视频简介：
视频标签：第十一届全国高中
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《函数的极值与导数》四川—魏
本视频配套资料的教学设计、课件 /课堂实录及教案下载可联本站系客服
四川—魏静—设计—函数的极值与导数
第十一届高中青年数学教师课例展示活动
1.3.2函数的极值与导数
四川省南充高级中学 魏静
2022年11月
授课课题：
函数的极值与导数
教材：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）选修2-2
授课教师：四川省南充高级中学 魏静
一、教学内容解析
（一）知识结构图
（二）教学内容解析
《函数的极值与导数》是人教 A 版选修2-2第一章第三节的第二小节，属于“导数在研究函数中的应用”单元第2课时，其主要内容包括极值的概念；借助导数研究函数的极值.本节课是继 “函数的单调性与导数”之后，对导数研究函数的再次应用，是对前面所学导数概念、运算、利用导数研究函数的单调性等内容的延续和深化，同时为其后利用导数研究可导函数的最值以及导数的实际应用做好铺垫工作.
函数极值的内涵是局部范围内的最大（小）值，中学阶段对应单调性的转折.必修一通过图象和定义研究了基本初等函数的单调性，但遇到基本初等函数的四则运算或者复合函数，函数的单调性就很难用定义法解决.对于连续可导函数而言，导数能定量地刻画函数的局部变化规律，是研究函数的基本工具.有了导数以后，可将函数单调性问题转化为导数的正负性判断问题,将函数的极值点判断转化为导数的变号零点判断.本节内容所蕴含的基本思想是转化与化归，运用徐利治先生提出的关系—映射—反演(RMI)原理的方法把原函数的极值点的问题通过单调性“搭桥”转化为导函数变号零点的判断问题，并利用结果反演解释原函数的极值.
其思维模式为：
纵观本单元教学内容，研究路径可以归结为：导数的正负→函数的单调性→函数的极值→函数的最大（小）值→函数的综合问题.因此利用导数研究函数的单调性成为“导数在研究函数中的应用”单元的教学重点，且一以贯之的思想方法是转化与化归，体现了数学思想的一致性和研究方法的一般性.让学生在掌握基础知识、基本技能的同时，领悟基本思想，积累基本活动经验，切实体验到“研究对象在变，思想方法不变，研究套路不变”，使发展学生数学学科核心素养有了具体抓手.
本节课利用图象“起伏”特征，促进学生感悟“人生中的起起伏伏”，借助函数的局部性质“极值”对比函数的整体性质“最值”，培养学生严谨的求学态度，树立全局观、全面看待问题的世界观.
基于以上分析，确定本节课的教学重点.
【教学重点】函数极值的概念、用导数的方法求函数的极值
二、教学目标解析
（一）单元教学目标
《普通高中课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课程标准》）要求如下：
一般地，在高中阶段研究与导数有关的问题中，涉及的函数都是可导函数.
①结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
②借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大 （小）值的关系.
选修A类课程中，要求会利用导数讨论函数的极值问题，利用几何图形说明一个点是极值点的必要条件与充分条件 （不要求数学证明）；要考虑高中学生的接受能力，重视课程内容的实际背景，关注数学内容的直观理解，培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模和逻辑推理素养，为进一步学习大学数学课程奠定基础.
（二）课时教学目标
①学生能借助函数图象的变化感知“波峰波谷”、“单调性的转折点”，生成极值概念；体会类比、数形结合思想；发展学生的数学抽象、数学建模核心素养.
②通过三次多项式函数的极值判断，通过师生共同规范板书解答过程，学生能够归纳利用导数求函数极值的方法和步骤，领悟函数与方程、转化与化归思想，发展学生数学运算、逻辑推理核心素养.
③通过判断函数
是否有极值，运用导数工具或者数形结合方法，理解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件，发展学生逻辑推理、直观想象核心素养.
④通过具体实例感受导数在研究函数中的作用，体会导数的意义.通过群山起伏建立“勇攀顶峰”的信心；通过“远近高低各不同”树立全面看待事物的世界观；通过“只缘身在此山中”体会极值与最值、局部与整体的关系，培养学生“全局观”，落实“立德树人”目标.
