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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《复数的三角表示式》河北—王
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河北—王建平—设计—复数的三角表示式
7.3.1复数的三角表示式
河北省邯郸市第五中学：王建平
一、教学内容及其解析
1.内容
复数的三角表示式，本节课的知识结构框图：
2.内容解析
复数的三角表示是复数的一种重要表示形式，它沟通了复数与平面向量、三角函数等知识的联系，可以帮助学生进一步认识复数，为解决平面向量、三角函数和平面几何问题提供了一种新途径，同时还为今后在大学期间进一步学习复数的指数形式、复变函数论、解析数论等高等数学知识奠定基础.可见本单元的内容在高中数学乃至大学课程起着承前启后的作用.
前面学习过复数的代数表示及其几何意义.复数集
、复平面上的点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合具有一一对应关系，从联系的观点来看在复平面内将
的要素大小和方向表示出来.因为
是唯一确定的，所以
和
也是唯一确定的，这样又可以在有序数对
和
建立一一对应的关系.基于以上分析，本节课的教学重点是：复数的三角表示式.
二、教学目标及其目标解析
1.目标
（1）通过复数的几何意义，了解复数的三角表示式.
（2）了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.
2.目标解析
达成上述目标的标志是
（1）能通过复数的几何意义，从联系的观点出发建立复数
与平面内向量
的大小和方向的联系，并用刻画向量大小的模
和刻画向量方向的角
表示复数
，得到
；能说出复数三角表示式的结构特点，能辨别一个复数的表示式是否为三角表示式；能说出辐角的概念，解释辐角的多值性，知道辐角主值的范围，以及非零复数辐角主值的唯一性；会画出复数三角式所对应的向量。
（2）能根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化；能判断两个复数三角表示式是否相等.
（3）在探究复数的三角表示式的过程中，感悟联系的观点，体会复数的三角表示式对认识复数的本质的意义，并能发现和提出复数的三角的表示式相关的问题。
本节课的研究路径是：即“背景 概念 基本性质”.
三、学生学情分析
我所任教的班级是高一（1）班，学生程度整体不错，在知识储备上，经历了数系扩充的过程，学习了复数的概念及其几何意义，知道复数
和平面上的点
以及向量
一一对应；掌握了复数乘、除运算的运算法则及加减运算的几何意义，在三角函数概念的学习中，已经明确“如果角
的终边上任意一点
（不与圆点重合）到原点的距离为
，那么
”，都为本节课的学习奠定了基础.但从复数的几何意义出发探究得出复数的三角表示式，从思维角度看学生还缺乏经验；并且复数的三角表示式与复数的向量表示、三角函数有很强的关联性，因此,本节课的教学难点为：探究、理解复数的三角表示式.
突破难点的方式为：在讲解本节课之前，可以提前布置一些预习作业，让学生为新课的学习做好知识准备，课前先复习平面向量和复数的几何意义等相关知识，再进行新课的学习和探究，探究时要充分注意复数与平面向量和三角函数的联系性，这是突破难点的一个重要举例.探究出复数的三角表示式后，让学生明晰复数的三角表示式的基本结构特征，这样有助于学生理解复数的三角表示式.
四、教学策略分析
在理解辐角
时,利用
画出平面向量
表示的复数
，让学生通过观察、比较，初步确定可以用以
轴的非负半轴为始边，以向量
所在射线（射线
）为终边的角
刻画平面向量的方向；然后改变复数对应的平面向量位置（在不同象限或在实轴、虚轴上），进行动态演示，感受选择
来刻画平面向量方向的一般性和合理性.也可以通过上述图形，让学生直观感受
与平面向量
的对应关系.体会辐角的多值性和辐角主值的唯一性.
五、教学过程设计
7.3.1复数的三角表示式
问题1.“数海茫茫”的复数系中，我们遇到了这样两个数
，
，观察这两个复数的结构特征,能否写出其它的表达形式？
师生活动：学生思考后回答，发挥学生的想象力，大部分同学给出了这样的式子，
...
追问：是否所有的复数
都能用三角函数的形式来
表示？
【设计意图】复习了复数的概念及复数的代数形式， 发挥学生的想象力，为学习复数的三角表示式奠定基础.
二、引导探究，得出概念
问题2.复数
的几何意义是什么呢？
师生活动：学生思考、回答，指出
称为复数，以及复数的两种几何意义：复数
与复平面内点
一一对应；复数
与平面向量
一一对应.
教师利用
展示出复数
与复平面内点
以及平面向量
都是一一对应的.
【设计意图】复数的几何意义是得出复数三角表示式的基础，温故知新，激活学生已有的知识储备.为本课时从复数的向量表示出发探究复数的三角表示奠定基础.
问题3：能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数
，如何表示？
师生活动：的大小可以由复数的模来表示，
的方向用哪个量来表示？向量的方向可以选择坐标轴为“基准”，联系三角函数中的象限角的概念，
所在的射线（射线
）为终边的角
来刻画平面向量的方向.
