时的幂对差值函数的函数性质，并类比得到 时的结论．
对于目标2，让学生用Excel绘制幂对差值函数 在 时的几个具体函数图像，并观察用GeoGebra演绎的参数变化时的函数图像，感受幂对差值函数 的形态变化与运动规律，能归纳猜想出图像特征与函数性质；
对于目标3，能用导数证明幂对差值函数 在 时的单调性；
对于目标4，让学生经历完整的幂对差值函数 图像与性质的探究过程，在交流活动中分享探究的喜悦与困惑，养成规范表达的习惯，学会探究函数的一般思路：描绘具体函数图像→归纳猜想函数共性→代数推理严格论证，并能自主地对本节课的探究过程和思想方法加以总结．
 
三、学生学情分析
本堂课的授课对象为高三年级的学生，他们经历了对幂函数、指数函数与对数函数的探究过程，掌握函数的概念、性质及其应用，了解导数的概念，能借助导数研究函数的单调性，对函数的研究思路与方法有了一定的感性认识，具有一定的观察、分析、推理能力，为本节课的探究提供了保障．学生能较好地表达自己的观点，渴望应用所学的知识解决问题，但对新的函数的探究仍存在一定的困难，为什么要研究、研究什么、如何研究，这些问题对学生来说尚需进一步地巩固与实践．
此外该班级学生在数学课堂上较多呈现出被动学习的状态，缺少主动研究的意识，但通过沟通了解，事实上大部分的学生能够接受合作学习，并喜欢合作学习，也希望数学教学方法能够更加多元化，并富有趣味性．
因此本节课从教材中对数函数的增长速度的探究出发，让学生自己动手计算函数值，交流对三类函数增长速度差异的思考；让学生亲自用Excel描点绘图，观察用GeoGebra演示参数变化时幂对差值函数的形态变化，组织合作交流、观察图像、归纳性质、代数证明等环节，鼓励学生分享自己的发现，让学生完整地参与研究函数的过程，有效激发学生的学习兴趣，增强学生的学习能动性．
 
四、教学策略分析
1．类比已有经验，构建研究整体架构
认知建构主义学习理论强调学习是通过新旧经验的相互作用而形成、丰富和调整自己认知结构的过程．本节课从教材内容出发，在回顾已学的幂函数与对数函数的基础上，类比得到探究函数 的分类情况，并启发学生通过分析初等函数的性质直接得出 时的函数性质，并由此类比得到 时的函数性质．而对于无法通过分析性质直接得到结论的情况，类比幂函数、指数函数与对数函数的探究过程，明确需要经历“描绘具体函数图像—归纳猜想函数共性—代数推理严格论证”的过程，并在探究过程中根据问题的解决需要不断调整，实现知识的同化与顺应．
2．借助信息技术，提高课堂教学效能
课前安排学生借助计算器计算三对函数的函数值，让学生在计算中感受计算器的计算功能，在比较计算结果中增强数感．在回顾幂函数与对数函数的图像与性质时，通过课件演示动图，清晰又快捷地巩固已学知识．在通过分析性质得到结论1、2之后，由性质指导作图，并通过课件演示，促进学生对这两类情况下幂对差值函数 的图像与性质的理解．通过课前活动的计算已经发现了幂对差值函数 的数据结果较为复杂，不易描点作图，借助Excel的绘图功能，绘制出多个具体函数的散点图，且能通过多次改变自变量的初始值、步长、个数探究自己想观察的部分，既清晰准确，又方便快捷，让学生体会到信息技术强大的数据处理功能与图像绘制功能．同时用GeoGebra软件辅助演示参数变化时的函数图像，让学生感受幂对差值函数 的形态变化与运动规律，通过观察更好地归纳出函数的共性，更好地提高数形结合能力．
3．以学生为中心，教师引导辅助探究
认知建构主义学习理论指导下的教学应注重探究性学习，学习过程应是主动构建的过程．本节课通过安排课前学习活动，让学生在比较中产生认知冲突，继而思考用已学知识研究这一问题，引出本节课要探究的新函数 ．引导学生根据已学知识类比出研究方法，明确研究思路，安排小组活动，让学生自己使用Excel描点绘图，观察幂对差值函数的图像特征，鼓励学生多次尝试，并分享自己的发现．本节课采用开放式小结，亲自经历了完整探究过程的学生一定有自己最真切和强烈的感受，锻炼学生的语言表达能力与归纳能力，肯定学生的发现与收获，建立积极的正反馈．
 