三、问题诊断分析
（一）已具备的认知基础
授课对象是四川省南充高级中学高二学生，具备较好的观察分析、抽象概括能力.
学生已经学习了导数的概念与基本运算，导数的几何意义，函数的单调性与导数的关系，为本节利用导数来研究函数的极值奠定了基础，为学生在活动中自主探究并抽象出极值的概念，发现极值和导数的关系，得出取得极值的条件提供可能；学生初步具备运用导数的基本思想去分析和解决函数问题的意识，本节课将继续加强这方面的意识和能力培养.
（二）可能出现的障碍
学生虽然学习了导数的概念，但对于极限和导数的学习十分有限，虽然函数的连续性、可导性、极值概念中的“附近”即“邻域”等高等数学知识在高中阶段不要求学生掌握，但不能为学生后续的学习造成知识的“负迁移”，在授课时说明在高中阶段研究与导数有关的问题中，涉及的函数都是可导函数. 但“可导函数极值点的导数特征”仍无法进行严格的证明.因此内容本身的强理论性对学习本节极值概念、极值与导数的关系增加了难度.另外，学生虽然有通过几何直观概括函数性质和利用导数研究函数单调性的经验，但要将函数的极值点的几何特征深刻到符号化水平去定性地刻画，从图形语言转化到符号语言，仍然不太容易.
基于以上分析，确定本节课的教学难点.
【教学难点】函数的极值概念、函数的极值与导数的关系
（三）难点突破策略
通过学生“单调性与导数”的课后实践作业引入课题，引导学生经历“极值”的发生、发展过程，采用“画圈”操作验证，帮助学生理解概念中的“附近”，得出端点不是极值点、极值是函数的局部性质等结论，把高等数学中非连续可导函数的极值判断、定义解读放到课后作业的拓展阅读部分，既不影响主体知识建构，又使学有余力的学生得到进一步发展.
以三次多项式函数为载体，引导学生将问题转化，回归定义，通过连续追问和层层展开的探讨去激活学生“最近发展区”，使新问题极值与旧知单调性、导数等相练习，自然合理引出导数研究函数极值，通过几何画板作出原函数和导函数图象，让学生“看得见”也“说得出”，再通过教师示范，学生程序化步骤总结，理解函数的极值与导数关系.
四、教学支持条件
（一）教学策略分析
采用
问题探究式教学法，以恰当的问题为纽带，给学生创设自主探究、合作交流的空间，体验“试错—转化—验证—结论”的学习过程.教学中始终遵循
“教师为主导，学生为主体，知识为主线，发展思维为主旨”的“四主”原则．
教师为主导：问题引导 明确方向
通过“从单调性的变化来看，哪些点位置比较特殊？这些点有什么共同特点？”引导学生借助图象变化，形成“局部最值”的直观感受，得出极值概念；在回归定义确认研究函数极值可以先判断单调性后，通过“研究函数的单调性有一个非常重要的工具是？”自然合理引出用导数研究函数的极值.整个教学过程中，营造和谐的教学氛围，通过课堂巡视，个别辅导，使不同的学生在数学上得到不同的发展.
学生为主体：自主探究 合作交流
在概念辨析、借助导数求函数极值、探究导数与极值的关系等环节，学生积极参与，充分展示自我，通过师生互动，生生互动，设疑探讨，确认答疑，让学生在参与中获取知识，发展思维，感悟数学．
知识为主线:极值是什么？怎么求极值？为什么借助导数研究函数极值？
通过实践作业成果展示，抽象出函数图像，借助几何直观，形成极值概念；通过基本初等函数巩固图像判断极值，通过三次多项式函数例题设计，回归定义，引出导数判断极值；通过目标检测，掌握函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
思维为主旨：转化与化归
通过将原函数的极值点对应到求导函数的变号零点，渗透转化与化归，突出本节教学主题，用导数研究函数.
