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视频标签：第十一届全国高中
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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《建立统计模型进行预测》山西—田
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山西—田晨曦—设计—建立统计模型进行预测
数学建模活动：数据背后的秘密
——建立统计模型进行预测
【内容和内容解析】
1. 内容
运用一元及多元线性归回分析的方法，建立回归模型，分析PM2.5浓度与汽车流量及其他因素之间的关系，并进行预测．
在教师的指导下，学生根据自己的兴趣进行选题，运用一元及多元线性回归分析的方法，对真实情境下的实际问题建立回归模型，并进行预测．
这个活动包含的内容比较多，除了数学建模活动所需的必要流程外，还需要完成以下内容：
（1）教科书上“建立PM2.5浓度关于汽车流量的一元线性回归模型”的范例．
（2）多元线性回归模型的相关知识介绍．
（3）R软件的使用．
（4）对于学生自选题目，如何有效收集数据，需要给出一些建议．
基于以上原因，本单元内容建议课内分为4课时：第1课时，项目准备，分析PM2.5浓度与汽车流量及其他因素之间的关系，主要进行上述（1）（2）两个内容；第2课时，项目启动，对“发现、提出问题”、“研究流程”等进行规范化，顺便进行上述（3）（4）两个内容；第3课时，中期交流，对收集的数据、阶段性成果等进行汇报；第4课时，成果展示，全面展示数学建模活动成果，完成研究报告．
2. 内容解析
数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题．
“数学建模——建立统计模型进行预测”安排在2019人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第三册的最后，是整个高中数学的“收官”内容。所以这个专题活动的综合程度较高，涉及到高中数学的统计、函数等相关内容，以及其他学科的知识，特别是信息技术应用。
在进行具体活动时，先对一个给定的范例“PM2.5浓度与汽车流量之间的关系”进行研究，建立一元线性回归模型进行预测．在这个过程中，R软件起到了至关重要的辅助作用．
在有了建立一元线性回归模型的经验后，经过教师引导、运用类比的思想，先将函数的概念从一元推广到多元，然后再将“受单变量影响的统计问题”推广到“受多变量影响的统计问题”，最终将一元线性回归模型推广到多元线性回归模型．
在得到多元线性回归模型后，再次运用类比，按照求解一元回归模型的经验回归方程的方法，去求解多元回归模型的经验回归方程．在一元线性回归模型中，教科书上对 利用了配方的方法得到参数的最小二乘估计，但在多元回归模型中，如果还使用配方的方法，将会使计算变得非常复杂．所以对于多元模型，通常利用求导的方法来求参数的最小二乘估计．以一元线性回归模型为例，把 看成参数a和b的函数，它分别是a和b的二次函数，且是光滑函数，其最小值点可以通过求导的方法比较方便地得到．由于现阶段学生还没学过多元函数的求导，这就需要再次借助R软件，直接得到多元线性回归模型中参数的最小二乘估计．
纵观整个学习过程，R软件贯穿了数学建模活动的大多数环节，包括：建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题．所以，学习理解信息技术，也是本次数学建模活动的一个主要内容．
从上述分析可以发现，建立多元统计模型的数学建模活动，可以促进学生的数学抽象、数学建模、数据分析和逻辑推理等素养的发展，培养学生“用数学的语言表达世界”的素养．
3. 教学重点
数学建模活动的一般步骤和方法．用R软件建立多元统计模型，并对模型进行回归诊断，进而利用模型进行回归预测．
【目标和目标解析】
1. 单元目标
（1）通过建立影响PM2.5浓度因素的回归模型，学生能够了解多元线性回归方程的基本形式，掌握用信息技术（例如R软件）进行具体的数据计算和分析的技能．
（2）通过完成“数据背后的秘密——建立统计模型进行预测”这一数学建模活动，学生能够用数学的眼光观察世界、用数学的思维分析世界、用数学的语言描述世界．学生学会用数学模型分析实际问题，依据模型进行预测和判断，并对实际问题给出指导性建议．
2. 目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）经历从一元线性回归模型到多元线性回归模型的逻辑推理过程，知道多元统计分析是研究自然科学、经济学、管理学和社会学等领域的一种重要的统计方法．能够运用信息技术（例如R软件），对数据建立多元线性回归模型，并对模型进行回归诊断，进而利用模型进行回归预测．
（2）数学建模是一个综合性较强的活动，学生在统计相关的基本思想的指导下，从生活实际中发现并提出问题、分析并解决问题，达到积累基本活动经验的目的。同时，在活动中将课堂上所学的基本知识和基本技能得以应用，达到学以致用的目的，加深对统计相关内容的理解和掌握。学生能够按照数学建模活动的基本要求，经历提出问题、收集数据、整理数据、提取信息、构建数学模型，再利用模型进行推断，得出结论、作出决策的过程，学会用数学模型进行预测和判断，体会数学在现实世界中的重要价值．
【学生学情分析】
1. 学生学情
学生已经学习了一元初等函数和一元线性回归模型，这是学习本单元的基础．学生需要由一元函数和一元线性回归模型，通过类比的方法得到多元函数和多元回归模型，并利用模型进行预测和作出决策，即需要通过逻辑推理得到新的数学知识、通过基本数学活动培养新的数学技能．而学生在这一点上，无论在思想层面还是操作层面都比较薄弱，因此造成了学习难点．另外，对于R软件的使用，学生也是陌生的，这是另一个学习难点．
突破上述难点的办法是，教师首先要具备研究数学问题的一般观念，知道类比是数学中发现新知识的重要方法，并运用类比一元函数和一元线性回归模型的形式，帮助学生归纳出一元线性回归模型的特点及其与一元函数的关系，培养学生探索发现的眼光和能力，然后再得出多元函数的概念和多元线性回归模型。在之后具体的项目化学习活动中，学生可以自行将多元线性回归模型拓展到多元非线性回归模型，以达到所建立的模型能更好的拟合实际问题的效果．对于R软件的使用，教师要展示完整的操作过程，以及在操作过程中的注意点、易错点等．教师需要给出《R软件使用指南》．
教科书在必修一中，安排了“建立函数模型解决实际问题”的数学建模活动课，但很多学校可能并没有将这节课作为真正的数学建模课进行教学，即便有些学生通过这节课经历了完整的数学建模活动，但也只是初步了解了数学建模活动的一般过程．所以，学生在数学建模活动方面的经验还是非常不足的．
为突破此难点，教师要在“数学建模活动的一般过程”的指引下，通过安排恰当的系列任务，引导学生关注数据建模活动的基本要求，规范活动过程中的各种文档，强调成果意识，注重全程评价，以项目化学习的方式使学生参与到数学建模活动的全过程中去，从中感受用数学模型进行预测的“味道”．
2. 教学难点
多元函数概念的得出，多元回归模型的建立，R软件的使用方法，以项目化学习的方式开展数学建模活动．
【教学策略分析】
教师先以讲授的方式，设计“问题串”，将人教A版教材的给定选题（建立汽车流量与PM2.5浓度之间关系的统计模型）的研究过程，完整地呈现出，先给学生以完整的数学建模示范。这一环节，是学生思维从“做统计练习题”到“对实际问题建立模型”的一个过渡，帮助学生在思想上从“做数学题”转变到“建立数学模型”。
之后，教师以引导和启发为主，设计“问题串”，帮助学生通过类比的方式，将一元函数和一元线性回归模型，推广到多元函数和多元线性回归模型。并以“建立汽车流量与多个影响因素的统计模型”为例，加深学生对多元线性回归模型的理解。
接下来，再让学生按照要求开展小组合作的项目化学习，自行选择研究内容，对实际问题建立相应的多元统计模型。学生的学习活动包括课内活动和课下活动两部分。课下活动以学生的组内合作研究为主，教师指导为辅。课内活动包括项目启动、中期交流和成果展示，以各组学生展示交流为主，教师点评和指导为辅。这一环节是本单元教学的主要内容，能够充分发挥学生的主观能动性，真正让学生“在做中学”，体会“做数学”的味道。
在整个的项目化学习的过程中，需要对学生的各研究阶段进行阶段性评价。在成果展示后，需要对各组进行项目评价。以达到对学生学习情况进行反馈的目的。
另外，考虑到学生对R软件不够熟悉，对数学建模活动、项目化学习的过程不够了解，需要给学生提供以下资料，帮助学生学习R软件，规范学生的研究过程。
1. 《R软件使用指南》（另外提供），包括R软件的下载、安装，多元线性回归模型的相关理论知识，用R软件处理数据的方法，R软件中相关参数的说明等．
