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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《空间中点、直线和平面的向量表示》海南—王
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海南—王继欣—设计—空间中点、直线和平面的向量表示
《空间中点、直线和平面的向量表示》教学设计
一、教学内容解析
本节课是人教A版选修第一册第一章《空间向量与立体几何》第4节《空间向量的应用》的第一课时，隶属《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》主题二“几何与代数”.本节的主要内容是讨论点、直线和平面的向量表示，建立空间图形基本要素与向量之间的关系，从而把立体几何问题转化为空间向量问题.通过本节内容的学习可以使学生打破传统的以定理为体系的研究方法，转化为通过用向量来研究直线、平面的位置关系.这一研究方式的转变降低了学生对于空间想象能力和逻辑推理能力的要求，使得学生更容易解决立体几何问题.
本节内容在教材中起到承上启下的作用，在高考中经常以解答题的形式考查.
本节内容所涉及的主要核心素养有:直观想象、数学逻辑、数学运算等。
根据上述分析，确定本节课的教学重点：空间图形基本要素及其关系的向量表示，直线的方向向量和平面的法向量的理解.
二、教学目标设置
结合课标要求，本节课制定如下教学目标
1.理解并掌握空间点、直线和平面的向量表示方法，达到数学抽象与直观想象核心素养学业质量水平二的层次.
2.掌握平面法向量的求法，达到数学运算核心素养学业质量水平二的层次.
3.通过具体例题，使学生学会求平面法向量的方法进一步提升数学运算核心素养.
三、学生学情分析
(一)已具备的认知基础
1、学生已经掌握了空间向量及其运算的坐标表示以及空间几何体的结构特征，并会利用空间向量解决一些空间位置关系的问题，这些为本节内容的学习奠定了坚实基础。
2.初中物理学习过法线的定义，学生通过类比很容易理解法向量的定义，为法向量的概念提供了物理背景.
（二）可能存在的认知困难
由于学生刚接触直线的方向向量和平面的法向量的概念，他们可能还不习惯用向量解决问题，故需要教师有意识引导学生利用向量法处理问题.
教学难点：1.建立空间图形基本要素与向量之间的关系，把立体几何问题转化为空间向量问题；2.求平面的法向量.
四、教学策略分析
本节课采用“问题导学”教学模式，通过设置联系性问题、理解性问题、归纳性问题、拓展性问题实现学生的深度学习。引导学生独立思考，主动探究，合作交流，利用小组汇报，学生讲解，学生小结等多种方式，借助动态几何画板Geogebra软件将空间中点、直线和平面的向量表示制作成动态图形，学生用平板扫描提前做好的二维码，进行体验，调动学生学习的积极性.通过创设物理情境，数学情境，落实重点，突破难点，倡导学生主动参与，在师生互动、生生互动中，通过对空间中点、直线和平面的向量表示的探究，使学生学会空间中点、直线和平面的向量表示方法,进一步提升数学抽象核心素养.让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程.不断地提升学生学习能力，努力实现学习的目标.
（二）创设情景，研讨新知
师生活动：想象一下，平常我们打电话的时候，有人问你“你现在在哪里？”，你是怎样回答的呢？（图书馆的1楼，文化广场旁边的海边等等，也就是说我们可以借助参照物来描述）
称为点P的位置向量.点是位置的抽象.
【设计意图】通过空间内点
的向量表示
，即为点的位置，体会点与“基”点
的一一对应关系.
师生活动：在直线l上取非零向量
，我们把与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量.在平面内一点和直线的方向向量可以确定平面内的一条直线.
事实上，由给定的两点A、B.可以确定向量
，那么直线AB就由点A和方向向量唯一确定.
师生活动：回顾直线的方向向量，教师提示，类比“平面内一点和一个方向可以确定平面内的一条直线”思考空间直线向量表示的方法.
是直线l的方向向量，如果直线l上取向量
等于向量，此时对于直线l上的任意一点P，由向量共线的意义可知，点P在l上的充要条件是:存在实数t,使
+t,①
+t
.②不仅能确定直线l的位置，还可以表示直线l上的任意一点P.
师生活动：如果两个向量
、
不共线，那么向量
与向量、共面的充要条件是：存在唯一实数对（x,y），使=
.
，存在实数x,y,使
x+y
，由平面向量运算法则得，任取空间任意一点，分解向量
=
,于是，空间一点位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使+x+y
③，
【设计意图】通过平面内的任意一点 的向量表示，对“存在实数x,y,使x+y”有了更深刻的理解，能够得出空间一点位于平面ABC内的充要条件是：存在实数x,y,使+x+y，在学生最近知识发展区完成知识架构，整个过程都在图形的辅助下进行的，使学生体悟数形结合、类比归纳、等价转化等数学思想，发展数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养.
这体现了各学科之间的融合性，俗称数学物理不分家.
为法向量的平面是唯一确定的。
师生活动：师生共同研讨，形成结论.·
=0}
师生活动：平面α可以由平面内一点和任意法向量唯一确定，也就是说我们借助平面的法向量，通过向量的数量积运算表示平面.
例1：在长方体
中，AB=4,BC=3,
,M是AB的中点，DA,DC,
所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
的法向量；
的法向量.
=(0,4,0);
，所以
是平面的一个法向量.
,M是AB的中点，所以M（3,2,0）,C（0,4,0）
，所以
,
,
是
的法向量，则 
取z=3,得x=2,y=3,∴
=(2,3,3).=(2,3,3)是的一个法向量.
【设计意图】通过问题驱动，学生能够积极思考，向量法解决立体几何问题的步骤，给了学生解决问题的一般套路，为后续向量的应用奠定了基础；发展了直观想象、数学运算等数学核心素养.
共线的向量
、
都可以作为直线CD的方向向量,并且它们都是共线向量;因为长方体的特点，所以
，这样，
的一个法向量是
、
、
、
都可以作为的法向量，且这些法向量都是共线向量.
例2：在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空间直角坐标系。
是
的法向量，则 
取z=1,得x=1,y=-1,∴=(1,-1,1).=(1,-1,1)是的一个法向量.
过点
，且
是直线
的一个方向向量，则
．
，
，
，写出平面的一个法向量
．
经过三点
，向量
是平面的一个法向量，则
.
4.如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，侧棱
底面，
，
是
的中点，求平面
的一个法向量．视频来源：优质课网 www.youzhik.com
