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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《探究对勾函数的图象与性质》浙江—姚
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浙江—姚才镇—设计—探究对勾函数的图象与性质
探究函数 的图象与性质
天台中学 姚才镇
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内容
函数 的图象和性质.
本单元用时1课时，探究函数 的图象与性质.
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内容解析
本节取自新版人教A版普通高中数学教科书必修第一册第三章中的“探究与发现”. 数学探究是在学生主动参与的前提下，根据自己的猜想和假设，运用数学方法对问题进行研究，在研究过程中获得能力、提升素养、发展思维、构建知识的一种学习方式. 本单元内容是学生进入高中阶段后的第一次数学探究活动的题材，在教材中只是直接呈现了紧密相连、逐层递进的7个探究问题，这为教学提供了广阔的创意空间. 函数 是两个幂函数的 “函数和”， 它是一个典型的函数模型，它的图象与性质在现实生活中有
着广泛的应用.
新版教材设置“探究与发现”栏目，是实现数学建模和数学探究活动的一个窗口，而选择“函数 的图象和性质”这个素材又契合了函数的主题. 这部分内容上承函数的的图象、函数的性质、幂函数等，但不是简单的重复，能有效补充以前学生对相关内容认识的不足，比如突破只由函数图象观察性质的模式，采用性质到图象，再由图象到性质相结合的研究模式.
这样的探究课可以培养数学整体性意识，培养创新性思维，提高发现问题与提出问题，分析问题与解决问题的能力，教会学生探究的方法，并体会探究的乐趣，逐步养成自我探究的的习惯，进而提高探究的能力.
3.教学重点
探究函数 的图象和性质，研究一个函数的一般方法.
二、教学目标及其解析
1. 目标
(1) 通过对函数 与 图象与性质的回顾，归纳研究函数图象的一般方法，体会数形结合的思想.
(2) 根据研究函数性质的一般步骤，归纳探究函数 的性质，通过证明结论，发展数学推理能力.
(3) 通过对函数 图象与性质的探究，体会探究活动的价值，合作交流的意义，进一步提高逻辑推理能力，发展直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养.
2．目标解析
达成上述目标的标志是：
(1) 能从函数解析式出发研究函数的性质，结合性质能猜想出函数 图象的大致形状.
(2) 能用描点法画函数 的草图，能提出改进画法的可操作性方法，比如多选取点，能借助原来函数图象的特征进行平移等，通过合作探究能直观感知函数的图象变化趋势，并能用代数运算进行证明.
(3) 能积累研究函数图象和性质的方法，能自主发现问题和提出问题，能深刻体会化归思想和数形结合思想.
三、学生学情分析
在初中阶段，学生已经了解函数是解决实际问题的重要模型，到高中，学生已经学习了函数的概念和性质，还有幂函数和基本不等式等，能利用函数单调性的定义等来研究函数的单调性，也已经会研究函数的奇偶性，最值等，具备了进一步研究函数 的图象与性质的能力. 在此基础上，学生初步形成了“图象视角”和“运算视角”分析数学问题的习惯.
学生对于两个或多个函数线性相加所得的新函数接触不多，理解不足，表现为对这样的新函数的图象和性质的探究意识不强，自主探究能力不高，大部分同学缺乏自主发现问题和提出问题的意识.
四、教学策略分析
本节课采用实际问题为背景来引入探究主题，带领学生体会研究对勾函数的必要性.应用问题探究式教学方式，提出具有启发性的问题，引导学生有逻辑、有脉络地进行探究学习，让学生充分参与获取知识的实践活动，特别是对函数 图象的探究，引导学生深度参与探究的过程.
基于“几何思想”视角，根据高一学生的认知基础，引导学生得到函数的图象，利用图象特征研究新函数，理解新函数的基本性质，寻找解决问题的思路.基于“运算思想”视角，引导学生利用运算思想研究并严格证明新函数的单调性、奇偶性，利用基本不等式求最值和确定单调性的分界点.基于 “极限思想”视角，结合函数 和 的图象变化趋势说明函数 的图象变化趋势，引导学生用无穷变化的眼光去看问题. 同时采用了理论推导和信息技术相结合的手段，由函数图象无穷逼近某条直线成功引出渐近线概念，帮助学生理解函数的变化趋势，帮助学生从有限认识无限，从不变认识变，从直线形认识曲线形，从近似认识精确，拓展了解决问题的途径.