2. 《关于数据建模活动中数据收集方式的建议》（另外提供）．
3. 项目活动各阶段所需的文档模板，包括：《项目准备工作》（附件1）、《项目准备工作评价》（附件2）、《项目中期报告》（附件3）、《项目中期报告评价》（附件4）、《项目成果公报》（附件5）、《项目评分表》（附件6）．
【教学方式设计】
在教师的带领下，以项目化学习的方式进行．
【项目研究规划】
以“数据背后隐藏了什么秘密？”为项目的驱动性问题，让学生体验数学在实际生活中的应用．学生分组进行项目化学习，每个小组都可以在“数据背后隐藏了什么秘密？”这一总驱动性问题的指导下，根据所选研究内容，制定具体的驱动性问题．教学中以一元及多元回归方程为载体，R软件为辅助开展数学建模活动，进行项目化学习．学生假定自己是一个从事自然科学、经济学、管理学和社会科学等领域的科研人员，从真实的生活情境入手，分小组通过观测、调研、查阅资料等方式获得统计数据，然后合作探究，建立一元及多元统计模型，发现数据背后隐藏的秘密——数据间的回归关系，最后利用模型进行相关预测，作出相应决策，最终以报告的形式形成项目成果．根据每个阶段形成的阶段性成果，开展阶段性评价，最终在成果展示活动中展示项目成果．对于有独特观点的预测和决策，有重要的实用价值、对相关领域有切实可行的指导意义的成果，可以鼓励学生撰写论文，形成项目作品，推荐给学校和相关领域的专家、部门．
第1课时 熟悉研究流程，确定研究任务
——项目准备
【教学内容】
建立一元线性回归模型进行预测，建立多元线性回归模型．提出项目化学习的项目准备工作的要求．
【教学目标】
通过建立PM2.5浓度关于汽车流量的一元线性回归模型，熟悉数学建模活动的一般流程，了解多元线性回归模型的基本形式．明确项目准备工作所要完成的项目任务．
【教学重点与难点】
1. 课时教学重点：数学建模活动的一般步骤和方法．
2. 课时教学难点：多元线性归回模型的推导．
【教学过程设计】
引导语：我们所处的时代是一个大数据时代，数据无处不在，统计学是研究数据的科学，在数据分析中扮演了非常重要的角色．建立统计模型进行预测，在自然科学、社会科学、经济科学和管理科学等领域都有广泛的应用，这可以为我们作出决策提供有力的依据．现在就让我们利用统计工具，一起去探寻数据背后的秘密吧！
环节一 创设情境，建立一元模型
问题1 现实世界中有许多随机现象需要通过数学建模的方式进行研究，本节课将以“分析影响PM2.5浓度的因素”为例，进行数学建模．阅读教科书142页图1，并结合教科书第八章的8.1、8.2两小节，用你自己的语言说说建立统计模型进行预测的一般流程．
师生活动 学生阅读教科书，用自己的语言进行叙述即可．
建立统计模型进行预测的一般流程为：
（1）对于未知现象，了解背景知识，明确分析目的，确定获得数据的方法．
（2）获得观测数据（样本）．
（3）统计描述：借助表格、散点图等分析观测数据，用统计方法推断变量之间的关系，确定模型形式．现阶段我们主要判断成对数据之间是否呈线性相关，以及线性相关程度的强弱．
（4）统计模型：在确定了变量之间的关系后，利用观测数据估计模型参数，得到回归模型．现阶段我们只学习了一元线性回归模型．
（5）回归诊断：检验回归模型是否反映了原来的现实问题，对建立的回归模型进行统计评价和优化．
（6）统计推断：利用统计模型对现实问题进行预测，并作出决策．
设计意图 结合一元线性回归模型建立的过程，培养学生从特殊到一般的数学思维，并让学生初步了解数学建模活动，之后将按照这个流程，建立PM2.5浓度和汽车流量的一元线性回归模型．
实际教学情况 学生的总结能力不是很好，说明对“用统计方法研究实际问题”的一般套路，还没有清晰的认识．教师可以帮助学生回忆8.1、8.2节的学习过程，给出以上6步的关键词：未知现象—观测数据—统计描述—统计模型—回归诊断—统计推断．然后让学生对每一步的关键词展开叙述．
问题2 大气污染物PM2.5的浓度可能受到多种因素的影响，比如汽车流量、平均气温、空气湿度、风速等．你觉得我们应该怎样研究影响PM2.5浓度的这些因素？
追问1 目前我们只学过一元线性回归模型，对于PM2.5浓度是如何同时受这些因素影响的，我们还无从下手．所以我们可以先只考虑PM2.5浓度与其中一个因素的关系，例如与汽车流量的关系．现在我们已经有了24个城市交通点空气中PM2.5浓度监测数据，按照问题1中建立统计模型进行预测的一般流程，接下来我们需要如何研究？
师生活动 学生独立思考后相互交流．
绘制散点图，可以直观地考察PM2.5浓度与汽车流量之间的关系，为我们的分析提供帮助．因此以汽车流量为横轴、PM2.5浓度为纵轴绘制散点图．
教师讲解 为了研究方便，我们使用R软件．老师已经把这24的城市的监测数据保存在“pm25.csv”文件中，并且已经把R软件相应的命令保存到了R程序脚本“pm25.R”文件中，以便节省课堂时间．
接下来打开R软件，并在R软件中打开程序脚本“pm25.R”．然后运行脚本中的语句“d.pm25<-read.csv("pm25.csv",head=T)”，将pm25.csv中的数据读入到d.pm25中．再用“plot(PM2.5浓度~汽车流量,d.pm25)”函数，画出散点图（图1）
追问2 观察散点图，能否发现PM
2.5浓度和汽车流量呈线性相关？除此之外，你还有什么发现？
师生活动 学生观察图1，用自己的语言进行叙述，给出观察得到的结论：
可以发现PM
2.5浓度随着汽车流量的增加呈线性增长趋势，但在汽车流量相近时，多个散点所对应的PM
2.5的浓度有时会相差很大，这说明PM
2.5浓度除了受汽车流量的影响外，可能还受到如平均气温、空气湿度、风速等因素的影响．
追问3 既然PM
2.5浓度与汽车流量之间是一种线性相关关系，那么我们就可以建立相应的一元线性回归模型．回顾一元线性回归模型的建立过程，并说说我们是用什么方法确定模型参数的？
师生活动 学生回顾所学内容，进行作答．
一元线性回归模型为 根据观测数据（样本），利用最小二乘法对模型参数
a，
b进行估计，得到经验回归模型 ．注意，这里 和 的前后顺序和教科书上不一样，是为了和后面推导的多元线性回归方程的参数顺序相对应．
教师讲解 求解 和 的过程计算量较大，且是程序化的，因此我们还是利用R软件，可以方便快捷的得到结果．
在R软件中，用“lm.one<-lm(PM2.5浓度~汽车流量,d.pm25)”建立PM
2.5浓度与汽车流量之间的一元线性回归方程并进行相关的分析，结果保存在lm.one中．然后可以用“abline(lm.one)”画出回归直线（图2）．
最后用“summary(lm.one)”输出回归结果（图3）．
这样，我们得到了PM
2.5浓度关于汽车流量的一元线性回归方程
．
设计意图 一方面复习巩固一元线性回归模型建立的一般流程、依据、方法，另一方面熟悉R软件的基本操作，为建立多元线性回归模型做铺垫．
问题3 阅读教科书第144页“3. 回归结果分析”部分，并结合已学过的一元线性回归模型的相关知识，谈谈在我们得到的回归结果中，哪些统计量是我们已经学习过的内容？
师生活动 学生观察图3，阅读教科书，并相互交流，教师予以完善．
注：教科书上提到的很多统计量，是超出学生所掌握知识的，所以教师简单带过即可．
统计量Multiple R-squared是决定系数
R2，在教科书的8.2节我们学习过它．它反映了回归模型的拟合效果，其值越大，表示回归模型的拟合效果越好．它的大小也反映了自变量对回归的贡献，也就是在因变量的总变异中回归关系所能解释的百分比．另外，通过计算可知，决定系数
R2也等于样本相关系数
r的平方，学生可以根据教科书8.1节和8.2节的相关内容，自行进行推导．
教师讲解 决定系数之后的统计量Adjusted R-squared是调整的决定系数，用
R'表示，它是对决定系数的修正，主要用于多元回归模型．
根据调整的决定系数 可知，PM
2.5浓度总变异的65.76%与汽车流量有关，说明汽车流量是影响PM
2.5浓度的一个主要因素．
设计意图 将所学知识与R软件输出的回归结果作对比，理论联系操作，加深对知识的理解，熟悉对R软件的应用．
问题4 回归模型的重要应用之一是预测，并帮助作决策．某城市为使PM
2.5浓度的平均值不超过110μg/m
3，拟对汽车流量作出控制．请你利用问题2中求得的回归方程，说说该城市应该对汽车流量作出怎样的控制？
师生活动 学生独立思考，利用回归方程求解．
将 代入 ，计算可得 ．因此要使该城市的PM
2.5浓度的平均值不超过110μg/m
3，24h的汽车流量就要控制在不超过1513辆．
设计意图 对一元线性回归模型的初步应用，体会怎样利用统计模型进行预测，并作决策．
环节二 类比分析，建立多元模型
问题5 在一元线性回归模型中，因变量
y和自变量
x之间的关系为 ．类比一元线性回归模型，你认为多元线性回归模型中，因变量
y和多个自变量 之间的关系应该是怎样的？
追问1 说说你对“一元”、“多元”的理解．
