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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《超几何分布》浙江—陈
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浙江—陈扬帆—设计—超几何分布
超几何分布 教学设计
浙江省温州中学 陈扬帆
各位专家评委、老师们：
大家好！我是浙江省温州中学的数学老师陈扬帆.有机会参加这次课堂教学评比活动，并向全国的专家和老师们学习，我深感荣幸.
我说课的题目是《超几何分布》，下面我就根据课程标准，结合我对教材的理解和所教学生的实际情况，从教学背景、教学目标、教学策略、教学过程、教学特点等五个方面对本节课作一个说明.希望专家、老师们对我说课的内容多提宝贵意见.
本节课是《普通高中课程实验教科书数学》人教A版选择性必修第三册第七章《随机变量及其分布》的第7.4.2节《超几何分布》，属于新授课.
本章知识结构
离散型的二项分布、超几何分布等概率模型是人们重点研究的模型.超几何分布作为特殊的离散型随机变量的分布，在多数概率论与数理统计教科书中都作为例子出现.
人教A版教材、北师大版和人教B版教材顺序有
所不同，人教B版的顺序是在学习
了离散型随机变量的分布列后直接
以二项分布和超几何分布为例，随
后再研究随机变量的数字特征.而人
教A版和北师大版的教学安排是，
学习了离散型随机变量及其分布列、
数字特征的一般性知识后，分别研
究二项分布和超几何分布，这个安排
一是体现其重要性，二是突出模型特征的抽象及分布列的推导过程，落实数学抽象和数学建模核心素养.
在之前函数的学习中，学习完函数的概念、表示、性质等一般知识后，通过学习幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数类，不仅加深了对一般函数概念的理解，而且为学生奠定了建立适当的函数模型解决不同类型实际问题的数学基础.与函数的学习类似，本节通过研究超几何分布这一重要离散型随机变量的分布，不仅进一步让学生理解了离散型随机变量在描述随机现象中的作用，而且对随机思想在解决实际问题中的作用也有了更深入的理解.
同时，本节也让学生了解二项分布与超几何分布的区别与联系，解决了实际生活中“有放回抽样和无放回抽样估计结果哪个更好”的实际问题，对于正确识别（选择）概率模型，进行概率决策，解决实际问题至关重要.
从知识基础来看，超几何分布模型是古典概率模型，学生在必修第二册第十章10.1《随机事件与概率》中已经对古典概型有了初步认识，本节以摸球试验为例，直观分析，学生不难得到其分布列.但超几何分布均值的计算要用到组合恒等式（组合数性质和范德蒙恒等式），有一定的难度，需要进一步引导探究. 同时，在必修第二册第九章《统计》中学生已经学习过简单随机抽样，因此，学生对本节课的主线问题——估计袋子中红球比例，利用样本估计总体的方法是易上手的，但是有放回抽样和无放回抽样，哪种抽样方法更好，对于随机变量的数字特征在决策中的应用比较陌生和模糊.
从思维基础来看，学生在学习上一节《二项分布》时已经经历过从特殊到一般的推理方法，已经具备一定的数学建模素养，但运用类比、直观想象、数学抽样和计算验证等论证能力较为欠缺.因此我设置本节课的教学重点和难点如下：
重点：超几何分布模型的特征，分布列及其均值；
难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布和超几何分布，并用随机变量的概率分布和数字特征进行概率决策.
依据课程标准，同时基于上述分析，我确定本节课的教学目标如下：
-
通过比较放回和不放回简单随机抽样，归纳出超几何分布模型的特征，由特殊到一般地求得满足超几何分布的随机变量的分布列，培养学生数学抽象素养；
-
在直观猜想、严格论证、类比推理的过程中，培养学生的逻辑推理、数学运算素养.
