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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《正方体截面的探究》山东—刘
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山东—刘晓晓—设计—正方体截面的探究
“正方体截面的探究”教学设计
刘晓晓
（山东省日照第一中学）
一．教学内容解析
数学探究活动是《标准》特别安排和提倡的一种学习形式.数学探究活动是围绕某个具体的教学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程.数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，也是高中阶段数学课程的重要内容.
作几何体的截面是立体几何教学中的一个难点,需要学生具备较强的空间想象能力和动手操作能力．正确判断几何体被一个平面所截的截面形状,关键在于弄清这个平面与几何体的面的相交线的形状和位置．此类问题对于发展学生的空间想象能力,深入理解直线和平面的有关性质,有效地形成空间概念具有很重要的作用.
“正方体截面的探究”是《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》附录中的数学探究活动案例11.此案例让学生在熟悉的正方体中，综合利用基本图形的结构特征、基本图形位置关系中的结论、定理，进一步全面准确地认识一个空间几何体.通过教师精心设计问题串，引导学生有目的地分组开展探究活动，提高学生参与度.让学生经历选题、开题、做题、结题四个环节，积累数学探究的经验。
二．教学目标设置
1.通过自主实验探究，借助实物模型的直观和信息技术的运用，掌握正方体截面的形状、大小等的变化规律，理解分类原理，提升学生直观想象、逻辑推理素养；
2.融合实验探究和数学理性思维，理解并证明正方体截面的性质，通过作截面加深对其性质的理解，培养学生发现问题、分类讨论、作图表达、推理论证等能力，增强学生的知识融合能力，促进学生数学抽象、逻辑推理素养的提高；
3.引导学生从模仿到自主，从局部到整体，让学生经历问题发现与提出、分析和解决的过程，体会数学探究的一般流程，积累独立思考和合作交流的经验，形成解决数学实际问题的科学思维，提升数学思想和核心素养融合的水平.
三．学生学情分析
本节课的授课对象为山东省日照第一中学东校区的学生，他们思维活跃，能熟练应用信息技术工具辅助学习，并且有丰富的探究活动经验.
1.学生已有认知基础
学生已经学习了“立体几何初步”，了解了简单几何体的基本特性；对空间的点、线、面的位置关系有了一定的理解，并掌握了一些相关性质和定理，具备一定的空间想象能力和推理论证和运用图形语言进行交流的能力.
2.达成教学目标所具备的认知基础
数学探究是从数学视角对事物进行观察、思考，发现结论与规律的创新认知过程，需要学生发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探究、合作探究论证数学结论.
3.已有的基础和需要的基础之间的差距
正方体截面的探究是一个典型的结构不良问题，对学生提出了更高得要求，但是学生没有形成将所学知识融合起来分析问题的思路，学生分析和解决复杂实际问题的能力有待提高，需要教师的设计、指导和帮助.
4.教学难点及其突破策略
教学难点：正方体截面的性质及研究方法.
突破策略：教师提供教学资源，组织教学活动，以问题为引领，信息技术为辅，让学生以小组合作的方式完成数学探究活动.
1.鼓励主动参与探究活动，加强学生的操作活动，培养学生的创新意识和创造力。让学生都能够分享在探究活动中的收获，从而使学生对数学问题有真知灼见。鼓励学生通过语言表达或是图文表达进行交流，表达自己对探究问题的理解，从而提高自身的数学探究能力.
2.深入挖掘案例中数学学科核心素养，设计切实可行的学习目标，以问题为引领，开发教学案例.通过问题分析来展开思路，启发学生进一步地思考，寻找出自己的思路和解决方法.
3.将从“现象到理性”的“做中学”的思想贯穿于整个探究活动中，应用和发展学生的分类与讨论、数形结合、转化与化归等数学思想.
4.注重培养学生的信息技术处理能力，让学生更加熟练应用当前的信息处理手段，提高数学探究的有效性.
此探究活动分为选题、开题、做题、结题四个环节，安排了6个课时。学生选题开题各1课时，做题环节设计为3课时，最后1个课时是学生撰写研究报告，总结探究过程的收获与感悟.
此探究活动的做题阶段的第一课时，借助导学案设计的问题引领，让学生回顾相关知识，通过数学实验、模型操作或借助信息技术的直观呈现，自主探究截面的类型，形成猜想并推理验证.第二课时整理汇总实验结果，完善求证结论，继续深入探究截面形状的类型和性质.第三课时设置了正方体截面的周长和面积的最值的探究活动.让学生经历用数学思维方式探究正方体截面的探究过程，学会用数学的眼光观察现实世界.
本节课是做题阶段的第二课时，是数学探究活动做题部分的关键环节，旨在让学生获得一个数学探究活动的经验，并在下一课时应用.本节课首先汇报开题报告中的现实背景及在教材中的探寻，让学生正确理解截面，体会从空间到平面的降维转化思想。然后从学生展示的探究成果出发，让学生了解正方体不同截面的变化情况、启发学生的发散思维.