五、教学环节设计
课前活动：
学生在课前完成“探究与实践”学习单，学习单详见附件一．
[设计意图]对于教材中的探究与实践，本节课作了适当的改编，增设了计算在 位于较小数区间的函数值和计算两个函数的差值，旨在让学生体会对数函数在不同区间的增长速度，借助两个增函数的差值变化来了解这两个函数增长的快慢，并制作了课前学习单，让学生在计算中感受计算器的计算功能，在比较计算结果中增强数感，为本节课的探究做准备.
（一）创设情境，引入课题
材料1：北京时间2022年7月24日14时22分，搭载问天实验舱的长征五号B遥三运载火箭，在我国文昌航天发射场准时点火发射，约495秒后，问天实验舱与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功．
材料2：教材必修一P101课后阅读：火箭速度的公式
航天之父、俄罗斯科学家齐奥科夫斯基(K.E.Tsiolkovsky)于1903年给出火箭速度的计算公式： ，其中V₀是燃料相对于火箭的喷射速度，M是燃料的质量，m₀是火箭(除去燃料)的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度．可以看出v与M是对数函数的关系，由于对数函数增长速度很慢，通过大量增加燃料（即增加 ）难以达到航天器绕地球运行所需要的第一宇宙速度，据此他又提出了采用多级火箭发射航天器的设想．
现代运载火箭大多采用三级火箭，当第一级火箭的燃料用完时，点燃第二级火箭并抛弃第一级火箭，这相当于大大减小第二级火箭推进时的 ，从而在第二级火箭燃料用完时航天器可以达到较高的速度．然后类似地点燃第三级火箭并抛弃第二级火箭，最终可以将航天器送入太空轨道．
材料3：教材必修一P101探究与实践：幂函数、指数函数与对数函数增长速度的比较
我们已经知道，如果指数函数的底数 大于 ，当自变量 增加时，指数函数 增长得非常快，称为“指数增长”．类似地，可以分析底数 大于 的对数函数 的增长速度．
（1）计算函数 和 当 时的值，并由此比较两个函数的增长速度．
（2）计算函数 和 当 时的值，并由此比较两个函数的增长速度．
（3）计算函数 和 当 时的值，并由此比较两个函数的增长速度．
通过上述比较，你对对数函数的增长速度有何体会？
展示课前学习单的学生成果，学生分享课前小组活动的学习体会．
[设计意图]用长征五号B遥三运载火箭的新闻作为开篇，激发学生的学习兴趣，增强学生的民族自豪感．材料2、3来自教材必修一4.3对数函数，旨在说明本节课源于已学内容，又通过之后的学习解决并深化所学内容．由多个同学分享体会，让学生发现对数函数的增长速度并非一直很慢，产生认知冲突，从而引发学生的思考，激发探究热情，引出本节课要探究的新函数 ．
定义：当 为常数，且 时，等式 确定了变量 随变量 变化的规律，称为指数为 、底数为 的幂对差值函数，简称幂对差值函数．
[设计意图]为本节课探究的新函数新定义一个名称，践行提出一类函数、给出一种研究思路的探究理念，同时激发学生的学习兴趣，实现大胆创新、积极探索．
（二）巩固旧知，温故求新
问题1．回顾函数的学习经历，探究一个新的函数主要探究哪些内容？
定义域，值域，单调性，对称性（奇偶性），周期性，特殊点，零点，极值点，最值…
因为只有当 时 才有意义，此时 总有意义，所以幂对差值函数 的定义域是 ．
回顾幂函数 与对数函数 在 上的图像与性质．
问题2．根据幂函数与对数函数根据 展开的分类，能否推测幂对差值函数 可分哪几类进行探究？
[设计意图]由于幂对差值函数是由幂函数与对数函数经过初等运算得到，因此在开始探究前先回顾幂函数与对数函数的图像与性质，旨在基于已有经验开展探究，也由此为开展探究确定分类依据与分类情况，培养分类讨论思想，并为快速得出结论1与结论2做铺垫．
问题3．在以上几类中，哪几类幂对差值函数的图像与性质较易探究？
结论1．当 时，幂对差值函数 的图像过点 ，在定义域 上是严格减函数，值域为 ，函数零点 ．
问题4．能否根据结论1，类比得到幂对差值函数在 时的函数性质？
结论2． 当 时，幂对差值函数 的图像过点 ，在定义域 上是严格增函数，值域为 ，函数零点 ．
[设计意图]通过分析幂函数与对数函数的图像与性质快速得出结论1，运用已知函数的单调性是判断函数单调性的重要方法之一，将新函数的零点问题转化为两个已知函数图像的交点问题也是处理函数零点问题的重要方法，为学生以后的函数学习提供方法指导．类比结论1，推测当 时幂对差值函数的性质，并由性质指导作图，用GeoGebra绘制的图像辅助检验，培养学生的类比思想和数形结合能力，发展直观想象和逻辑推理的素养．
（三）运用技术，合作探究
探究．当 时，幂对差值函数 的图像有何特征？幂对差值函数有什么性质？
问题5．面对一个无法通过基本函数的性质，直接分析得到其性质的复杂函数，我们该如何展开探究呢？