-
通过对比二项分布与超几何分布的联系与区别，理解并应用模型所描述的随机变量的特点和数字特征进行概率决策，培养学生数学建模素养；
鉴于学生已经具有一定的概率与统计基础，制定如下教学策略：
-
实验探究与概念教学相结合.学生通过实验探究（摸球实验），分别就放回抽样和不放回抽样，抽象出二项分布与超几何分布，并用样本中红球的比例估计总体红球的比例，定量地比较估计结果，经历从感性到理性的认知过程，体会数学抽象的价值，掌握数学建模的过程.
-
合理猜想与严格论证相结合.在随机变量概率模型建构过程中，引导学生根据数字特征的意义及随机变量的实际意义从猜想到验证，从直观感受到严格论证，培养学生严谨推理与证明的习惯，提升学生逻辑推理素养.
-
随机模拟试验与信息技术相结合.有放回摸球、无放回摸球的随机试验模拟以及二项分布、超几何分布有关概率的计算、概率分布图等都需要借助信息技术工具来完成，本节应用Excel统计了学生课堂中生成的21组有放回、无放回摸球得到的数据，了解样本均值与随机变量的期望的关系，利用Excel产生随机数（有无重复），分别模拟1000次有放回摸球、无放回摸球的随机模拟试验，探究有无放回抽样哪个抽样方法更好；利用GeoGebra软件直观地看到二项分布与超几何分布的联系.
4.
课外查阅与课内交流相结合.在教学材料的组织上选择了让学生课外查阅“超几何分布”的相关资料，自主学习和探究超几何分布与二项分布的联系，以及在高等数学背景下“超几何分布”名字的由来，并以小组交流的形式汇报成果，让学生对超几何分布和离散型随机变量的分布有更深的思考，同时也渗透了数学文化.
为了达到以上教学目标，在具体教学中，我把这节课分为以下五个环节：
接下来，我将对每一教学环节中涉及的主要问题，教学步骤以及设计意图作出说明.
问题提出：已知不透明袋子里有100个球，其中有若干个红球和黄球，这些球除颜色外均相同，请同学们设计实验方案，估计袋子中红球比例.
【学生活动】学生认为可以从袋子中随机摸出20个球，用样本中红球的比例来估计总体红球的比例.
【设计意图】通过一个实际问题，引起学生兴趣，并让学生快速提取在必修二第九章《统计》中学习过的简单随机抽样，利用样本估计总体，开启本节课概率决策的主线任务.
【学生活动】第一次摸球实验.
实验要求：
1.以20个球为样本，设计实验方案，并把结果填写在记录单上；
2.摸球前将袋子里的球搅匀；
3.保证每次摸球都是随机抽取，数据要真实。
【设计意图】此处实验要求并没有明确用什么抽样方法，所以学生可以凭借自己的经验积累，自主选择摸球方式，如一次性抽20个，一次抽10个不放回地抽两次，或者一次抽一个有放回抽20次等等，为后面得到不同的随机变量分布铺垫.
【师生互动】学生反馈摸球实验过程和结果：
学生1：每次抽1个球，不放回，抽20次，得到9个红球，估计袋子中红球比例为0.45.
学生2：一次性抽取20个球，得到8个红球，估计袋子中红球比例为0.4.
问题1：一次性摸20个球，和逐次不放回摸20次，这些摸球方式本质上有区别吗？
【学生活动】没有区别.
【教师总结】那么我们把这一类摸球方式都归为无放回摸球.
【设计意图】逐个不放回摸出
n个球和一次性摸出
n个球，对应
X的分布列是相同的，这个问题在前面的课时中已经证明过，因此这里做一个简单说明，把学生的方法归类，将一类问题都归为无放回摸球方式.
问题2：刚刚我们发现无放回摸球得到的红球个数可能是8，也有可能是9，所以摸到的红球个数是一个随机变量
X，那么它服从什么分布呢？怎么判断呢？
【学生活动】需要写出分布列来判断.
问题3：一般地，假设共有
N个球，其中
M个红球，
N-
M个黄球，现从中随机摸出
n个球，用
X表示摸出的红球个数，请写出随机变量
X的分布列.
