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视频标签：反比例函数
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视频课题：北师大版初中数学九年级上册《反比例函数复习与回顾》安徽省 - 宿州
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北师大版初中数学九年级上册《反比例函数复习与回顾》安徽省 - 宿州
第六章 反比例函数
回顾与思考
一、教学目标 (一)知识与能力
1.经历抽象反比例函数概念的过程，理解反比例函数的概念. 2.掌握反比例函数的主要性质.
3.会从反比例函数的图象中获取信息，能运用反比例函数的概念、图象和性质解决实际问题.
(二)过程与方法
1.熟练掌握本章的整体知识结构，培养学生的概括和归纳能力，形成知识体系.
2.在经历抽象反比例函数概念的过程中，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，进一步培养学生的抽象思维能力
3.经历反比例函数的图象及其性质的探索过程，在合作与交流中发展学生的合作意识和交流能力.
4.能根据所给信息确定反比例函数的表达式、会作反比例函数的图象，并能运用数形结合思想解决与反比例函数相关的数学问题和实际应用问题.
(三)情感与价值观
通过本章内容的回顾与思考，发展学生的数学应用能力，经历函数图象信息的识别与应用过程，发展学生的形象思维能力，激发学生学习的热情，培养学生学习数学的兴趣。
2
二、教学重点
本章知识的网络结构体系. 反比例函数的概念.
会作反比例函数的图象，并掌握其性质. 反比例函数的相关应用. 三、教学难点
利用反比例函数的图像，探索反比例函数的主要性质. 反比例函数的相关应用. 四、教学方法 自主探究、合作交流. 五、教学过程
第一环节：复习提问，引人入胜 活动内容：
本章的内容已全部学完，请大家先回忆一下，本章学习了哪些主要内容?
活动目的：提出问题，激发学生的思考和回顾，明确本节课的学习任务。
学生回答预设：反比例函数的定义；反比例函数的图象及性质；反比例函数的应用。
教师引入：下面我们就来系统全面地对本章内容进行复习。 第二环节：知识串联，形成体系 活动内容：
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（一）本章知识结构
引导学生构造本章知识结构图。 (可课前让学生自己制作本章知识的内容框架或思维导图，上课进行展示和交流)
本章内容框架
活动效果：学生可以根据以上内容框架，对自己整理的知识框架进行补充和整理，完善自己的知识体系，并能用自己的语言归纳总结本章内容.
注意事项：1. 应以学生自主总结和归纳为主，教师要在适时适当的给予指导；
2.对于学生个性化的结构框架的整理设计，只要合理，老师都应给予肯定。
(二)举出现实生活中有关反比例函数的实例，并归纳出反比例函数概念.
学生回答预设：
例：当三角形的面积是16 cm2时，它的底边a(cm)是这个底边上的高h(cm)的函数.
4
解：a=
h
32. 在上式中，任意给定h一个值，相应地就确定了一个a的值.因此a是h的函数。所以一般地，如果两变量x，y之间的关系可以表示成y=x
k
(k是常数，k≠0)的形式,那么称y是 x的反比例函数.
（三）反比例函数图象的性质有（课件演示）： 1.形状：反比例函数的图象是两支双曲线.
2.位置：当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限.
3.增减性：当k>0时.在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限，y随x的增大而增大.
4.因为在y=x
k (k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.
5.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x、轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1=S2
6.对称性： 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点.
活动目的：引导学生对本章的所学的基础知识进行系统的归纳和整理，使学生明确各个知识点之间的联系， 将基础知识网络化，形成本章知识的框架结构体系。
第三环节：例题精练，巩固新知 活动内容：
例1.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有哪些?在其图象所在
5
象限内，y的值随x值的增大而增大的是哪些 ( )
(1)y=
x31 (2)y=x
2.0 (3)y= x10 (4)y=-x1007
例2.在函数y=x
3
的图象上任取一点P，过P分别作x轴、y轴的平行
线，与坐标轴围成的矩形面积是多少?
分析：根据反比例函数图象的性质，当k＞0时，图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，正好相反，但
在y=x31
中，形式虽然和反比例函数的形式不相同，但可以化成y=x
31
的形
式。
答案：1.图象位于第一、三象限的有(1)(2).在其图象所在象限内，y的值随x值的增大而增大的有(3)(4).