• 取 的一些特殊数值，分别描绘幂对差值函数的大致图像．

问题6．运用计算机中的Microsoft Excel软件，小组合作描绘8个具体的幂对差值函数的大致图像，你能观察到它们的图像有哪些共性特征吗？
[设计意图]在开始探究前，先结合已有的高中函数的学习经验得出探究思路，给出方法指导．引导学生认识图像作为数学问题直观模型的作用，借助图形探索解决问题的思路，体现“数缺形时少直观”，发展直观想象的核心素养．安排小组活动，让学生亲身经历使用Excel描点绘图的过程，激发学生的学习兴趣，感受信息技术对数据与图像处理的强大功能，同时在实践中体会取点的要义，并为学生设置了思考、讨论、归纳的时空，让学生感受幂对差值函数的图像特征，体现了数学探究学习高度的自主性，注重学生在学习过程中的体会．

• 归纳猜想 时，幂对差值函数的图像特征和函数性质．

问题7．观察GeoGebra中幂对差值函数的图像，归纳猜想幂对差值函数的图像有哪些共性特征？
问题8．由上述图像的共性特征能归纳得到幂对差值函数的哪些性质？
[设计意图]由Excel描绘几个特殊函数的图像，到用GeoGebra呈现改变 时图像特征发生的变化，引导学生感悟从特殊到一般的研究方法，多个技术的使用有利于学生更好地归纳猜想出幂对差值函数的图像特征与函数性质，充分发挥了信息技术在探索函数图像与性质中的重要作用，有利于学生更好地探究幂对差值函数的图像特征，从而分解本节课的难点，也发展了学生的几何直观能力，增强运用几何直观和空间想象思考和解决问题的意识．将直观操作、合情推理和逻辑推理有机地整合在一起，使后续的推理论证成为学生实验、观察、归纳猜想的自然延续．
（四）代数推理，生成结论

• 通过代数推理，证明 时，幂对差值函数的图像特征与函数性质．

问题9．若 ，是否存在 ，使得幂对差值函数 在区间
上是严格减函数，在区间 上是严格增函数．
性质1．若 ，则幂对差值函数 在区间 上是严格减函数；在区间 上是严格增函数．
性质2．若 ，则当 时，幂对差值函数 取到最小值 ．
性质3．若 ，则幂对差值函数 的值域为 ．
推论：若 ，则在区间 上幂函数 的增长速度慢于对数函数 的增长速度；在区间 上幂函数 的增长速度快于对数函数 的增长速度．
结论3．当 时，幂对差值函数 的图像和性质：