师生活动 学生独立思考后回答．这是一个比较容易的问题，从字面理解即可．
“一元”和“多元”指的是自变量的个数，即所研究的对象是受“一个”还是“多个”变量（因素）的作用和影响．
追问2 如果研究对象只受一个变量的影响，即这“一个变量”就能完全确定“研究对象”，我们就称“研究对象”是关于这“一个变量”的函数，这也是我们在高中阶段所学的函数的概念．类比高中函数的定义，如果研究对象受多个变量的影响，我们可不可以称“研究对象”是关于这“多个变量”的函数呢？为什么？
师生活动 学生讨论交流后回答，教师予以完善．这是一个有难度的问题，学生需要将高中阶段所学“函数”的概念进行推广，教师可以进行适当的引导．
根据高中教科书上函数的定义，函数的本质是“一种确定的对应关系”，而“研究对象”受这“多个变量”的影响，也是一种确定的对应关系．所以可以称“研究对象”是关于这“多个变量”的函数．
教师讲解：类比高中教科书上一元函数的定义，类似地，我们可以给出多元函数的定义：
设
A是一个非空的
p元有序实数组的集合，
B是非空的实数集，对于集合
A中的任意一个
p元有序数组 ，按照某种确定的对应关系
f，在集合
B中都有唯一确定的数
y和它对应，那么就称 为定义在
A上的
p元函数，记为 ．其中
p元有序实数组 ．变量 称为自变量，
y称为因变量．
可以看出，当 时，就是我们熟悉的一元函数．
追问3 说说你对“线性”的理解．
师生活动 学生独立思考后回答．虽然这个问题略有难度，但对数学基本名词有一定理解的学生，应该不难想到．
“线性”指的是因变量和自变量之间的关系是线性的，即因变量是关于自变量的一次函数．
追问4 类比一元一次函数的形式 ，请你给出多元一次函数的形式．
师生活动 学生讨论交流后回答．这是一个难度较大的问题，如果学生有困难，教师可以直接给出结论，然后与学生一起讨论其合理性，可以把后面“相关性”的几点作为讨论点．
多元一次函数的形式为
．
比较一元一次函数和多元一次函数的形式，可以发现，它们有如下的共同点：
（1）函数解析式都是多项式的形式，即项与项之间是“加”的关系；
（2）每一项（包括常数项），都有一个系数；
（3）除了常数项，每一项都是某个自变量的一次方的形式．
追问5 建立一元线性回归模型的依据是一元一次函数，请你类比这个依据关系，根据多元一次函数，建立出多元线性回归模型．
师生活动 学生独立思考后回答．
多元线性回归模型为
，
其中
ε为随机误差．
设计意图 通过类比的方法，将函数的概念从一元推广到多元，将一元线性回归模型推广到多元线性回归模型．
问题6 我们已经得到了多元线性回归模型，类比一元线性回归模型中得到参数的最小二乘估计的过程，我们应该怎样得到多元线性回归模型 中参数的最小二乘估计？
师生活动 学生回顾后，通过类比进行回答，教师予以完善．
在一元线性回归模型中，我们为使 取得最小值，是通过对该式配方得参数的最小二乘估计 和 ．所以对多元线性回归模型，也应该使 取得最小值，从而得到参数的最小二乘估计．
教师讲解 虽然在一元线性回归模型中，我们对
Q的处理是配方，但其数学本质是把
Q看成关于
a和
b的二元函数，分别对
a和
b求偏导，从而得到 和 ．高中阶段我们还没学习过求偏导的方法，有兴趣的同学可以自行查阅相关资料．
对于多元线性回归模型，如果还采用配方的方法，将会使计算变得非常复杂．而我们又没学习过求偏导，所以在这里，我们可以借助R软件进行处理．
在R软件中，假设数据已经读入到d.pm25中，用“lm.pm25<-lm(PM2.5浓度~汽车流量+平均气温+空气湿度+风速,data=d.pm25)”建立PM
2.5浓度与汽车流量、平均气温、空气湿度、风速之间的多元线性回归方程并进行相关的分析，结果保存在lm. pm25中．然后再用“summary(lm.pm25)”输出回归结果（图4）．
这样，我们得到了PM
2.5浓度关于汽车流量、平均气温、空气湿度、风速的多元线性回归方程
，
其中
x1、
x2、
x3、
x4分别表示汽车流量、平均气温、空气湿度、风速．
追问1 类比教科书144页关于一元线性回归结果中的第（2）小点，根据多元线性回归结果，能否说明PM
2.5浓度与汽车流量、平均气温、空气湿度、风速的线性关系是显著的？为什么？
师生活动 学生交流后回答，教师予以完善．
可以说明线性关系是显著的．
教科书上对一元线性回归模型的
F统计量的分析说明为： ，分子自由度 ，分母自由度 ，给定显著性水平 ，即置信度为95%，临界值 ，由于 ，或 ，表明线性关系是显著的．
在多元线性回归模型中， ，分子自由度 ，分母自由度 ．类似地，给定显著性水平 ，虽然我们不知道 的值，但还可以比较
p值．
多元线性回归模型的 ，所以可以表明线性关系是显著的．
设计意图 通过类比一元线性回归模型确定参数的基本思路，得到多元线性回归模型确定参数的思路．感受回归模型建立的一般过程，体会信息技术（R软件）辅助处理数学问题所带来的便捷性．
问题5和问题6大量运用了类比的方法，正如法国数学家拉普拉斯曾说：“即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比．”在这个过程中，逐步体验类比法（通过两个对象类似之处的比较而由已经获得知识支引出新猜想）是数学发现、发明和创造的重要方法．
环节三 存留问题，深入研究
问题7 我们已经建立了多元线性回归模型，但还有以下问题没有解决：
（1）汽车流量、平均气温、空气湿度、风速这4个变量对PM
2.5浓度的影响程度是否相同？即这4个变量对PM
2.5浓度的影响的显著性如何判断？哪些变量的影响较大？哪些变量的影响较小？
（2）对于影响不显著的变量该如何处理？如何选择几个变量，建立一个“最优”多元线性回归方程？
（3）考虑多元线性归回模型的诊断问题：
①模型的基本假定（比如随机误差
ε的独立性和正态性假设）是否成立？
②如果基本假定不成立，能否考虑对自变量、因变量作适当的数学变换，构造多元非线性回归模型？例如教科书115页到119页介绍的对自变量取对数的变换．
③模型中是否存在异常点（一般指偏离数据主体较大的点）？如何探测模型中的异常点？
④模型中是否存在强影响点（一般指对模型有较大影响的点，比如对模型参数估计有较大影响的点）？如何探测模型中的强影响点？
（4）如何利用R软件，进行回归预测？
要回答上述问题，我们还需要对多元线性回归模型以及R软件的使用进行深入的研究．
师生活动 课堂上不要求学生作答，在项目化学习启动后，学生按小组进行深入研究．
设计意图 因上课时长有限，所以将这些问题作为项目化学习的一部分研究内容．
问题8 我们研究了PM
2.5浓度受汽车流量的影响，并建立了相应的一元线性回归模型．也研究了PM
2.5浓度受汽车流量、平均气温、空气湿度、风速的共同影响，并建立了相应的多元线性回归模型．那么影响PM
2.5浓度的这些因素之间，是否相互独立？例如汽车流量是否受平均气温的影响？平均气温是否受空气湿度和风速的影响？空气湿度是否受风速的影响？等等．我们该怎样建立一元及多元线性回归模型进行分析？
师生活动 课堂上不要求学生作答，在项目化学习启动后，学生按小组进行深入研究．
设计意图 因上课时长有限，所以将这些问题作为项目化学习的一部分研究内容．
环节四 项目准备，布置任务
项目化学习任务1 我们通过建立PM
2.5浓度与汽车流量的一元线性回归模型，梳理了建立统计模型进行预测的一般流程，并且了解了应用R软件处理统计数据、建立回归模型的方法．通过类比的方法将一元线性回归模型拓展到了多元线性回归模型，顺便得到了多元函数的定义．但是，也遗留了问题7和问题8中的多个未解决的疑问．
在上述研究的基础上，结合问题7和问题8，完成下述任务．
任务要求与建议：
（1）组建项目团队．每组成员原则上不超过6人．每组要确定一个项目负责人，使每位成员都有明确的分工．可以结合所研究的内容，起个响亮的组名．
（2）拟定研究内容．假定你们是一个从事某个领域（如自然科学、经济学、管理学和社会科学等）的科研团队，现在需要选定该领域内的某个内容进行研究．根据自己的兴趣，小组讨论并与老师协商后确定本组的研究内容．以“数据背后隐藏了什么秘密？”为驱动性问题，开展项目化学习．也可以根据本组的研究内容，制定更具体的驱动性问题．注意，驱动性问题应当为开放式的，并且要以最终的项目成果为导向，对作出相关决策有明确指导意义的，以便制定出有价值和深度的决策．
以下为一些可参考的研究内容：
①我国民航一个月的客运量与国内新冠病毒确诊人数、铁路客运量等的关系．
②我校高二年级学生的学科1成绩与学科2成绩、学科3成绩等的关系．
③某公司员工的年薪与受教育年限、在本公司工作的时间等关系．
④某种疾病病人的各项指标之间的关系．例如糖尿病人的空腹血糖与空腹胰岛素、糖化血红蛋白等的测量值的关系．
⑤我国一年的财政收入与税收收入、进出口总额等的关系．
（3）确定研究计划，规划研究过程，按填写要求完成《项目准备工作》，并准备项目准备工作的报告演讲，鼓励准备相应的PPT演示文档．