在“设疑答疑”过程中掌握函数的极值点对应导函数的变号零点的基础知识、会用导数的方法求极值的基本技能，领悟转化与化归的基本思想，积累基本数学探究活动经验.
（二）教学媒体分析
黑板：板书教学流程和用导数求三次多项式函数的解答过程和基本步骤.
教育一体机、101教育ppt软件、几何画板软件：借助一体机，播放视频、图片，帮助学生形成“极值”几何直观感受，借助ppt将“附近”通过“画圈”形象地刻画，帮助学生理解极值概念，借助几何画板动态演示原函数图象和导函数图象的变化，帮助学生直观理解函数单调性、函数的极值与导数关系.
五、教学过程设计
（一）教学环节
（二）教学过程
1、创设情境 提出问题
【
数学情境1】2022北京冬奥会中，苏翊鸣夺得男子单板滑雪大跳台的冠军，让我们一起回顾他的精彩瞬间.通过下滑、起跳、落地滑行，运动员的运动轨迹实现了减-增-减的过程.
【数学情境2】上节课中全红婵高台跳水经典案例，从起跳到最高点，图象上升，函数单调递增；从最高点到入水，图象下降，函数单调递减.
【数学情境3】第八小组提交这张美丽的照片，他们通过预习，结合教材探究图，联想到游学活动的群山，山峰的起伏对应着函数的增减.
师生活动：教师展示学生上节课函数的单调性与导数课后实践作业成果.引导学生从具体实例中抽象出函数图象，观察并思考，曲线的单调性变化.
教师引言（1）：生活中处处是数学，我们要学会用数学的眼光观察世界.
设计意图：尊重教材又创造性地使用教材，结合教材“探究”图，借助学生作业成果，创设高台跳水、滑雪大跳台等情境引入课题，紧跟时代热点，引起学生兴趣，激发学生爱国情怀.
2、生成概念 内涵辨析
【问题1】观察以上图象并思考，从单调性的变化来看，图中哪些位置比较特殊？为什么？
师生活动：观察归纳得出结论：A、B、C这些点都是单调性发生变化的转折点，在这些点附近要么左增右减，要么左减右增.
【追问】这些位置的函数值有什么共同特点？
探究发现1： 探究发现2：
师生活动：以“二次函数”和“滑雪曲线”为例，放大“波峰”、“波谷”附近图象，发现共同特点，这些点的函数值是附近最大或附近最小，是“局部最值”.
设计意图：通过将图形放大，学生形成更直观的感受，即函数的极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，通过对比函数的最值，引发学生的认知冲突，从而引出极值的概念，体现从特殊到一般的思想，发展学生直观想象、逻辑推理核心素养.
教师引言（2）：正所谓“横看成岭侧成峰 远近高低各不同”，当我们所站的位置不同，看待事物的角度不同，可能结果就不一样.
设计意图：通过古诗总结，一是更加形象直观地表达“局部最值”，二是帮助学生树立正确的世界观，学会全面看待事物，落实“立德树人”育人目标.
师生活动：教师板书课题—函数的极值，学生借助图象，类比极小值概念，归纳概括极大值概念.
极小值概念：
函数
在点
处的函数值
比它在点
附近其他点的函数值都小，我们把点
叫做函数
的极小值点，
叫做函数的极小值.
极大值概念：
函数
在点
处的函数值
比它在点
附近其他点的函数值都大，我们把点
叫做函数
的极大值点，
叫做函数的极大值.
【说明】
（1）极小值点、极大值点统称为极值点；
（2）极小值和极大值统称为极值；
（3）极值点是自变量（
横坐标）；极值是函数值（
纵坐标）.
设计意图：极值概念的完备性（包括非连续可导函数）高中不要求掌握，但不能为学生后续的学习造成知识的“负迁移”，在授课时说明在高中阶段研究与导数有关的问题中，涉及的函数都是可导函数，把高等数学中非连续可导函数的极值判断以及定义解读放到课后作业的拓展阅读部分.引导学生从特殊到一般，借助几何直观，经历“极值”概念的生成过程，积累从实例中抽象数学概念的数学活动经验，体现类比思想，发展学生数学抽象、直观想象核心素养.