教学难点：研究一个新函数的视角，单调性“分界点”的确定，函数的图象及变化趋势分析.
五、教学过程设计
环节一 创设情境，提出问题
课前播放小视频，让学生了解最近这段时间我国很多地方缺电，尤其是东北地区，国家电力部门打算开发太阳能，并提出问题
问题1 国家电力集团为了开发太阳能，计划在西部平坦的戈壁上建造一个占地面积达 1 km
2 的长方形太阳能电厂.(由于受到某种客观条件限制，需要修建围墙，并且长方形围墙的长在1.5km到2km之间)为了缩减成本，要怎样设计才能使长方形的围墙的长与宽之和最短？
师生活动 学生独立思考、作答，再全班交流. 引出函数
.
追问 1 对于函数 ， 当 取什么值时， 有最小值？你能猜出它是多少吗？
师生活动 学生独立思考、作答，再全班交流，学生一开始可能会回答 时， 有最小值，经过思考发现这个函数在 处没有定义，转而引导学生思考函数更深入的性质. 学生可能猜出在 处有最小值，但是不太清楚为什么，教师趁机引出研究的必要性，提示学生，不仅仅要解决这个实际问题，还有研究函数 在整个定义域上是怎样的，引出本节课的课题.
[设计意图] 从实际问题引入函数模型，引起学生对研究函数 的兴趣，激发学生探究欲望. 先让学生猜想函数的最小值问题，在给出答案的同时实际上已经利用了函数 在 上的1个性质，引发学生进一步思考，如果提出这个函数更多问题，就必须研究函数更多的性质，把这个函数的整体性质研究清楚，说明研究的必要性.
环节二 探究思考，形成新知
问题2 面对一个新函数 ，你认为可以从哪些方面研究这个函数？
师生活动 学生独立思考、作答，再全班交流.教师可以适时引导：
由于函数描述的是两个变量之间的对应关系，所以我们通常从形和数两个方面去研
究函数的图象与性质.具体可以从定义域，值域，单调性，奇偶性，最值，函数图象等方面对该新函数进行研究，明确研究目标.
问题3 你认为应该如何研究函数 ？
师生活动 先分小组合作探究，再由小组代表到讲台分享，分享后师生共同总结.
预设1 ：第一小组学生代表:先画出函数的图象，再利用图象和解析式，讨论函数的值域，单调性，奇偶性等问题.
师生总结 在初中，我们学习一类新的函数，一般都从函数的图象出发研究函数的性质，包括我们刚学习的幂函数，我们也是这样研究的. 采用这种方法研究的前提是函数的图象可以通过列表，描点，连线画出来，而且是比较容易选取点.
[
设计意图] 通过代表学生想法的呈现，让同学们都知道研究一个函数的常规途径是先画图象，再研究性质，同时指出这种方法需要依赖图象，对图象的要求较高，前提是能够精准画图.
预设2： 第二小组学生代表: 我们可以通过分析函数的解析式，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理证明这种猜想的正确性. 比如先研究函数的定义域，奇偶性，单调性，值域等性质，结合性质再研究函数的图象.
师生总结 如果我们知道函数的奇偶性，画图时就只需要作出图象的一部分，利用对称性就可以画出另外部分，这为研究图象提供很大的方便.再结合单调性等性质就可以确定函数的大致形状. 但是在研究单调性上可能会碰到困难，用定义法判断单调性时，需要知道分界点，这个分界点不太清楚.
[
设计意图] 通过学生提出从性质出发研究函数图象，这是一种新的研究模式，突破常规研究，通过对函数性质的研究，可以更加准确地画出函数的图象，进而可以研究其他性质，同时也指出这种研究路径在研究单调性等性质时也有可能会碰到困难，为下面探究指明方向，明确探究任务.