（4）编制《研究过程记录手册》，并做好记录．
（5）学习有关多元线性回归模型的资料．
（6）学习信息技术手段．如参考教师提供的《R软件使用指南》学习R软件，也可通过其他方式学习Excel表格、GeoGebra等．
师生活动 学生课下完成．
教师随时指导学生，要经常提醒学生留意身边的事物，用数学的眼光观察，积极尝试从中发现和提出值得研究的内容，为选题提供思路．要经常提醒学生养成做好过程记录的习惯．
考虑到学生对数学建模活动和项目化学习还不够熟悉，建议给学生一周时间．
设计意图 明确下一阶段的任务和要求，指导学生以项目化学习的方式开展数学建模活动．
【实际教学情况总结】
本节课为“建立统计模型进行预测”这个项目化学习的第1课时，教学内容包括：
（1）梳理建立统计模型进行预测的一般流程，并在这个流程指导下，建立PM
2.5浓度与汽车流量的一元线性回归模型．
（2）初步了解R软件的使用方法．
（3）通过类比的方法将线性回归模型从一元形式推广到多元形式，建立PM
2.5浓度与多个影响因素的多元线性回归模型．
（4）布置项目准备工作．
一方面，本节课的容量较大，在实际教学中用了1个小时．另一方面，学生没有充分预习，对所学内容不熟悉，导致在环节一中教师需要不断引导，细化过程，所以环节一用时大约25分钟，比预想的15分钟要多．因此，可以考虑在本节课前，先有一个准备课．准备课的前25分钟，可以让学生自主阅读教材，交流对本次数学建模活动的理解．后20分钟，以学生讲为主，完成环节一的内容．教师少量引导为辅，帮助学生梳理建立统计模型进行预测的一般流程，以及用R软件实现教科书上的相关内容．这样可以减少环节一的用时，在之后的第1课时也可将时间控制在45分钟之内．
第1课时 项目准备——课后活动
该环节基本是学生利用课余时间进行的，实际教学中给了学生一周的时间。期间教师组织了一次全班的活动课。
【实际教学情况总结】
在活动课中，各小组内部积极讨论，选定各组的研究内容，并初步制定了项目化学习的计划。但同时也暴露了一些问题，教师予以了及时的指导。
1. 大多数学生容易把本次数学建模活动误认为是对概率统计相关内容的巩固习题课，实际操作中可能会找来现成完整的数据和建立好的模型，这样就失去了数学建模活动和项目化学习的意义。教师应及时追问，这些数据是如何收集到的，模型是如何建立的。教师要引导学生重视发现和提出问题的过程，注意观察生活中的各种现象，并基于自己感兴趣的内容，选定自己的研究内容，并制定计划。
2. 有些组在选定研究内容后，发现有的数据不好量化，或者发现在后续的研究过程中可能会出现一些困难和障碍。教师应指导学生把这些困难记录下来，在之后的第2课时，向全班同学提出，征询好的建议和解决方法。在此过程中，教师要把握好自身角色的定位，应当作为一个引导者，而不是学生问题的解决者。
3. 有些组选定的研究内容，不知道在后续学习研究中所建立的模型有什么用。教师应引导学生进行组内讨论，打开思路，和生产、生活、科技、人文等多方面进行联系，根据模型进行预测，并根据预测提出有深度的建议和决策。
4. 大多数同学对R软件的使用、Excel表格处理数据的方法还不是很熟悉，需要进一步学习。
第2课时 分享研究内容，规范研究步骤
——项目启动
【教学内容】
展示项目准备工作，并启动项目．
【教学目标】
通过展示与交流学生小组的项目准备工作，并进行评价，体会发现、提出问题的过程，相互学习，积累数学建模活动的经验，为进一步的研究活动奠定基础．明确项目启动后所要完成的项目任务
【教学重点与难点】
1. 课时教学重点：展示各组项目准备工作中，发现与提出研究内容的过程．
2. 课时教学难点：梳理并规范研究计划、研究过程．
【教学过程设计】
引导语：经过一周的前期准备，我们对数学建模活动又有了更深入的认识．数学建模活动不同于传统的数学课，它是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，最终用数学方法构建模型解决问题．相信大家在这一过程中，也收货颇多．
下面让我们一起再次梳理一下本次数学建模活动项目化学习的几个要点．
（1）项目驱动性问题：数据背后隐藏了什么秘密？
（2）注重项目成果．项目成果的呈现方式可以是多样的，比如研究报告、预测决策，甚至可以是基于建立的模型提出一些新的有研究价值的问题．项目成果要突出的重点：
①能够揭示生活中的统计数据背后的规律．
②可以解决生活中的统计预测问题．
③应用统计知识，制定相关决策．
（3）做好项目全程评价，包括自我评价、小组互评、教师点评．
（4）做好过程记录．
设计意图 梳理项目化学习的要点，以终为始、注重成果、评价先行．
环节一 分享、互评项目准备工作，积累项目经验，改进研究方法
报告展示 经过前期的分工合作，各小组已经确定了各自的研究内容，并制定了相应的研究计划和研究过程过程，同时也对多元线性回归模型和R软件开展了交流学习．因此，我们把本次项目启动的重点确定为展示交流“发现、提出研究内容的思路，收集数据的经验，预期的项目成果”．对研究中所遇到的困难、好的经验心得（如信息技术的使用方面）也可以进行交流．下面有请各小组展示项目准备工作，其他小组的同学认真聆听、做好记录，稍后提出质疑，并作出评价、提出建议．
师生活动 学生分组展示项目准备工作，着重介绍以下几点：
（1）梳理本组研究内容的发现与提出过程．
（2）介绍收集数据的经验．
（3）预期的项目成果．
（4）展示编写的《研究过程记录手册》．
（5）（可选）提出研究中所遇到的困难，或分享研究中好的经验心得（如信息技术的使用方面）．
每组展示完后，进行本组自评、教师点评、小组间互评．然后根据评价填写《项目准备工作评价》．
在整个过程中，教师予以适当的引导．
学生可能遇到的困难：
（1）研究内容不够明确，表述不够准确．
（2）数据能否方便有效地收集．
（3）信息技术的使用不够熟练．
（4）对下一步的研究缺乏经验．
教师引导：
（1）提醒学生要用数学的语言表述所选研究内容，把研究过程细化、明确．
（2）提示学生收集数据的方式．
（3）对项目准备工作做出评价，并提出下一步研究的建议．
学生互评要点：
（1）提出展示组的优点和还需改进的方面．
（2）（可选）展示组的项目准备工作报告对本组的启发．
设计意图 项目准备工作的重点是学生发现、提出研究内容的过程展示，是借助项目化学习进行数学建模活动的第一步．因此需要鼓励学生大胆创新，并且通过学生之间的评价，使学生的数学建模核心素养得到提升．同时，也培养学生做过程记录的习惯．
经典案例 观看统计学上的著名案例《佩托悖论》的介绍短视频．
师生活动 学生观看视频，时长大约3分钟．
教师讲解 佩托悖论自被提出后，很多科学家都对这个现象进行过深入的研究．尽管目前还没有完美的解释，但也取得了相当多的成果，为人类抗击癌症作出了重大贡献．最新一个关于佩托悖论的研究成果，发表于2021年12月的Nature期刊上．通过佩托悖论我们可以看出，应用统计知识分析数据时，并不一定每次都能得到最终结果．但在数据分析之后，提出有深度的问题从而引发的思考和继续研究，往往比直接得到一些结论，更具有价值．
我们本次项目化学习的主题虽然是建立统计模型进行预测并作出决策，但有些小组所研究的内容，在建立完统计模型后，可能并不能依据此作出决策，反而会发现一些新的问题，而这些新问题的提出，本身也是很重要的研究成果．
设计意图 项目化学习的特点之一是注重成果，而通过学习能够发现并提出有价值的问题，也是很重要的项目成果．高中数学课程标准中的“四能”为发现问题能力、提出问题能力、分析问题能力、解决问题能力．通过项目化学习，达到提高学生学生“四能”的目的．
环节二 项目启动，规范研究流程
项目化学习任务2 各小组已经展示完了项目准备工作，并且收集了各方面的评价建议．接下来请各组围绕自己的研究内容，按照所制定的研究计划，开展具体的项目化学习，完成下述任务．
任务要求与建议：
（1）根据收集的评价建议，对研究方案进行改进．
（2）对所选的研究内容，依次完成收集数据、分析数据、建立模型、求解模型，利用模型进行预测和决策．在收集数据时，可参考教师提供的《关于数据建模活动中数据收集方式的建议》．
（3）对所选的研究内容，还需完成第1课时中未完成的研究任务，如“建立一个最优多元线性回归方程”、“利用信息技术进行回归诊断、回归预测”、“影响研究对象的多个因素之间的相互关系”等．
（4）按填写要求完成《项目中期报告》，并准备中期交流演讲，鼓励准备相应的PPT演示文档．
（5）继续做好过程记录，并填写《研究过程记录手册》．
（6）充分利用信息技术手段，如R软件、Excel表格、GeoGebra等．
师生活动 学生课下完成，期间可以求助教师，也要经常开展小组内的讨论交流．
教师经常监督、指导，并随时帮助学生梳理出阶段性成果．要经常提醒学生养成做好过程记录的习惯．
考虑到学生在收集数据时可能存在困难，以及对信息技术的使用不够熟练，建议给学生两周时间．
设计意图 明确下一阶段的任务和要求，让学生全面开展项目化学习，在教师的指导下进行真正的数学建模活动．