【学生活动】
学生1：
学生2：这里
k的范围有问题.
k的最大值取决于
n与
M的关系，若
M比
n大，
k最大为
n，若
M比
n小，
k最大是
M.
k的最小值取决于
n与
N-
M的关系，若取出的球
n比剩下的
N-
M个白球还多，那
k最小能取
n-(
N-
M)个红球，若取出的球
n小于
N-
M，那
k最小能取0个红球.
令
，则
【设计意图】关于分布列中
k的取值范围
，有学生不假思索地认为
k是从
，在从具体实例到一般问题的抽象过程中，还缺乏对一般性问题的综合分析和分类讨论能力.这里设计了一个认知冲突，在学生1提出了错误的范围之后，让其他学生自主思考，发现范围存在的问题，并引导学生借助图示、通过特殊例子来归纳得出正确的范围，让范围的产生更加合理和自然，也培养了学生形成缜密的数学推理能力.
【教师总结】这个分布列和我们之前学过的两点分布、二项分布都不同，如果一个随机变量的分布列有这样的形式，我们就称这个随机变量
X服从超几何分布，这就是我们今天要学习的分布列。
超几何分布定义：
一般地，假设共有
N个球，其中有
M个红球，
N-M个黄球。从
N个球中随机抽取
n个
（不放回），用
X表示抽取的
n个球中的红球个数，则随机变量
X的分布列为：
如果随机变量
X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量
X服从超几何分布，
记为
【设计意图】超几何分布是一个特殊的古典概率模型，通过发现无放回摸球摸到红球个数是一个随机变量，从而描述出一般情况下超几何分布的特征，构建超几何分布模型，这个过程学生从特殊到一般，从生活实际到数学抽象，充分培养学生的数学推理能力、数学抽象素养和数学建模素养.
问题4：我们刚刚通过无放回摸球实验发现了随机变量X服从超几何分布，那还有其他摸球方式吗？
【学生活动】可以采取逐次有放回摸球，结果是红球9个，估计袋子中红球个数一共45个，红球比例为0.45.
问题5：一般地，假设共有
N个球，其中
M个红球，
N-
M个黄球，现从中随机摸出
n个球
（有放回），用
X表示摸出的红球个数，请写出随机变量
X的分布列
【学生活动】设
，
【教师总结】有放回摸球实验服从
n重伯努利试验特征，因此
X服从二项分布，即
.
【设计意图】通过有放回摸球方式引出上节课学过的二项分布，学生借助有放回和无放回抽样的对比，开始初步建立二项分布和超几何分布的联系与区别.
问题6：无放回摸球和有放回摸球，你认为哪种抽样方法更好呢？
【学生活动】
学生1：无放回摸球更好.因为有放回摸球容易得到“极端样本”，可能20个球中都是红球或者黄球，但是无放回摸球不易出现这样的“极端样本”.
学生2：一样好，因为不管有放回还是无放回，每次摸到红球的概率是一样的.
学生3：一次实验还无法评判，实验次数太少.
【教师总结】确实，我们如果只按这一次实验数据估计结果，可能不太好评判，需要做更多的重复实验得到更多数据进行估计和判断.
【设计意图】提出本节课要解决的主线问题：有放回抽样和无放回抽样，哪个更好？在仅做完一次摸球实验，学生对这个问题还是比较困惑，因为实验次数过少，只凭一组数据目前还无法评判哪个更好，从而引出做多次实验的必要性.
【学生活动】第二次摸球实验
实验要求：每组交换摸球方法（如第一次摸球是采用有放回摸球，则本次摸球采用无放回）.
有放回摸球：每次从袋子中随机取出一个球，记录颜色，再放回袋子中并摇匀，一共摸20个球，记录摸到红球的频数；
无放回摸球：每次从袋子中随机取出一个球，记录颜色，不放回袋子，摇匀袋子后再摸一个球，一共摸20个（也可以一次性摸出20个球），记录摸到红球的频数；
【设计意图】在前面已经提出了超几何分布与二项分布概念后，本次实验明确要求学生用哪种摸球方式（交换方法），目的是得到组数相同的有放回摸球和无放回摸球数据，方便后续对比和数据统计.