追问1 以上小组的研究路径能否结合一下？
师生活动 可以采用结合的形式，基于“几何思想”和“代数运算”两个视角，把不同的研究路径结合起来使用.
[
设计意图] 让学生体会到可以从数和形两个方面对函数同时进行研究. 引导学生选择合理的探究路径: 先从解析式出发，研究函数 的定义域和奇偶性，再画函数的图象，通过作图，探究函数的单调性和图象变化趋势.
环节三 探索 的图象与性质
问题4 请尝试猜想函数 具有哪些性质？哪些性质你能够证明，哪些性质你暂时还无法证明？
师生活动 学生分组讨论，相互交流，教师必要时可引导：先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理证明这种猜想的正确性，这是研究函数性质的一种常用的方法.从函数解析式出发， 分析出函数的定义域为 ，由函数 和 都为奇函数，先猜想函数 为奇函数，然后证明.要猜想单调性，一般的方法是通过观察函数的图象，而函数图象的变化趋势还不清楚，引导学生先去探究函数的图象，再研究函数的单调性.
[
设计意图] 在问题3的基础上，追问学生先研究函数的哪些性质，在得到函数的定义域和奇函数两个性质后，试着去猜想函数的单调性，但是没有图象，不能直观的猜出，数缺形时少直观，从而引导学生先去作出函数的草图.
问题5 你能画出函数 的图象吗？
师生活动 学生在作图纸上画图，教师课堂巡视帮助有困难的学生，再进行班级交流互动.教师将3张学生作出的图投影展示.
学生观察，有了发现后进行发言，讨论，最后师生一起进行总结，并结合图象猜想函数的性质，并给出证明，这个过程中，可以同时对函数性质和函数图象进行探究.
追问1 在画函数 图象的过程中遇到什么困难？你们是怎样解决的？
师生活动 列表—描点—连线环节中，点的选择，怎么选择以便作图？在列表环节中，自变量取1，2，3，4是自然能想到的，如何选取区间 里的点呢？
第一个想到取 ，因为 ，第二个想到取 ，因为 继续以上过程就可以了.
师生共同探究，得到下表：
事实上， ， ，根据这个原理，在区间 里就可以取到想要的点来方便画图，还能做到多选取几点，使得画出来的图象比较准确.
[
设计意图] 利用函数解析式特征，选取特殊的点，这样既可以避开盲目选点，也可以更加精准地作图函数的图象，本质上是借助数的分析，基于运算的视角研究问题.
追问2 如果不列表你能画出函数的图象吗？如何利用函数 与 的图象来探究新函数 的图象？
师生活动 学生独立完成，再由教师通过信息技术演示作图过程，呈现作图结果.
在 轴上任取一点 ，过点 作 轴的垂线，与函数 与 的图象的交点分别记作 ，把线段 平移至 ，则点 的纵坐标就是 ，这样，对每一个点 ，就可以画出点 ，由点 构成的轨迹就是函数 的图象. 事实上，在这个过程中，我们很好地借助了原来两个函数 和 的图象.
[
设计意图] 一般而言，学生会把函数图象简单化为描点作图，通过追问2，借助原来两个函数的图象来画出新函数的图象，改变函数图象的作图方式. 通过不同途径作图，可以增强学生对知识联系性的认识，从中也能深刻体会化归这种数学思想.
追问3 我们已经得到函数的图象，根据图象你怎样得到函数的其他性质呢？
师生活动 先由学生发言，然后进行全班交流，教师引导学生观察图象，自主进行探究，先猜想出函数的单调性和值域，并能用代数运算说明理由.教师在单调性的分界点进行追问，分界点为什么是1 ？可以利用基本不等式和单调性定义来说明.
方法一：由基本不等式想到
当 时， ，当且仅当 ，即 时取得等号
方法二：可以用单调性定义来证明 在区间 上单调递减
，且 ，有
由 得， .
又由 得， .
于是
所以 ，即
所以 在区间 上单调递减.
[
设计意图] 学生已经准确地画出函数的图象，结合图象能猜想出函数的单调性，但是还需要证明，引导学生基于运算的角度去证明猜想，体会数学结合的数学思想.采用先猜再证的探究模式，符合学生的认知规律，可以培养学生发现问题和提出问题的能力，也有效突破了分界点这一难点.