【实际教学情况总结】
1. 本节课在授课时，全班学生共分了7个小组，原本预计的每组展示加点评时间为5分钟左右，整堂课可以控制在45分钟内．但在实际教学中，每组的展示加点评时间远超5分钟，导致在第5组展示时，已经接近1小时．所以在5、6、7三组展示后的点评环节，虽然学生们评价讨论的热情很高，但教师都将每组控制在2-3个人作评价，并没有让学生们展开充分的讨论．即便如此，整堂课下来也将近1小时20分钟．
课后经过授课教师与听课教师的讨论，一致认为，既然学生的讨论热情很高涨，就应该让学生们充分表达，提前预留好充足的上课时间．
2. 本次7个小组的选题各有特色，涉及农业、房价、交通、信息化等多方面．有些选题，例如有关列车开行方案的研究，在学科涵盖方面，除了数学，还涉及到地理、政治，相当于一个跨学科的项目化学习．再例如有关人群信息匮乏度的研究，本身就是一个时下热门的社会现象．具体7个小组的研究内容如下：
（1）关于玉米产量影响因素的分析。
（2）太原房价的相关影响因素。
（3）合理分析人群身高，了解影响身高因素。
（4）合理估计中考分数，帮助初中生选择未来高中。
（5）如何合理制定列车开行方案以达到利益最大化。
（6）影响游戏销量的相关因素分析。
（7）社会人群信息匮乏度调查。
3. 收集数据的方式为本次项目化学习的一个难点，在实际教学中有几个组的准备报告中也提到了数据不好收集．
其中，有两个组的研究内容，所需收集的数据需要依靠专业的第三方数据，而这些数据是要花钱购买的（大概不超过100元人民币）．课后经过授课教师与听课教师的讨论，提出一个解决方案．由学生提供相应的购买证明（发票、缴费截图等），然后根据实际的费用向教师报账．这样做有以下几点好处：
（1）提高学生尊重知识产权的意识．
（2）规范相关流程．类似大学生、研究生做研究项目、申请经费的过程，让学生感受“做科研”的味道．
（3）培养学生合理规划研究经费．
另外，有两个组的数据收集方式非常出色．充分利用了地图软件收集有关地理位置的数据，利用楼宇电梯广告收集有关房价的数据，利用手机支付宝APP收集有关新冠疫情的数据，等．相对于能想到的问卷调查、上网搜索等收集数据的方式，充分利用了身边的各种信息来源来获取数据．这一点是出乎教师意料的，令教师感觉，千万不要小瞧学生的聪明才智．
4. 一些组在展示时提出了相关的信息不好量化，经过评价和讨论，也获得了一些启发，或初步有了解决方案．例如有关玉米产量的研究，不同土质（东北地区、江南地区等不同的土质）这一影响因素无法量化．在该组提出这个难点时，其他组给出了很好的建议，例如可以对不同土质按照一定方式进行评级：东北地区土质为1级，江南地区土质为2级等．教师需要指导学生，对土地进行评级时，一定要有相关的依据，如把土地中适合玉米生长的营养物质的含量作为一个评级标准．
5. 关于信息技术的使用，不少组也提出了困难，例如如何用R软件对数据进行指数、对数等的变换处理．通过评价和讨论也都得到了一定程度的解决，充分体现了信息技术助理现代化教学的特点．
6. 有的组在项目准备过程中，也把数学思想融入到了研究过程中．例如有关人群信息匮乏度的研究，本身是一个社会现象，如何对一个现象进行数学抽象、进而建立数学模型，是非常有难度的．在研究过程中，也提高了学生的数学核心素养．
7. 《项目准备工作评价》（附件2）的最初版本是表格的形式，详细列出了各组的评价条目，如下：
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其他组对本组的评价 |
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优点 |
还需改进的方面 |
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1组 |
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2组 |
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… |
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但在实际操作起来，一方面，各组轮流发言比较耗时；另一方面，对某个研究内容，有些组可能并没有太多的评价建议，而有些组的评价建议又会比较多，表格的形式就很受局限．
因此在课后，将其改为了现在简洁的版本．
8. 各小组的PPT普遍存在一些共通的问题．比如字体过小、背景太花哨，致使观众看不清楚．在本节课的课后活动中，教师需要给学生关于PPT的制作，进行一些指导．
第2课时 项目启动——课后活动
该环节基本是学生利用课余时间进行的，实际教学中给了学生两周。期间教师组织了两次全班的活动课，每周一次。
【第一次全班活动课实际教学情况总结】
环节一 总结项目启动展示中各小组的共同问题
教师讲解 上节课各小组都通过精心准备的PPT，展示了前期的准备工作，并且我们正式启动了项目。各小组选定的研究内容各有特色，但也暴露出一些问题。下面我们一起来梳理一下这些问题。
1. 本次项目准备工作的展示活动，以及之后的中期交流、成果展示，都属于学术汇报型展示。对于这类展示所用的PPT要注意以下几点：
（1）配色：避免花哨复杂，要做到简洁大方。建议一个主色再加黑、白、灰三色即可。另外，字体颜色要与背景形成鲜明的对比，掌握好深浅搭配的原则。
（2）字体：避免太花哨，否则看起来不方便，且不够正式。首选“微软雅黑”，相同字号下，尤其是中文，其可读性更强。
（3）背景：一般用浅色背景，在投影仪上显色效果会更好。
（4）内容：不要出现大段落的文字，最好将文本分段处理，并提取核心关键词。
（5）图表：多使用图表，比只有文字，更能吸引观众的注意，并且可以更加形象的表达观点。
（6）动画：不建议使用过多或浮夸的效果。使用简单的动画效果会更好，例如淡化、擦除、飞入。对于2016以上的PPT版本，还可以使用平滑切换建立上下页面的关联。
2. 在用PPT进行演讲时，站姿大方得体，不要有过多小动作，不要完全背对观众，不要站在投影屏幕的正前方挡住屏幕。
3. 有些组所需的数据需要花钱购买，可以保留好相关的购买证明（发票、缴费截图等），然后提交纸质版申请，根据实际费用，由教师报销不超过100元人民币的研究经费．
4. 对研究内容中的一些信息进行数据化时，要有相应依据。如玉米土地的优劣的评级方式，可以把土地中适合玉米生长的营养物质的含量作为一个评级标准
环节二 充分开展项目活动
在活动中，各小组充分开展了项目化学习，有些组还进行了小组间的交流，取得了初步进展。
1. 研究人群信息匮乏度的小组为了对每个人的信息匮乏程度进行评判，即将这一现象数据化，采用了问卷调查的形式。问卷着重从各领域考察每个人所掌握的信息量，然后进行打分。经过本次全班活动课，问卷的题目已经拟定完毕。
2. 研究游戏销量的小组，先通过小组内讨论，罗列出目前市面上比较火的几十款游戏。在活动课时间过半后，组内突然有人提出本组全是男生，所以目前罗列出的都是男生关注的游戏，那女生关注哪些游戏呢？于是全组学生分别行动，对其他组的女生进行了调研，得到了比较全面的信息。
3. 研究玉米产量的小组在活动课刚开始时，不知如何获得土地营养成分含量的相关数据。经过努力后，找到了专业的统计网站，获得了准确的数据。这一进展使学生们信心大增，马上又提出，是否也有气象方面的专业统计网站，可以得到各地的气象数据？于是学生们又分头行动，利用互联网进行查找。
4. 很多组除了利用R软件之外，还充分使用了各种信息技术。如手持图形计算器、几何画板等。
5. 在项目化学习的研究活动中，提高了学生应用所学知识技能解数学题的能力，有利于提高学生的数学成绩。例如研究太原房价的小组已经收集了少量的数据，通过观察散点图发现其不符合线性回归模型。于是就考虑对解释变量进行代数变换。利用手持图形计算器和几何画板反复尝试，发现散点图大致符合函数 的图象，然后再对参数和系数进行调整。这个调整，就是利用了高中所学的平移、伸缩两种函数图象变换的知识。在这一过程中，一方面培养了学生直观想象的核心素养，通过图象找对应函数。另一方面，学生在实际问题中巩固了函数图象变换的基本知识，比起干巴巴的解题，印象更深刻。
【第二次全班活动课实际教学情况总结】
在第一次活动后又经过了一周，各小组都取得了很大的进展，尤其是在收集数据方面。所以本次活动课，很多小组都已经分工合作，着手开始处理数据。
1. 研究列车开行方案的小组，除了列车客运量以外，其他数据基本已收集完毕。通过拨打12306热线及太原市火车南站的客服电话，已联系好火车南站，打算利用周末前往火车南站进行实地社会调研。
2. 研究人群身高的小组，通过微信小程序问卷星，已经收集到400多组数据，但有些数据是无效的或需要做进一步处理。例如个人的平均周运动时间，有“1个半小时”、“20分钟”等多种格式，需要对其做单位格式的统一化处理。