【师生互动】
学生汇报数据，教师将数据填在Excel表格中.
问题7：现在我们得到了21组有放回和21组无放回摸球的数据，如何估计红球的比例呢？
【学生活动】计算样本均值.
有放回摸球得到的红球样本均值约为：8.24，估计袋子中红球比例约为0.42.
无放回摸球得到的红球样本均值约为：7.95，估计袋子中红球比例约为0.40.
教师公布真实结果：袋子中一共有红球40个，黄球60个，红球比例为0.4.
【教师总结】看来有放回和无放回两种抽样方式得到的样本均值都比较接近8，并且两个抽样方式得到的均值也很接近。通过前面的学习，我们已经知道随机变量的期望是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的期望波动.随着重复试验次数的增加，样本均值一般会稳定在随机变量的期望附近.比如有放回抽样的随机变量服从二项分布，它的期望是
，是符合我们的预期的，那是不是超几何分布的期望也是8？两个分布的期望会不会相同？
【设计意图】得到多组数据之后，学生很自然地想到计算样本均值来估计红球比例，引出研究两种抽样对应的随机变量的期望的必要性.同时，通过观察得到的数据，发现有放回摸球和无放回摸球得到的样本均值很接近，分析样本均值与随机变量的期望的关系，合理猜想是否二项分布和超几何分布的期望是相同的.
问题8：服从超几何分布的随机变量的数学期望是什么？
【学生活动】
学生大胆猜测：每次摸到红球概率是
，我们现在抽了
n次，因此
.
下面用严格的数学论证验证自己的猜想.
其中，利用到两个组合数恒等式：
①
②
（范德蒙恒等式）
（证明：
）的展开式中，
系数相等.）
【教师总结】通过严格论证推导，我们发现二项分布和超几何分布的期望是相同的，都是
.
【设计意图】推导超几何分布的期望是本节课的难点，这里采用先直观猜想，再计算验证的方式进行探究，从而降低直接推导公式的难度.同时这个过程给足学生思考时间，充分经历这个探究过程，以及通过对两个组合数恒等式的分析，来引导学生推导出期望公式，培养学生逻辑推理、数学运算等素养.
问题9：现在我们发现两个分布的期望是一样的，那是不是就能判断两种方法没有区别呢？
【学生活动】如果我们能通过多次抽样，用样本均值来估计总体，那么两个抽样方法，有放回和无放回效果是一样的。
问题10：在实际情况中，由于人力、物力、时间等限制因素，我们只能做一次抽样调查，就不会重复多次试验算均值估计总体。那这时候两种抽样方式还是不是一样好呢？能否给出一个评判哪个抽样方式更好的标准.
【学生活动】学生通过对比课堂中得到的21组有放回、无放回摸球的数据，认为无放回更好.因为无放回摸球得到的红球个数在均值8附近的更多.而简单随机抽样本身就是有误差的，只要实验结果在我们能接受的误差范围内即可.学生认为如果摸到红球个数在6-10之间的就是“好的估计结果”，而哪种摸球方法得到“好的估计结果”更多，就可以判断该抽样方法得到的结果更可靠.
【教师总结】
我们可以用自己的标准定义“好的估计结果”——估计结果与真实结果的误差小于等于0.1.如果某个抽样方法能让抽样估计结果与真实结果的误差小于等于0.1的概率更大，我们认为这样的抽样方式更优.
比如本例，按我们定义的标准，
是“
好的估计结果”，那么只要让
，即
X落在
这个区间内发生的概率越大，这个抽样方式就越好.