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选题开题
在实施此探究活动前，学生并不了解数学探究活动的基本信息，所以教师精选中学数学建模论文，组织学生研读，培训基本的信息技术操作方法.
在选题开题环节，分小组讨论本小组的开题报告，讨论截面问题的现实意义、解决问题的思路、研究计划、预期结果.在此过程中教师需要精心设计方案，提出所要研究的主要问题及其要求，提高数学探究活动的效率.
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做题之实验探究
教师设计导学案，指导学生首先回顾截面相关的基本知识，然后通过切土豆、正方体容器注水、信息技术模拟这三个方案分组来实施，最后通过观察实验现象，初步探究正方体截面的性质.
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做题之课堂探究
【发现截面】
研究正方体截面的相关问题，首先要解决问题是如何理解截面。在日常生活和生产中，我们经常会用合适的截面来研究几何体.下面请同学们展示你们小组收集的截面实例及在课本中寻找到的截面的踪迹.
学生活动1：播放视频医学中的CT技术，把X射线扫描到的人体结构信息，经过一层层的电子计算，最终生成医生们一下子就看得懂的横断层面影像.
三维打印的设计过程是：先通过计算机建模软件建模，再将建成的三维模型“分区”成逐层的截面，即切片，打印机通过读取文件中的横截面信息，用液体状、粉状或片状的材料将这些截面逐层地打印出来，再将各层截面以各种方式粘合起来从而制造出一个实体.
建筑物的框架都是钢结构，钢结构的设计直接影响工程的质量.钢结构的设计要考虑四类截面，根据不同截面的特性，应用到钢结构工程中.
断面是反映汽车关键部位结构状态的截面，它是用来约束造型与工程化设计的重要工程语言。断面设计是轿车设计中的重要环节，是工程化设计前对车身只要结构零件的可行性进行布置和分析的重要手段.
农学中的土壤学通过研究土壤剖面，是指从地面向下挖掘所裸露的一段垂直切面，深度一般在两米以内.土壤垂直断面中土层(可包括母岩)序列的总和.通常由人工挖掘而成，供观察和研究土壤形态特征用.
师： 感谢同学们的分享.截面研究是现实生活中空间问题平面化的一个重要方法.将现实生活中的物体抽象，得到了空间几何体.在立体几何的学习中，也需要对一些空间几何体进行截面研究，下面请同学展示，本小组在教材中寻觅到的截面的踪迹.
学生活动2：展示小组的研究成果.
1.必修四在多面体与棱柱中，给出了截面的定义；
2.必修四第十一章棱锥与棱台中，利用截面定义棱台；
3.必修四旋转体中，用截面研究圆锥和圆柱；
4.必修四祖暅原理与几何体的体积中，利用截面面积研究体积；
5.必修四的一节课的结尾和课后题，多处建议用Geogebra软件观察几何体的截面。
设计意图：数学源于生活，生活中处处有数学，截面是很多现实问题的载体. 在日常的生产和生活中寻找截面，能激发学生的好奇心和求知欲.让学生在教材中寻找截面，既能回顾相关的数学知识，又能认识到截面问题不是陌生的，加强学生的直观感知能力.从现实生活和高中数学的学习，认识到研究截面问题的必要性，同时让学生体会用一个平面去截空间几何体，形成截面问题，是空间问题平面化的一个比较常用的方法.
【理解截面】
师： 感谢田鸿雅同学的分享。原来截面并不陌生，你能回忆起截面的准确定义了吗？
生：截面的定义是一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部）.
师：我们一起来看下面三张图，这些图中的阴影部分能作为相应几何体的截面吗？
生：图1-图3均不能作为空间几何体的截面，图1中的阴影部分是三棱锥的表面，不是截面；图2中的阴影部分的线段
AC不在正方体的表面上，不是截面；图3中阴影部分的线段
AB，
AC都不在圆柱的表面上，不是截面.
师：结合上面的例子，你能总结一下什么样的图形才能作为几何体的截面呢？
生：找出截面与几何体表面的交线，交线围成的图形就是截面.
师：你能在图2中找出正确的截面吗？
设计意图：通过三个图形和老师的不断追问，让学生准确理解截面的定义，强化概念，研究截面问题转化为研究交线问题，用线研究面，为后面的探究活动打下坚实的基础.
【研究截面】
师：秦岐同学给我们一个启发，研究截面问题，可以转化为研究交线问题.
带着对截面新的认识和理解，我们来重新审视上一节课的实验探究，思考交线在探究正方体这个特殊的几何体的截面时，起到了哪些作用.
上一节课大家做了正方体截面实验探究，现在请不同小组来展示探究成果.
学生活动3：课前同学们以小组为单位，将有颜色的液体注入透明正方体容器，观察不同摆放位置，不同液体量时，平静的液体表面的形状；从不同角度切割土豆正方体块，观察截面形状；利用信息技术，模拟不同角度、不同位置的截面，观察截面形状。课堂上学生分组展示探究成果.