2. S=｜k｜=3.
例3.如图，已知反比例函数y=的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于点A（1，4）和点B（n，﹣2）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，求出m的值，从而确定反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数解析式求出B
6
的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，即可求出a，b的值，从而确定一次函数的解析式；
（2）根据函数的图象即可得出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．
解答： 解：（1）∵反比例函数y=的图象过点A（1，4）， ∴4=，即m=4，
∴反比例函数的解析式为：y=．
∵反比例函数y=的图象过点B（n，﹣2）， ∴﹣2=， 解得：n=﹣2 ∴B（﹣2，﹣2）．
∵一次函数y=ax+b（k≠0）的图象过点A（1，4）和点B（﹣2，﹣2）， ∴， 解得
．
∴一次函数的解析式为：y=2x+2；
（2）由图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜1时，一次函数的值小于反比例函数的值．
点评： 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式及利用图象比较函数值的大小．解题的关键是：确定交点的坐标．
第四环节：牛刀小试，开放训练
1.对于y=-x
2
，当x<0时，y____0，这部分图象在第_____象限.
7
2.函数y=x
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的图象在第____象限内，在每一个象限内，y随x的增大而______.
3.函数y=ax-a 与
在同一直角坐标系中的图象可能是( ).
4.
已知甲,乙两地相距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地.如果汽车
每小时耗油量为aL,那么从甲地到乙地的总耗油量y(L)与汽车的行驶速度v(km/h)的函数图象大致是( ).
5.一定质量的CO2，当体积v=5米3时.它的密度ρ=1.98千克／米3，求(1)ρ与v的函数关系式；(2)当v=9米3时，CO2的密度.
答案：1. < 二、四 2.一、三 减小 3.D 4.C
5.设CO2的质量为m千克，将v=5米3，ρ=1.98千克／米3代入公式ρ=
v
m
中，得m=9.9千克. 0ax
a
y
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故所求ρ与v间的函数关系式为ρ=v
9.9. (2)当v=9米3时，ρ=
v
9
.9=1.1(千克／米3)。 活动目的：使学生运用反比例函数的概念、图象和主要性质熟练的解决实际问题，提高学生获取信息、分析问题、解决问题的能力。
注意事项：在本环节教学中，教师可以引导学生首先进行独立思考，避免替代思维，然后可以通过小组讨论、合作交流等形式，启发学生对问题进行探究，分析，完善解题思路，进而感悟和总结解决此类问题的一般方法和规律。
第四环节：链接中考 轻松备战
1.（2015•曲靖第7题3分）如图，双曲线y=与直线y=﹣x交于A、B两点，且A（﹣2，m），则点B的坐标是（ ）
A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（，﹣1） D．（﹣1，） 考点：反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析：根据自变量的值，可得相应的函数值，根据待定系数法，可得反比例函数的解析式，根据解方程组，可得答案．
解答：解：当x=﹣2时，y=﹣×（﹣2）=1，即A（﹣2，1）． 将A点坐标代入y=，得k=﹣2×1=﹣2， 反比例函数的解析式为y=
，
9
联立双曲线、直线，得，
解得，，
B（2，﹣1）． 故选：A．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求双曲线函数的解析式，又利用解方程组求图象的交点．
2.（2015•安徽, 第21题12分）如图，已知反比例函数y=与一次
函数y=k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m）． （1）求k1、k2、b的值； （2）求△AOB的面积；
（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是比例函数y=
图象上的两点，且x1
＜x2，y1＜y2，指出点M、N各位于哪个象限，并简要说明理由．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
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分析：（1）先把A点坐标代入y=
可求得k1=8，则可得到反比例函
数解析式，再把B（﹣4，m）代入反比例函数求得m，得到B点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数解析式即可求得结果；
（2）由（1）知一次函数y=k2x+b的图象与y轴的交点坐标为（0，6），可求S△AOB=×6×2+×6×1=9；
（3）根据反比例函数的性质即可得到结果． 第五环节：交流探讨 收获小结 活动内容：
1. 本节课你收获到了什么？ 2. 你还有哪些困惑？ 3. 解题时要注意什么？
活动目的：使学生通过再次的回顾和总结，完善自己知识框架，进一步培养了学生归纳和交流能力。
第五环节：课后作业
1.梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同学分享。 2.根据本节课的学习心得写一篇学习小结。
3.如图，在平面直角坐标系中，过点M（﹣3，2）分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y=的图象交于A，B两点，则四边形MAOB的面
积为 ．
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考点：反比例函数系数k的几何意义．.