【师生互动】在我们刚刚得到的数据中，有放回抽样中，落在
的有_14__个，无放回中
的有__20__个.所以这样看，我们会认为无放回得到的估计结果更可靠。
【设计意图】当得到两个分布的期望一样之后，学生对主线问题有了第一个结论，从计算均值的角度来看，两个抽样方式是一样好的.但是从实际生活考虑，又是没有现实意义的，因为大部分抽样调查只有一次机会，所以学生再次产生认知冲突和困惑，那应该用什么来评判两种抽样方式哪个更好？这也是学生第二次思考这个问题，重新从得到的21组数据中寻找标准，而此时学生已经知道20个球中我们期望得到的应该是8个红球，但简单随机抽样产生误差是正常的，教师通过引导，让学生归纳得出“好的估计结果”的标准，从而产生判断抽样方式更好的标准是得到“好的估计结果”的概率更大.这个环节是本节课的难点和亮点，也是解决主线问题的重点.
【师生互动】
Excel模拟1000次有放回/无放回摸球实验
-
有放回摸球——二项分布
在Excel中利用函数RandBetween(1,100)，产生有重复的1-100之间的随机整数.
定义1-40为红球，41-100为黄球.
现随机生成20个1-100之间的随机整数，来模拟有放回抽取20个球的过程，利用计数函数Countif( )统计这20个数中落在1-40之间的数的个数，这是一次有放回摸球实验.
接下来重复1000次该实验，得到结果如下：
统计出现每个估计结果的次数，如下：
统计在1000次有放回摸球实验中，得到结果落在
的次数为
752次.
2.无放回摸球——超几何分布
无放回摸球对应的实验需要产生不重复的随机整数，由于Excel中没有直接生成无重复整数的函数，因此这里做如下调整来生成无重复随机整数：
先用函数Rand()产生100个(0,1)之间的随机数，再用排序函数：Rank()，将100个随机数排序，从而生成1-100无重复的整数，定义1-40为红球，41-100为黄球.
统计前面20个随机整数在1-40之间出现的个数，来模拟随机无放回摸出20个球中红球的个数.重复1000次实验，得到结果如下：
统计出现每个估计结果的次数，如下：
统计在1000次无放回摸球实验中，得到结果落在
的次数为
810次.
【教师总结】从大量实验数据我们可以发现，无放回摸球得到的好的估计结果更多，从实验结果我们可以认为无放回抽样更好.
【设计意图】由于课堂时间有限，凭借21组实验数据也不足以得出结论哪种抽样方法更好，因此这个环节通过信息技术模拟大量有放回和无放回抽样实验，将红球与黄球与数字对应，有放回和无放回与产生的整数有无重复相对应，让学生亲历实验过程，沉浸式体验有放回摸球和无放回摸球的计算机建模过程，感受数学学习与信息技术的融合，是本节课的亮点之一.
问题11：分别就有放回摸球和无放回摸球，用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.1的概率.
【学生活动】现在把这两种分布列放在一起，利用统计软件，计算出两个分布的概率值（精确到0.00001），
学生计算得到：
所以我们可以认为，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些.
【教师总结】今天我们通过直观猜测，实验探究、严格论证解决了有放回和无放回抽样哪个方式更好这一问题.并学习了一个新的随机变量的分布——超几何分布.
【设计意图】前面的环节都是在直观想象和实验观察的基础上对哪个抽样方法更好这个问题作出猜测，这个环节通过计算落在好的估计结果区间内的概率，严格论证了有放回和无放回抽样哪个更好。整节课学生经历直观猜测、实验探究、严格论证，成功解决了本节课的主线问题，也经历了一次概率决策的过程.同时这个过程学习了超几何分布，让学生对于如何选择（识别）概率模型，来解决实际问题有了深刻的理解.
【师生互动】课前老师也让同学们对超几何分布做了预习，我们来看看他们的自主探究和发现.