师：在切土豆的过程中，哪些截面图形比较难切.
生：三角形和四边形较为容易，五边形和六边形比较难切.
师：你是如何解决的?
生：通过多次横切，竖切，斜切，很容易得到三角形截面和四边形截面，多次尝试也没有得到五边形和六边形.我们小组成员通过讨论，证明了可以有五边形和六边形的.我们就先在草稿纸上画出正方体的五边形和六边形截面，然后按照图纸切出来的.
师：你们小组完整的经历了一个观察——猜想——操作——论证——检验的过程.感谢你的分享.
刚才前两位同学的展示中，都提到了具体操作中一些困难，说明教具实验确实有客观局限性.为了更清晰地模拟出正方体截面的形状,下面请利用信息技术展示.
设计意图：通过多种探究形式，培养学生的动手能力、创新能力；通过观察和汇总探究结果，培养学生发现问题、分类讨论、作图表达、推理论证等能力.
师：大家分别用小组设计的实验方案成功的完成了正方体截面形状的类型探究，即从边的数量上进行了简单的分类.但是观察不能代替证明，依然有很多性质需要通过理性的推证，严格的证明.下面请不同小组展示已经证明了的有关正方体截面的性质，及证明中用到的数学原理.
学生活动4：
结论1：在正方体的截面中，不存在边数超过6的多边形截面.
在立体几何中，截面是指用一个平面去接几何体的得到的平面图形.其中，截面的边界线是几何体与平面的交线，即截面的边界线一定在几何体的表面上.而正方体只有6个表面，所以截面与正方体最多6条交线，不可能出现超过6的多边形截面.
结论2：我们小组发现截面是三角形时，都是锐角三角形.
证明过程如下：
设
，则
所以
为锐角，同理可证
也是锐角。所以
是锐角三角形.
师：还有别的证明方法吗？（给其他同学更充分的展示机会）
师：当截面图形是三角形时，其他小组还有别的发现吗？
生：我们小组得到了等边三角形和一般的等腰三角形.
师：怎样截取能够使得截面多边形是等腰三角形和等边三角形？只能截取一个等边三角形吗？
生：用信息技术展示等腰三角形和等边三角形的确定方法.
结论3：我们小组发现四边形截面可以是正方形、矩形、菱形、一般平行四边形、等腰梯形、一般梯形。
证明过程如下：
由于截面为四边形，截面与正方体的四个表面相交.由于正方体的六个平面有三组相互平行的平面，截面至少与一组平行平面相交.根据平行平面的性质，两平行平面被第三个平面相交，两交线互相平行.所以截面为四边形的平面至少有一组对边互相平行.截面可以是梯形，平行四边形，根据角与边的关系，梯形只能是等腰梯形和一般梯形，平行四边形可以是菱形、矩形和正方形.
师：当截面图形是四边形时，其他小组还有别的发现吗？
生：截面不可能是直角梯形.证明如下：
截面不可能是直角梯形.不妨假设
CB⊥
AB，AB不垂直于
AD.
因为
EF⊥面
BCF,
,所以
EF⊥
BC.
又因为
AB∩
EF=
A,
AB,EF⊂面
ABF,所以
BC⊥面
ABF.
又因为
FG⊥面
ABF，所以
BC∥
FG;
因为
BC
面
ADGF,
FG⊂面
ADGF,所以
BC∥面
ADGF;
又因为
BC⊂面ABCD，面
ABCD∩面
ADGF=
AD,所以
AD∥BC .
这与截面是梯形相矛盾.所以截面不可能是直角梯形.
师：还有其他的证明方法，让同学们充分展示.
结论3：截面五边形不可能是正五边形。
证明如下：
由于正方体的表面是三组相互平行的面，如果所截得的截面如果是五边形，那么截面至少与两组平形平面相交.根据平行平面的性质，两平行平面被第三个平面相交，两交线互相平行。所以截面为五边形的平面有两组对边互相平行.正五边形中没有相互平行的一对边，与正五边形的图形特征不相符，所以可以截取一般的五边形，但是不可能截取正五边形.
结论4：截面六边形三组对边两两平行.
师：同学们的探究非常精彩!
【设计意图】启发学生从截面多边形的边数、边界线的长度、边界线的位置关系来研究截面的性质.让学生经历“确定对象——探究性质——论证判断”的研究过程，学会研究数学问题的基本方法和常规思路，加深对截面实质的理解，培养学生发现问题、分类讨论、作图表达、推理论证的能力，积累从具体到抽象的数学探究活动经验.
【小结收获 继续探究】
1.说一说本节课探究的收获
知识：截面的准确含义，正方体截面的形状特征与性质；
文化：截面在生活中的广泛应用；
思想与方法：数形结合，转化与化归，分类讨论，特殊与一般；
探究思路：
2.作业：（1）把今天的实验探究形成学习报告；
（2）下一步准备探究正方体截面的哪些问题.
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