问题2：如图，函数定义在闭区间
上，请回答：图中哪些是极大值点？哪些是极小值点？
追问1：
的函数值比它附近其他点的函数值都大，
是不是极大值点？
师生活动：学生小组合作，分享交流、质疑探讨、师生合作，确认释疑.
结论：极值概念中的“附近”要求极值点左右有邻居，
端点不是极值点.
追问2：
是不是极大值点？
如图（圆圈较小），
的函数值比它附近其他点的函数值都大，将
附近圆圈扩大；
如图（圆圈较大），此时
的函数值不满足比它附近其他点的函数值都大.
师生活动：教师追问，学生思考，交流讨论.
结论：“附近”体现了极值是函数的局部性质. “附近”不是“任意”，而是“存在”.
设计意图：引导学生以“群山曲线”为载体，通过小组合作、讨论交流，通过“画圈”帮助学生进一步理解极值概念中“附近”的含义，把数学知识的“学术形态”转化为数学课堂的“教学形态”，帮助学生充分理解极值作为函数的“局部性质”的内涵.发展学生直观想象核心素养.突出本节教学重点，突破难点.
教师引言（3）：极大值对应“波峰”，极小值对应“波谷”，此情此景，你能联想到一个成语吗？
（登峰造极）
设计意图：通过成语“登峰造极”，帮助学生理解极值的图形语言.
问题3：极大值一定大于极小值吗？
结论：
极大值与极小值没有必然的大小关系.
问题4：函数的极大值和极小值唯一吗？
结论：函数的极值可以有多个，也可能没有.
设计意图：通过几何直观，观察得出结论，体现“极值”的局部性质，为整体性质“最值”的学习积累经验，发展学生
直观想象核心素养.
教师引言（4）：大自然尚且起起落落，更何况是人呢？人生的低谷总是难免的，我们要不惧低谷，勇攀顶峰！
设计意图：借助几何直观，鼓励学生不惧低谷，勇于攀登，实现“立德树人”育人目标.
3、巩固拓展 概念应用
例1：判断下列函数是否有极值，如果有，求出极值，如果没有，请说明理由.
师生活动：教师展示课件，呈现例题，学生结合极值概念和函数图象，快速做出判断.
设计意图：例1设置学生熟悉的基本初等函数，借助函数图象，巩固极值概念，学生快速判断函数极值，获得发展所必需的
基础知识和基本技能，体现
数形结合思想，培养学生
直观想象核心素养.
例2：判断函数
是否有极值，如果有，求出极值.
师生活动：快速获取图象遇到困难，学生思考，讨论交流.
设计意图：例2设置三次多项式函数判断极值，学生快速获取图象困难，“逼迫”学生另寻他法，从而回归极值概念.
师生活动：师生共同合作完成，回归极值概念，从单调性的角度判断取得极值的充分性和必要性，并借助几何直观，得出结论左增右减极大值；左减右增极小值.
问题5：判断函数的单调性，有一个非常重要的工具是？
结论：原函数左增右减——导函数左正右负；原函数左减右增——导函数左负右正.
追问：极值点处的导数值等于多少？怎么判断？
结论：极值点处的导数值为0.
思路1：极值点是单调性变化的分界点，左正右负或者左负右正，中间状态为0.
思路2：导数的几何意义，在极值点处的切线水平，斜率为0，导数值为0.
设计意图：通过连续的追问，层层展开的探讨，激活学生思维的“最近发展区”，引导学生主动将新问题与原认知结构中函数的单调性与导数知识相联系，从而循序渐进，自然合理引出导数来判断极值，体现转化与化归思想，发展学生逻辑推理核心素养.
师生活动：教师借助几何画板，同时作出原函数图象和导函数图象，对比形成几何直观，并得出结论：原函数的极值点对应导函数的变号零点.