【学生活动】
小组1汇报：超几何分布与二项分布的联系
学生：刚刚我们通过计算发现了，无放回摸球得到好的估计的概率更大，但是仔细比较两个概率，他们相差不大，我们再把这两个概率分布的柱状图画出来，观察：
（1）超几何分布更集中在期望附近
（2）两个分布整体还是比较相似的，那什么时候两个分布可以近似呢？
在我们实际的抽样调查中，比如工厂大批量产品中检查产品的次品率，其实并不需要考虑有无放回，直观上差异不大，因为对于不放回抽样，若
N充分大，
n远远小于
N时，各次抽样结果彼此影响很小，可近似认为是独立的。
因此我们小组猜测：
当N远大于n时，超几何分布可以用二项分布近似.
这是我们通过直观感受得到的猜想，下面我们用严格的数学语言来论证刚刚的猜想。
代数严格验证：
令
，则
所以
借助GeoGebra软件，在保证
M与
N的比例不变时，当
N非常大，
n远小于
N时，超几何分布可近似为二项分布.
所以我们小组得出结论：
所以当样本大小只占总体的一个很小的比例时，常把不放回抽样的结果当做放回抽样去处理.因为放回抽样的理论更简单。
【设计意图】这个环节由学生通过课前的合作学习来完成，因为联系和对比二项分布与超几何分布的联系和区别，也是本节课内容的一个难点，由于课堂时间有限，无法在课堂内有充分的时间探究.而学生通过课前的资料翻阅，合作交流，联系生活实际产生直观猜想（当样本大小只占总体的一个很小的比例时，超几何分布近似为二项分布），并借助信息技术得到猜测，再利用严格的数学论证验证自己的猜想，也是一个完整的数学探究的过程，全方位提升学生的数学抽象、建模、逻辑推理、数学运算素养.
小组汇报2：超几何分布名字的由来
上节课我们学习了二项分布，知道它与二项展开的系数一致.因此我们小组对“超几何分布”的名字由来也产生了兴趣.
通过查找高等数学资料，我们发现了两个数列：
几何数列
：后一项与前一项之比为常数的数列，即
（等比数列）.
超几何数列
：后一项与前一项之比为关于n的有理函数，
即存在多项式
，使得
.
例：1,2,4,8,16,32，…，是一个首项为1，公比为2的几何数列，通项为
.
1,6,42,336,3024，…，是一个首项为1，公比为
的超几何数列，
即
，累乘得通项为
.
因此我们认为
“几何”理解为数列中的任一项是其前后两项的几何平均数，即
.
下面我们验证了“超几何分布”与超几何数列的关系：
超几何分布：
,设规定对应的数列为
，其中
，
设数列的首项为
，公比为
，
因此“超几何分布”的概率分布通项是一个关于
k的多项式的超几何数列.
除此之外，我们还发现了满足几何数列的几何分布：
几何分布：在n此伯努利试验中，试验k此才得到第一次成功的几率.即前k-1次皆失败，第k次成功的概率.
也希望有兴趣的同学和我们一起继续探究其他的离散型随机变量的分布，比如帕斯卡分布、泊松分布等等.
【设计意图】学生对于“超几何分布”名字的好奇产生了研究兴趣和研究方向，通过翻阅高等数学资料，合理解释了“几何”和“超几何”的含义，横向铺开，纵向延伸，完善了对“超几何分布”定义的认识，也渗透了数学文化.
【师生互动】最后我们来比较下今天所学的超几何分布与二项分布，他们的联系和区别分别是什么？
|
摸球方式 |
X的分布 |
 |
 |
|
有放回摸球 |
二项分布 |
 |
 |
|
不放回摸球 |
超几何分布 |
|
 |
-
两个分布的随机变量的期望相等.
-
当N远大于n时，超几何分布可近似为二项分布.
-
超几何分布的随机变量的方差请大家课后自行推导.
【教师总结】我们这节课利用概率知识对平时统计中常见的现象作出了解释。正如美国数学家波利亚说的，“数学在用最不显然的方式证明最显然的事情.”
希望同学们能够体会到数学的魅力.
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
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