追问4 你能利用函数 和函数 的图象变化趋势说明函数 的变
化趋势吗？
师生活动 学生观察图象，合作交流，学生代表发言，得出以下结论：
在第一象限， 函数 的图象在 和 图象的上方， 当 时， ，函数 中， 起主导作用，图象无限接近直线 ；
当 时， ，函数 中， 起主导作用，图象无限接近
y轴.
事实上，这里体现了直线 和
y轴为什么是函数的渐近线. 适当的时候提下渐近线的概念：曲线上一点
M沿曲线无限远离原点或无限接近间断点时，如果
M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线.
同时师生一起总结函数的图象与性质，提出画图象要抓住几个关键，尤其是先画渐近线，然后完成性质小结，教师点评并板书单调性、值域、渐近线等内容.
[
设计意图] 整体感知函数的变化趋势，基于极限的思想看问题. 可以提下渐近线的概
念，并引导学生借助数的分析，说明形的变化，进一步体会数形结合的思想，同时培养学生分析问题和解决问题的能力，让学生在探究过程中体验成功的喜悦.
环节四 学以致用，类比探究
问题6 本节课的研究对象是从实际问题中抽象得到，也可看成是两个最简单的幂函数相加得到的函数，类似地，你能提出新的函数吗？如何研究它的性质，并较为准确地作出这个新函数的图象.
师生活动 分小组合作探究，并写出新函数的性质，画出新函数的图象，可让学生板书，然后全班交流，教师也可以通过投屏多展示几位学生的探究结果.
[
设计意图] 在经历了函数 的图象和性质的探究过程后，学生已经掌握了研究一个新函数的方法，检测学生学习掌握情况. 通过设置开放性问题，让学生积极参与探究，能自主提出问题和分析问题，更加明晰研究一个新函数的研究路径和研究方法.
环节五 课堂小结，形成结构
问题7 回顾本节课的学习过程，回答下列问题：
（1）结合本节课的学习过程，你对函数图象和性质的研究内容和方法有什么体会？
（2）你有什么新的发现?
师生活动 先由学生独立思考、作答，再进行全班交流，引导学生提出新的问题，教师和学生互动，点评后进行总结.
在探究过程中，很好地借助了原来两个函数 和 解析式以及图象的特征. 要研究一个新的函数，通常转化到已经学过的函数上来，体现了把未知转化为已知的化归思想.回顾探究过程，先从解析式出发，研究了函数 的定义域和奇偶性，再结合定义域和奇偶性去画函数的图象，在选取点时，经过分析，借助解析式特征去选点，可以方便、有效地画出函数的图象，还可以分析图象的变化趋势，在图象画出来后，我们借助函数的图象猜想出函数的单调性和值域，通过图象可以得到函数的其他性质，根据基本不等式或者单调性定义给出了严谨的证明.在这个过程中，充分体现了数形结合的思想方法，正如华罗庚说的，数缺形时少直观，形缺数时难入微.
[
设计意图] 从结构化，联系性等角度归纳总结本节探究课的学习内容，进一步认识研究一个新函数的研究内容、过程和方法，突出新函数和原来函数的内在关联，渗透化归思想，强调基于数和形两个角度探究函数的图象和性质.
环节六 课堂教学目标检测
题1 求函数 在区间 上的值域问题.
变式：求函数 在区间 上的值域问题.
题2 结合今天所学内容，你能探究以下函数的图象和性质吗？
（1） （2）
题3 思考对于一个函数，如 ＝ ____（+）_____,（括号中可以填加，减，乘，除），请同学们在横线处填入两个关于
x 的表达式得到一个新的函数 ，如何研究它的性质，并较为准确地作出这个新函数的图象.
[
设计意图] 题1检测对勾函数性质的掌握情况，与引入的实际问题又紧密关联，通过此问题的解决，就可以解决引入中何时有最小值的问题，题2和题3检测研究一个新函数的方法，引导学生能发现问题和提出问题.
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
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