3. 研究太原房价的小组，在对数据做预处理时，例如将
x通过代数变换变为e
-x，由于不熟悉R软件处理数据的方法，所以手动用计算器一个个计算。这样处理数据很低效，经过教师指导后，采用了Excel表格的批量处理功能，大大提高了效率。另外，该小组在前期已经通过一些方式，拟合出了决定系数
R2非常好的多元非线性回归方程，但由于没有做好过程记录，导致忘记了其中几个比较重要的参数。所以在本次活动课，又重新尝试，最终找到了合适的参数。教师发现这一问题后，也予以及时的提醒，在研究过程中要做好过程性记录，否则会丢失很多重要的阶段性研究成果。
4. 研究玉米产量的小组，在建立完模型后发现残差图很差，不符合回归模型的假设。通过初步分析，发现可能是由于对土地评级不准确造成的。另外也引发了进一步的思考：这是否也说明在现代农业发达的今天，由于化肥的使用、科技种植、科学灌溉等多方面的因素，导致土地、气候、降雨量等对玉米产量的影响，不像以前那样重要？
第3课时 交流初探成果，指导研究方法
——中期交流
【教学内容】
展示中期报告．
【教学目标】
通过展示与交流学生小组的中期报告，将“数学建模进行预测的一般流程”从前期的实践活动提升到理论高度的认识．通过对中期报告的自我评价和相互评价，完善研究活动，为顺利完成项目化学习作铺垫．
【教学重点与难点】
1. 课时教学重点：展示各组对研究内容的研究过程，以及所获得的阶段性成果．
2. 课时教学难点：利用模型进行多方面的预测，给出有深度的决策建议．
【教学过程设计】
引导语：通过两周内多次课下活动的实际操作，我们对建立统计模型进行预测的一般流程，有了更深刻的体会，如下图（图5）：
环节一 展示成果，总结心得
中期交流 经过小组成员的共同努力，各小组都收货了一些成果，也遇到了一些困难，同时也深切地感受到在数学建模活动中，实际操作执行要比理论计划要复杂的多．所以我们把本次中期交流的重点确定为展示交流“收集数据的经验，建立模型、优化模型的过程，以及所获得的阶段性成果”．下面有请各小组展示中期报告，其他小组的同学认真聆听、做好记录，稍后按照《中期报告评价》提出质疑，并作出评价、提出建议．
师生活动 学生分组展示中期报告，着重介绍以下几点：
（1）总结数据收集的方法和经验．
（2）介绍分析数据、建立模型、求解模型的过程．
（3）梳理回归诊断、优化模型的思路．
（4）利用模型进行的预测，给出的决策建议．
（5）交流信息技术的使用心得．
（6）（可选）提出研究过程中所遇到的困难，或分享研究过程中好的经验．
每组展示完后，进行本组自评、教师点评、小组间互评．然后根据评价填写《中期报告评价》．
在整个过程中，教师予以适当的引导．
学生可能遇到的困难：
（1）收集的数据是否真实有效．
（2）研究过程记录不够细致．
（3）信息技术的使用不够熟练．
（4）使用模型进行预测时，可能会忽略的注意点（教科书119页）：①经验回归方程只适用于所研究的样本的总体；②经验回归方程一般都具有时效性；③解释变量的取值不能离样本数据的范围太远；④不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值．
（5）使用模型进行预测的方式比较单一，缺乏多样性．作出的决策建议流于表面，深度不够．
教师引导：
（1）提醒学生要按照“数学建模进行预测”的一般流程进行汇报．
（2）对于决策建议深度不够的小组，予以适当的启发．
（3）对中期报告做出评价，并提出下一步研究的建议．
学生互评要点：
（1）对展示组进行评价时，关于《中期报告评价》中的几项评价内容，不必每项都评价，但至少评价一项．
（2）（可选）展示组的中期报告对本组的启发．
设计意图 中期报告的重点是学生对取得的阶段性成果的展示，是借助项目化学习进行数学建模活动的重要环节．学生的交流活动是一种合作学习的过程，让学生参与评价体现了学生的主体性．学生通过回顾已经完成的活动、规划还需进行的活动，将前期的实践提升到理论高度，一方面让学生感受“做数学”的味道，另一方面锻炼学生的高阶思维，进而达到提升学生数学抽象、数学建模、数据分析的核心素养．
环节二 延伸研究任务
项目化学习任务3 各小组已经展示完了中期报告，并且收集了各方面的评价建议．基于已取得的阶段性成果，你还能提出哪些有价值的研究方向或建模方式？基于建立的模型，你还能进行哪些预测、给出哪些决策建议？请充分思考并组内交流后，完成下述任务．
任务要求与建议：
（1）根据收集的评价建议，对已有成果整理所成的资料进行仔细阅读并纠错，并作出改进．
（2）对本组未解决的困难，或未完成的研究工作，进行进一步研究并完成．
（3）（可选）完成新的研究方向、新的建模方式，进行新的预测，给出新的决策建议．
（4）按填写要求完成《项目成果公报》，并准备成果展示的报告演讲，鼓励准备相应的PPT演示文档．
（5）继续做好过程记录，并填写《研究过程记录手册》．
（6）充分利用信息技术手段，如R软件、Excel表格、GeoGebra等．
师生活动 学生课下完成，期间可以求助教师，也要经常开展小组内的讨论交流．
教师经常监督、指导，并随时帮助学生梳理形成项目成果．要经常提醒学生养成做好过程记录的习惯．
考虑到有些组在中期报告前可能还未完成建立模型的任务，有些组在中期报告后可能又有了新的研究方向，所以要求学生在两周之内完成．
设计意图 明确下一阶段的任务和要求，给学生充足的时间，让学生进行更深入的研究．
【实际教学情况总结】
1. 本节课在授课时，7个小组轮流展示中期报告，每组大约15分钟左右，包括10分钟汇报展示和5分钟互动交流，整堂课用时大约2小时．学生们在课堂上展示了各组的阶段性成果，并进行了充分的交流讨论，形成了初步的项目成果。总体来讲，7个小组在收集数据、学习统计知识、利用信息技术等方面，都做了充足的准备，已经初步建立了统计模型，有些组甚至已经开始对模型进行优化，或利用模型进行分析预测。
2. 通过项目化学习的研究过程，很多小组更深刻的理解了数学的本质、感受了做数学的味道。
（1）研究太原房价的小组在建立统计模型时，根据一元关系的散点图，猜测因变量和某一自变量呈指数关系。通过反复尝试，发现以自然底数e为底时的拟合效果，要远好于以2.6、2.8、3.0等为底时的拟合效果。学生由此深刻体会到了自然底数e的重要作用，以及为什么教科书上会说“在科技、经济以及社会生活中经常使用无理数e为底”（教科书必修第一册4.3节）。教师点评：“我们在做研究学习时，虽然目标在远方，但在到达远方的过程中，沿途的风景和所得的收货可能是意料之外的。”
（2）研究列车开行方案的小组在项目化学习的过程中，对遇到的问题，通过小组讨论的方式得以解决。深刻体会到了在研究中“发现和提出问题、分析和解决问题”的过程。小组成员感悟：“作为新时代的青少年，应该具有这种思辨性、创新性的研究精神。”
3. 有些组在建立完统计模型后，遇到了一些共同的问题。
（1）在研究列车开行方案的小组和研究中考分数线的小组所建立的回归方程中，常数项、各自变量的系数的数量级相差很大，跨度达到从10
-3到10
2。通过互动交流，学生们提出可以仿照教科书上的范例（PM
2.5浓度的单位：μg/m
3，汽车流量的单位：千辆），对自变量和因变量的单位进行调整，以使回归方程中的系数的数量级保持同一水平。教师借此机会提醒学生，深挖教科书上的内容，对平时的学习会有很大的帮助。
（2）研究游戏销量的小组得到的回归结果中，决定系数偏低，只有0.002。虽然经过多次调整，但最高也只有0.1。通过交流讨论，分析可能的原因有两点：一是收集的数据有偏差，比如端游（电脑游戏）的保有量低，手游（手机游戏）的保有量高，导致获得的样本不全面，所以需要收集更多的数据；二是对影响游戏销量的因素，所做的代数变换不够好，还需要尝试更多的代数变换，以求得到拟合效果更好的回归方程。
4. 信息技术方面，一些小组除了使用R软件和Excel表格以外，还自学使用了其他软件。例如研究人群信息匮乏度的小组在做问卷调查时，使用C++语言编程生成随机数辅助调查。研究列车开行方案的小组，使用Stata软件建立统计模型，使用Python软件绘制散点图、回归模型图。
第3课时 中期交流——课后活动
该环节基本是学生利用课余时间进行的，实际教学中给了学生不到两周的时间。期间教师组织了一次全班的活动课。
【实际教学情况总结】
在活动课中，各小组基于中期交流的情况及收集到的各方建议，继续开展各组的项目化学习。不少组基于已经建立好的模型，提出了有深度决策建议，或引发了进一步的思考。
1. 研究人群身高的小组通过建立的模型，发现母亲身高对孩子身高的影响程度，比父亲身高的影响程度更大。所以大胆的提出，教科书上在讲“一元线性回归模型及其应用”时（选择性必修三第105页），用的例子是儿子身高与父亲身高的关系。那如果改成以“孩子身高与母亲身高的关系”为例，是否会更显著？当然，目前所得到的结论也只是初步成果，要确定“母亲身高对孩子身高的影响程度更大”这一结论，还需要做更大范围内的研究。