分析：设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），根据反比例函数y=的图象过A，B两点，所以ab=4，cd=4，进而得到S△AOC=|ab|=2，S△BOD=|cd|=2，
S矩形MCDO=3×2=6，根据四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩
形MCDO
，即可解答．
解：如图，
设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d）， ∵反比例函数y=的图象过A，B两点， ∴ab=4，cd=4，
∴S△AOC=|ab|=2，S△BOD=|cd|=2， ∵点M（﹣3，2）， ∴S矩形MCDO=3×2=6，
∴四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO=2+2+6=10， 故答案为：10．
点评：本题主要考查反比例函数的对称性和k的几何意义，根据条件得出S△AOC=|ab|=2，S△BOD=|cd|=2是解题的关键，注意k的几何意义的应用．
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四、板书设计
本章知识结构图
回顾与思考
课堂小结
例题与练习
链接中考
五、教学反思
本节作为本章的复习课，涉及到了中学数学里所有的数学思想方法，包括待定系数法、数形结合法、方程思想等等，这些方法相互渗透，相互融合，构成了函数应用的广泛性，解法的多样性，和思维的创造性。函数的性质、图象及函数与方程、不等式知识的联系和综合应用是命题的热点，尤以探索性题型考查较多，其主要特点是要求学生能够建立数学模型，对相关知识进行综合应用。
反比例函数知识点与练习题
反比例函数问题大致有求函数的表达式，研究函数的图像与性质，解相关综合题等．本章内容虽说不多，但对知识的理解要求较高，其中还蕴含着丰富的数学思想和方法，请同学们务必认真体会，下面对整章内容作一梳理，希望对同学们有所帮助。
一、知识梳理
1．理解反比例函数的概念应注意两点：（1）自变量x的次数是-1，（2）比例系数k≠0.
2．反比例函数自变量x的取值范围是x≠0，因此在画函数图像时，不要把两个分支连结起来，“两个分支都无限接近但永远不能到达x轴和y轴”这是由自变量的取值范围所决定的。
3．反比例函数的性质可借助下述方法来帮助理解。具有下列条件之一，可推出其他两点
（1）k＞0，（2）图像的两个分支分别在第一、三象限，（3）在每个象限内，y随x的增大而减小（对于k＜0可作同样的分解帮助理解）。
注：（1）反比例函数的增、减一定要强调“在每个象限内”这一前提，因为k＞0时函数图像的两个分支分别在第一、三象限，若点A(x1,y1)在第一象限的图像上，点B(x2,y2)在第三象限的图像上，虽然x2＜x1，但显然y2＜y1，即随着x的增大，y并没有随之变小。
（2）该性质记忆时应“数形结合”，切忌死记硬背。
4．双曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形。
5．一个重要结论。
设A(x1, y1)是反比例函数y=k/x(k≠0)图像上的任意一点，过点A分别作x轴、y轴的垂线AM,AN，则所得矩形AMON的面积等于 | x1|·| y1|=| x1y1|=|K|；同理过点A向某一坐标轴作垂线，垂足与A,O构成的三角形的面积等于(1/2)K．
二、范例分析
例1 若点(-1，y1),(-2，y2),(3，y3)在函数y=-1/X的图像上，则下列结论中正确的是（ ）
Ａ．y1＜y2＜y3 Ｂ．y1＜y3＜y2
Ｃ．y3＜y1＜y2 Ｄ．y3＜y2＜y1
析解：本题既可将各点的横坐标代入表达式，求出y1，y2，y3的值再进行比较，也可以采用数形结合的方法，画出草图，直观进行比较（草图如图2）．易知选Ｄ．
例2 已知函数y=k/x的图像经过点(2,3)，下列说法正确的是（ ）
Ａ．y随x的增大而减小 Ｂ．函数图像只在第一象限
Ｃ．当x＜0时必有y＜0 Ｄ．点（-2，-3）不在此函数图像上
析解：Ａ缺少前提“在每个象限内”，又因为函数y=k/x的图像经过点(2,3)，所以k=6，图像在第一、三象限，当x=-2时，y=-3，所以点(-2,-3)在此函数图像上，所以Ａ，Ｂ，Ｄ错．因为k=6＞0，所以当x＜0时的图像在第三象限，所以y＜0．故选Ｃ．
例3 如图3，B点是x轴正半轴上一动点，过B点作x轴的垂线交双曲线y=1/x于点A，连结OA，当点B沿x轴正方向运动时，△AOB的面积（ ）
Ａ．逐渐增大 Ｂ．逐渐变小
Ｃ．保持不变 Ｄ．无法确定
析解：无论点B运动到何位置，点A总在双曲线y=1/x上，总有AB⊥x轴，由前面知识分析知，S△AOB=1/2|k|=1/2，故选Ｃ．
例4 矩形面积为21cm²，当长ycm是宽xcm的函数时，这个函数的图像是（ ）
析解：本题是一个实际问题，应根据题意确定自变量的取值范围：x＞0．因此函数的图像是双曲线在第一象限的一个分支．故选Ｃ．
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