图 像 特 征		（1）图像都在y轴右侧，直线 的上方．
		（2）图像恒过点(1,1)，且以y轴为渐近线．
		（3）由左至右图像先下降再上升，且图像有最低点．
		（4）图像与 轴有0个、1个或2个公共点．
定义域
值域
函 数 性 质	（1）当 时， ．
	（2）在区间 上是严格减函数，在区间 上是严格增函数．
	（3）在 时，取到最小值 ．

[设计意图]仅由观察图像归纳猜想得到函数的图像特征与函数性质并不严谨，也不能得到具体的值，需要进一步通过代数推理严格论证，引导学生经历从猜想到论证的过程，体会从几何直观到代数说理的过程，发挥导数在证明函数单调性中的作用，并通过计算得到具体的单调区间、最小值等，体现“形少数时难入微”，提升学生的数形结合能力．得到函数性质的同时也回答了引入环节存在的疑惑，幂对差值函数的性质还有很多，留给学生很大的探究空间，体现数学探究的开放性．
（五）总结反思，深化认知
问题10．本节课研究了什么内容？
问题11．经历了怎么样的一个探究过程？
问题12．在探究过程中，你觉得有哪些重要的方法？有哪些收获或体会？
[设计意图]引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，强调数形结合的思想方法和从特殊到一般的研究问题的方法，以及信息技术在探究过程中的强大作用．本节课的小结采用开放式，亲身经历了完整探究过程的学生一定有自己最真切和强烈的感受，通过小结锻炼学生的语言表达能力与归纳能力，关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握．
（六）拓展延伸，探究思考
思考1．你能类比得到结论4吗？
思考2．你能更进一步研究“指幂差值函数”或“指对差值函数”吗？
思考3.（2022年普通高等学校招生全国统一考试(新高考Ⅰ卷)，第22题第(2)小题）
已知函数 ， ，证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
[设计意图]本节课的学习为通过类比结论3得到结论4，甚至更进一步研究“指幂差值函数”或“指对差值函数”提供方法指导，让学生体会化未知为已知的思想．思考3是一个选编题，旨在应用本节课所学的知识与方法探索求解方法，提升数形结合能力，发展直观想象素养．
作业：[基础练习]
1．函数 在区间 上是（   ）
A．严格增函数                       B．严格减函数   
C．先严格增，再严格减               D．先严格减，再严格增
2．已知函数 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是（   ）
A．         B．         C．          D．
3．对于任意实数 ，函数 的图像恒经过定点______．
4．已知函数 ，则不等式 的解集为______．
5．若函数 （其中 ）有唯一的零点，则 ______．
6．根据本节课结论3，类比得到结论4，并对其中的单调性加以证明．
 
[能力拓展]
1．（2022年普通高等学校招生全国统一考试(新高考Ⅰ卷)，第22题第(2)小题）
已知函数 ， ，证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
2．结合今天的学习，以小组为单位，合作探究“指幂差值函数”或“指对差值函数”（二选一）的图像与性质，完成一份研究报告．
[设计意图]作业分层设计旨在关注学生的学习差异，不同的学生在数学上得到不同的发展，学生在分层作业的弹性空间充分展示自己的学习能力，尝试到学习的喜悦，增强做数学作业的兴趣，进而提高数学教学的质量．
 
六、课堂教学目标检测
检测作业1：根据本节课结论3的探究过程，类比得到结论4，并对其中的单调性加以证明．
评价建议：
（1）能通过类比结论3得到结论4中的大部分性质，可评为合格；
（2）能完整得到结论4，并用Excel或GeoGebra绘制出此时幂对差值函数图像 ，可评为良好；
（3）能完整得到结论4，并能正确证明单调性，可评为优秀．
检测作业2：已知函数 ， ，证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
评价建议：（1）能画出函数 与 的图像，说明存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，可评为合格；（2）能严格证明函数 与 的单调性并正确画出函数图像，借助图像证明存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，可评为良好；（3）能严格证明函数 与 的单调性并正确画出函数图像，借助图像证明存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并能通过代数运算证明从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，可评为优秀．
 
 
 
 
 
 
 

附件一．上教版普通高中教科书《数学》必修第一册P101

 

 

 

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