2. 研究人群信息匮乏度的小组，通过分别绘制“信息掌握程度与年龄”和“信息掌握程度与学历”这两个一元的散点图，发现：①对于不同年龄段的人群，年龄在25岁左右的人群，信息掌握程度差异特别大，而年龄在60岁以上的人群，信息掌握程度基本无差异；②对于不同学历的人群，学历为高中的人群，信息掌握程度差异最大。通过结合实际情况分析，初步猜测可能的原因是：①25岁左右的人群处于刚步入社会时期，之前的家庭环境、学习经历各有不同，所以导致信息掌握程度差异很大。而对于60岁以上的人群，由于全国的生活水平、教育状况在40多年前都差不多，所以他们当时接受教育的程度都差不多。当这类人群步入老年之后，又赶上信息爆炸的时代，他们对手机电脑的使用熟练程度，赶不上时代的发展，导致接触的信息有限。所以60岁以上的人群对信息掌握的程度，差异就很小。②高中阶段为学习习惯、行为习惯的成型期，所以学历同为高中的人群由于个体差异，导致其在高中阶段或高中毕业之后，所接触的信息程度会有明显的差异。
3. 研究玉米产量的小组通过分析光照和降雨量，发现随着光照和降雨量增加，玉米产量反而减少，这与我们的常识相违背。所以猜测有可能是数据出错，也有可能这就是真实情况。结合我国玉米的种植区大多在北方地区，其光照和降雨量都比南方地区要少，所以玉米有可能并不需要过多的光照和雨水，而过多的光照和雨水反而会使玉米产量降低。
4. 研究游戏销量的小组在建立模型时发现，所收集的数据绝大多数都是销量高、评分高的游戏，对于那些销量低、评分低的游戏，相关数据却很少。分析之后发现可能的原因是，在通过互联网收集数据时，往往会被推送或搜索出销量高、评分高的游戏，无形中产生了“信息茧房”效应。这一现象，又可以和研究人群信息匮乏度的小组的研究内容相结合。
第4课时 展示探究成果，评价促进提升
——成果展示
【教学内容】
展示项目成果，并对项目进行评分．
【教学目标】
通过展示与交流学生小组的项目成果，体会完整的数学建模活动．通过对项目的评分，激发学生学数学、做数学的积极性．通过总结展望，让学生再次感受数学的实用性，以及思考个人的生涯规划．
【教学重点与难点】
1. 课时教学重点：展示交流数学建模活动的成果，通过“质疑、答辩”相互学习．
2. 课时教学难点：学生对评分标准的理解，实际的评分操作．
【教学过程设计】
引导语：数学建模活动使同学们对数学的实际应用价值有了一定的认识．经过我们为期5周的项目化学习活动，各小组通过对综合程度较高、难度较大的实际问题的研究，经历了“数学建模进行预测”的一般流程，使得我们每个人都能像某个领域的科研人员一样思考、分析、研究、推断、预测、决策．现在，让我们一起揭示这些数据背后的秘密吧！
环节一 成果展示
成果展示 经过小组成员的共同努力，各小组都圆满地完成了预期的项目化学习任务，并取得了丰硕的成果．所以我们把本次成果展示报告的重点确定为展示交流“数学建模活动的成果”并通过“质疑、答辩”相互学习．下面有请各小组展示项目成果，其他小组的同学认真聆听、做好记录，稍后提出质疑．每组展示结束后，其他组根据《项目评分表》，及时给展示组打分．
师生活动 学生分组展示项目成果报告，着重介绍以下几点：
（1）项目简述．
（2）研究内容及驱动性问题．
（3）介绍项目成果及成果影响．
每组发言人展示结束后，其他成员可以补充．每组完成项目成果报告后，其他小组可以进行质疑，展示组进行答辩．最后，其他组对展示组根据《项目评分表》打分．
设计意图 项目成果展示报告的重点是学生对项目成果的梳理总结，是借助项目化学习进行数学建模活动的最后环节．学生的质疑、答辩、打分过程，类似于专家评价的过程，每个人都可以发表自己的观点，达到相互学习的目的，加深对数学建模活动的理解．
环节二 交流评价
交流评价 通过刚才的展示活动可以看出，各组同学都充分发挥了自己的聪明才智，积极参与了数学建模活动，真正做到了“做数学”．很多组的研究内容本身也非常有趣，和自然科学、经济学、管理学和社会科学等有着广泛的联系．得到的数学模型、进行的预测、给出的决策建议也很有难度和深度，综合性较强．下面我们汇总刚才各组的《项目评分表》，进行总分的排名．
师生活动 汇总打分，进行排名．可以按照3:3:4的比例，给各组评定“优秀”、“良好”、“合格”三个等级．为了达到鼓励学生的目的，原则上不评定“不合格”．
还可以评出一些特别奖项，例如“最具创意项目奖”、“最有价值成果奖”、“最佳技术应用奖”等．
设计意图 通过交流评价，对学生的数学建模活动学习予以充分的肯定，激发学生学习数学的兴趣．
环节三 总结展望
总结 教师进行总结，可以分以下几个方面：
1. 开展数学建模活动对于学习数学的意义．
2. 本次数学建模活动的经验和有待改进之处．
3. 向学校推选1~2个优秀数学建模活动案例．
4. 结合学生评价，对表现优秀的小组和个人给出教师评价．
展望 虽然我们本次的数学建模活动已经告一段落了，但我们对数学的探索还远没有结束．流水不争先，争的是滔滔不绝．从事任何研究和工作，只要着眼于长远，躬耕于实干，就一定能取得不凡的成果．请同学们完成以下长期作业，尤其是有志于学习经济学、管理学、社会类（如数理经济、社会学）和部分理工类（如化学、生物等）专业的学生：
学习人教A版《普通高中教科书·数学》选修课用书B类《模型》、《应用统计》，感受数学与其他领域的紧密联系，体会数学的应用价值．
设计意图 通过总结，提炼开展数学建模活动的经验、成果、方法．通过展望，引发学生对个人生涯规划的思考．
【实际教学情况总结】
1. 7个小组的项目化学习的完成度都非常高，尤其是2组（研究太原房价）、5组（研究动车开行方案）和7组（研究人群信息匮乏度）。
2. 2组在研究过程中，对高中所学的数学知识，如自然底数e的含义、不同函数图象的特点等，又有了更深入的认识，同时还自学了大学微积分的相关知识。并且在基于研究太原房价的基础上，进一步研究了全国其他几个城市的房价，充实了研究内容。
3. 5组在研究过程中，自学了统计学中的聚类分析等相关知识，并且还撰写了结题论文，感受到了“做数学”的味道。
4. 7组通过本次的项目化学习，提升了自身的数学思维，如在成果展示中所提到的“量化思考”、“反向思维”、“标准化方法”等，感受到了数学是“有用的”，数学思维是“有用的”。
附件1
“数据背后的秘密”项目准备工作
组名：____________________________________
组长：____________
一、研究内容及具体的驱动性问题：
二、项目组成员及预计分工：
三、选题的过程和意义：（研究内容的发现与提出过程，如为什么要选这个研究内容？这个研究内容有什么实际意义？）
四、研究计划：（1. 内容分析：研究内容的可行性、难度，所需的前期准备、支持条件（例如信息技术），以及可能遇到的问题等．2. 研究思路：针对内容分析所提出的困难、问题等，计划采取什么办法解决．）
五、研究过程：（预计的收集数据、分析数据、建立模型、求解模型的过程，以及过程中可能出现的难点、解决方案等．）
六、信息技术学习心得：（如R软件、Excel表格、GeoGebra等信息技术的优缺点，学习使用时的困难等．）
七、预期成果：（预计的成果内容、对制定决策的指导作用、成果的呈现方式等．）
八、参考文献：
九、补充说明：（包括《研究过程记录手册》（可另附），研究过程中所遇到的困难，分享研究过程中好的经验等．）
附件2
“数据背后的秘密”项目准备工作评价
组名：____________________________________
组长：____________
一、本组自评
二、教师点评
三、其他组对本组的评价
四、（可选）其他组的项目准备工作报告对本组的启发
附件3
“数据背后的秘密”项目中期报告
组名：____________________________________
组长：____________
一、研究内容及具体的驱动性问题：
二、项目组成员及实际分工：
三、研究过程：（实际的收集数据、分析数据、建立模型、求解模型的过程，以及在实际操作过程中出现的难点、解决方案等）
四、阶段性成果：（已收集的数据、已建立的数学模型、已完成的回归诊断和模型优化、利用模型已进行的预测、已给出的决策建议等．不要求全部完成．）
五、信息技术使用心得：（如R软件、Excel表格、GeoGebra等信息技术是如何在数学建模活动的实际操作中发挥作用的．）
六、参考文献：
七、补充说明：（研究过程中所遇到的困难，分享研究过程中好的经验等．）
附件4
“数据背后的秘密”项目中期报告评价
组名：____________________________________
组长：____________
可以从以下几方面进行评价：
1. 研究内容的应用价值；2. 活动过程中的重大亮点；3. 存在的问题、不足或质疑；4. 后续的研究建议．
一、本组自评
二、教师点评
三、其他组对本组的评价
四、（可选）其他组的中期报告对本组的启发
附件5
“数据背后的秘密”项目成果公报
组名：____________________________________