原函数的极值点 导函数的变号零点
设计意图：极值点的导数特征结论无法进行严格的证明，借助几何画板，让学生“看得见”“说得出”性质，对于直观结果，引导学生从图象角度、单调性角度、导数角度判断极大值和极小值，培养学生会用数学的语言（文字语言、图形语言、符号语言）表达世界，突破本节课的难点.发展学生直观想象、逻辑推理核心素养.
一般地，求函数
的极值的方法是：
解方程
.当
时：
-
如果在
附近的左侧
，右侧
，那么
是极大值；
-
如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值.
例2：判断函数
是否有极值.如果有，求出极值.
解：定义域为
令
，解得
或
.
（1）当
即
或
时；
（2）当
即
时.
当
变化时，
的变化情况如下表：
当
时，
有极大值，并且极大值为
当
时，
有极小值，并且极小值为
师生活动：教师板书规范解答过程，学生归纳利用导数求函数极值的步骤.
解题步骤： 定义域优先 1函数求导；2方程求根；3列表判号；4求出极值.
解题思路：
设计意图：通过教师规范板书，学生总结，程序化答题步骤，加深对导数概念的理解，强化对重点知识的巩固. 一方面提升学生的解题能力，另一方面对学生规范作答起到引领示范作用.发展数学运算、逻辑推理核心素养.
师生活动：引导学生画出函数大致图象，对比展示，教师几何画板操作确认函数图象.
设计意图：经历“研究函数性质—图象获取困难—借助导数工具—判断基本性质—作出大致图象—验证函数性质”的过程，让学生体会到借助导数研究函数问题的工具性和优越性，巩固用导数研究函数的单调性，也为下一节利用导数研究函数的最值积累数学活动经验，夯实学生的基础知识和基本技能.体现数形结合、化归与转化思想，发展直观想象核心素养.
4、目标检测 检验效果
目标检测1：判断下列函数是否有极值，如果有，求出极值，如果没有，请说明理由.
检测目标：（1）检测学生对用导数判断函数极值的方法的掌握情况和答题规范情况，测评学生运用函数与方程思想进行运算求解的能力；（2）测评学生对函数极值概念的掌握情况.
师生活动：请学生上台演算问题（1），其余学生动手解答，教师巡视，并对答题不规范现象加以纠正.引导学生借助图象和导数完成问题（2），引出教材思考并作出结论.
思考：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
结论： 是函数在
取得极值的
必要不充分条件.
设计意图：目标检测（1）通过对教师板演的模仿和总结，使学生巩固利用导数判断函数极值的方法，对问题的解决能够形成基本方法和步骤；目标检测（2）通过函数
的极值判断，反向说明导数值为0是取得函数极值的必要条件，突破本节难点，体现数形结合思想，发展逻辑推理核心素养.
目标检测2：如图是导函数
的图象，试找出函数
的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.
检测目标：本题主要检测学生对函数极值概念、函数在某点取极值的充分条件和必要条件的掌握情况.测评学生运用数形结合思想进行直观想象的能力.
设计意图：来源于教材课后练习1，根据课堂教学作为“灵活处理”检测题，是对极值概念的巩固训练，通过原函数图象和导函数图象之间的关系，深刻理解极值概念.
5、课堂小结 形成系统
教师引言（5）：好的总结，是为了更好的进步，谈谈你在本节课的收获？
师生活动：用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界，学生分享、教师总结，并完成本节教学思维导图.
①知识层面 ：什么是极值？ （文字语言、图形语言、符号语言）
②方法层面：怎么求极值？（借助图象、借助导数）
③思想层面：为什么借助导数求极值？转化与化归、函数与方程、数形结合、类比归纳
④情感层面：
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”
——不同的视角看问题
“不识庐山真面目，只缘身在此山中”
——做人做事要有全局观
设计意图：知识的学习是提升学生思维和能力的必经之路，而能力的提升是我们学习知识的终极目标.引导学生从知识、方法、思想和情感四个层面进行小结，理清知识结构，提炼数学方法和领悟数学思想.通过极值的学习，进一步体会“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”所蕴含的人生哲理，学会从不同的视角看待问题；“不识庐山真面目，只缘身在此山中”引导学生做人做事要有全局观，区别于本节函数的局部性质，体现函数的整体性质，为下节课的最值学习埋下伏笔.