组长：____________
一、项目简述：
二、教材和相关资料：
三
、研究内容及具体的驱动性问题：
四、研究方法：（收集数据的方法，使用的信息技术，进行预测作出决策的方法等．）
五、研究过程：（研究流程，研究进度时间表等，可根据《研究过程记录手册》进行梳理．）
六、项目成果及成果影响：（1. 研究成果：建立的数学模型、利用模型进行的预测、给出的决策建议等．2. 成果影响：成果对相关领域（如自然科学、经济学、管理学和社会科学等）的实际意义或价值．）
附件6
“数据背后的秘密”项目评分表
填表小组：____________
组长：____________
注意：本表记录内容为，填表小组对各个展示小组（包括本组）的评分，不是记录其他组对本组的评分．
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评价内容 |
评价标准（除有特殊说明外，每项评价内容满分均为5分） |
展示小组 |
评分 |
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数据收集 |
1. 能够利用各种途径（如互联网、身边的数据、问卷调查等）收集数据．3分．
2. 能够利用各种途径收集数据，并且充分论证了数据的真实有效性．4分．
3. 能够利用各种途径收集数据，并且充分论证了数据的真实有效性，所使用的数据样本具有代表性．5分． |
组1 |
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组2 |
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组3 |
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组4 |
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组5 |
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组6 |
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组7 |
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组8 |
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研究过程 |
1. 能按照“数学建模进行预测的一般流程”进行研究．3分．
2. 能按照“数学建模进行预测的一般流程”进行研究，能运用正确的数学知识、数学方法进行研究．4分．
3. 能按照“数学建模进行预测的一般流程”进行研究，能运用正确的数学知识、数学方法进行研究，《研究过程记录手册》记录完整细致．5分． |
组1 |
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组2 |
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组3 |
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组4 |
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组5 |
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组6 |
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组7 |
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组8 |
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成果价值 |
1. 能够建立模型，进行预测，作出决策．3分．
2. 能够建立最优模型，进行预测，作出决策．4分．
3. 能够建立最优模型，进行多方面的预测，作出有深度的决策．5分．
4*. 在达到上述第3点的基础上，并且预测和决策有独特的观点，有重要的实用价值，对相关领域有切实可行的指导意义．可以酌情给出6~10分． |
组1 |
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组2 |
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组3 |
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组4 |
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组5 |
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组6 |
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组7 |
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组8 |
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数学能力 |
1. 能将实际问题转化为数学问题，建立回归方程进行预测．3分．
2. 能将实际问题转化为数学问题，建立回归方程进行预测，解释回归方程的相关统计量．4分．
3. 能将实际问题转化为数学问题，建立回归方程进行预测，解释回归方程的相关统计量，并且能从数学角度形象生动地利用图表等方式展示预测结果．5分．
4*. 在达到上述第3点的基础上，除了建立多元线性或非线性回归模型以外，还进行了其他的统计分析，如聚类分析、判别分析、主成分分析等．可以酌情给出6~10分． |
组1 |
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组2 |
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组3 |
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组4 |
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组5 |
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组6 |
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组7 |
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组8 |
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技术应用 |
1. 能够应用R软件等信息技术处理数据、建立模型、进行预测．3分．
2. 能够应用R软件等信息技术处理数据、建立模型、进行预测，对模型进行回归诊断．4分．
3. 能够应用R软件等信息技术处理数据、建立模型、进行预测，对模型进行回归诊断，建立最优（线性或非线性）回归模型．5分．
4*. 在达到上述第3点的基础上，还能够应用技术进行其他方面的统计分析，如聚类分析、判别分析、主成分分析等．可以酌情给出6~10分． |
组1 |
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组2 |
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组3 |
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组4 |
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组5 |
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组6 |
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组7 |
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组8 |
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视频来源：优质课网 www.youzhik.com
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