6、作业布置 分层提高
课本作业：
教材课后练习题2.
实践作业：
请同学们以学习小组为单位，查阅与“极值”有关的实例.
拓展阅读：
判断函数是否有极值
更多极值定义问题，感兴趣的同学查阅：
《谈谈人教版教材中函数极值的定义》《把握概念内涵 优化教学设计—函数极值的概念》
设计意图：为了使“不同的人在数学上得到不同的发展”.设置课本作业、实践作业、拓展阅读.课本作业意在重视教材，重视基础，巩固极值概念和用导数求极值的方法；实践作业意在提高学生学习数学的兴趣，学会用数学的眼光观察世界，用数学的语言表达世界，用数学的思维思考世界，为下节课函数的最值与导数做铺垫；拓展阅读作业意在满足数学水平层次较高学生的发展.
六、教学设计说明
（一）整合教材、挖掘内涵
奥苏贝尔曾说“影响学习的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么.要探明这一点，并应据此进行教学.”高中数学在学生没有学极限连续可导邻域等概念的基础上，进行极值的学习，教材中所选取的函数均是连续可导的函数，函数图象成“波峰”“波谷”的形状，但这不利于学生把握极值概念的本质属性，考虑到学生的认知基础和能力，参考《课程标准》要求，努力实现好教材的编写意图，在课前明确本节研究的函数均为连续可导函数，并寻找合适的认知根源：用单调性实践作业中具有代表性的成果创设情境引入新课→对函数图像进行“画圈搜索”局部最值点→寻找波峰波谷（连续函数单调性的转折点）→导数值等于0的点（连续可导函数的驻点）→导函数的变号零点（极值点）.借助于图像的几何直观，把数学知识的学术形态转化为数学课堂的教学形态.把高等数学中非连续可导函数的极值判断以及定义解读放到课后作业拓展阅读部分，既不影响主体知识建构，又能使学有余力的学生得到进一步的发展.
（二）贴近生活、立德树人
结合教材“探究”中的函数图象和学生实践作业成果，紧跟时代热点，创造适合情境，借助信息技术辅助教学，创设机会和空间，让学生通过合作讨论、分享交流，充分展示自我，经历“极值”的发生、发展的探究过程，在课堂中通过“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”、“登峰造极”、“群山起伏，不惧低谷”等情境，不断激发学生的学习兴趣，对学生展示的小组成果给予充分肯定，对小组疑惑适时加以引导，学生在和谐欢快的数学课堂中，收获知识和信心，树立正确的世界观，落实“立德树人”育人目标.
（三）渗透思想、提升素养
单元教学要在理解内容所蕴含的数学思想和方法上下狠功夫，因此本节课“极值”只是教学的载体，解决问题所运用的徐利治先生提出的关系—映射—反演(RMI)原理的方法，渗透的转化与化归的思想才是本节课的灵魂.通过将原函数极值问题转化为导函数变号零点判断，再将结果反演解释原函数极值的过程，发展学生运算求解、逻辑思维等关键能力，从单调性到极值再到最值，体会单元教学的根本遵循“研究对象在变，思想方法不变，研究套路不变”，使数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养落地生根.
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
| -----更多视频请在本页面顶部搜索栏输入“第十一届全国高中”其中的单个词或词组，搜索以字数为3-6之间的关键词为宜，切记！注意不要输入“科目或年级等文字”。本视频标题为“第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《函数的极值与导数》四川—魏”，所属分类为“高中数学优质课视频”，如果喜欢或者认为本视频“第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《函数的极值与导数》四川—魏”很给力，您可以一键点击视频下方的百度分享按钮，以分享给更多的人观看。优质课网 的成长和发展，离不开您的支持，感谢您的关注和支持！有问题请【点此联系客服QQ：9899267】 ----- |