【设计意图】借助复数的几何意义，通过数形结合，联系象限角概念，引导学生尝试刻画向量的大小和方向，为得出复数的三角形式作铺垫.
追问1：向量
的终点
的坐标是
，你能用刻画向量
的大小和方向的量表示
的坐标吗？
由此能你能得出新的复数
的表示式吗？
师生活动：学生思考、小组讨论，再进行班级交流，根据复数的几何意义以及三角函数的定义，学生可以得到：
，所以复数
.
追问2：刚才我们画的图形，角
的终边落在第一象限得到
，那么这个式子是否具有一般性呢？若角
的终边落在第二象限，这个结论还成立吗？
师生活动：学生思考、小组讨论，再进行班级交流，将学生的成果投影到白板上，并给予肯定和鼓励，根据三角函数的定义可以得出：
，
所以复数
.
追问3：若角
的终边落在第三、四象限，实轴或虚轴上时，这个式子是否成立呢？
引导学生回答：根据三角函数的定义可以得出：复数
.
【设计意图】让学生分析角
的终边落在各个象限或实轴、虚轴的情况，由具体到抽象，由特殊到一般，归纳出复数的三角形式，感受数学的严谨性，培养学生的抽象概括能力.
师生活动：教师利用
动态展示改变平面向量
的位置，让学生观察分析，不管角
的终边落在任何位置，都有
，教师指出
叫做复数
的三角表示式，简称三角形式.
【设计意图】教师利用
动态展示改变向量
的位置，都有复数的代数形式
，和复数的三角形式
与其相对应，这样利用信息技术验证了
.
【设计意图】要求学生进一步借助图形，得出模
和角
与平面向量的坐标
的关系，从中感受复数和平面向量的关系以及数形结合的思想，这是得出复数三角表示式的关键环节.
问题4：一个复数的辐角的值有多少个？
师生活动：引导学生回答，利用终边相同的角的特点得出：任何一个不为零的复数的辐角的值有无限多个.
追问1：这些辐角的值之间有什么关系呢？
师生活动：引导学生回答，类比任一与角
终边相同的角，都可以表示成角
与整个周角的和，所以这些辐角的值之间相差
的整数倍.
追问2：复数
的辐角是多少？
师生活动：引导学生回答出
，其中
为任何整数.
追问3：若复数为
，它的辐角是哪个角？
师生活动：引导学生回答，对于复数
，因为它对应的是零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数
的辐角也是任意的.
追问4：在研究问题时，复数辐角的多值性有时会给我们带来不便，能否通过限定辐角的范围，使任意一个非零复数都有唯一的辐角与之对应，你认为把辐角限定在那个范围内比较合适呢？
师生活动：让学生独立思考的基础上进行小组合作，引导学生借助图形思考后回答在
范围内的角
的值为辐角的值的代表.
师生活动：教师总结，我们规定在
范围内的辐角
的值为辐角的主值，通常记作
，即
.
这样对于任意一个复数
，就有唯一确定的辐角主值
和模
与之对应；反之，给定一个辐角主值
和和模
，也有唯一确定的复数
与之对应，我们就在复数集
与有序对
的集合
之间建立了一一对应关系.
例如：
师生活动：教师PPT展示题目让学生回答，加强对辐角的主值的理解.
【设计意图】让学生利用终边相同的角的特点得出复数辐角的多值性，并通过建立辐角主值区间的必要性和以
为主值区间的合理性的讨论，使学生获得基础知识的同时，领悟其中的数学思想和方法.
三、概念辨析，加深理解
例1 判断复数
是不是三角形式？
师生活动：学生独立作答，教师巡视并个别指导，学生完成后进行反馈交流.
追问：你能归纳复数的三角形式的结构特征吗？
师生活动：学生先思考再讨论，教师引导学生回顾复数的三角形式概念的形成过程，体会复数的代数形式与复数三角形式之间的关系，给出复数的三角形式的结构特征：
（1）
是复数的模，
；
（2）
的形式固定，含同一个辐角值
的余弦和正弦；
（3）由向量
的终点
坐标
与刻画向量
的大小和方向的量
和
的关系
，只能
是实部，
是虚部；
（4）
和
之间用“＋”连接.
【设计意图】通过具体事例引出对复数的三角表示式的辨析，明确结构特征，帮助学生进一步理解三角表示式的概念.
四、概念应用，巩固新知
例2 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式:
师生活动：先由学生思考发言，师生共同分析解题的基本思路，教师板书第（1）题，学生书写第（2）小题的完整的解题步骤，展示学生作品师生共同点评并总结：复数的几何意义是解决此类问题的关键，要借助数形结合的数学思想解决问题.只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式.
【设计意图】帮助学生进一步体会复数的几何意义，感受复数与平面向量一一对应的关系；借助与复数对应点的坐标，判断角
的终边所在的象限，并结合三角函数的知识掌握将复数代数形式化为三角形式的基本方法，体会复数、平面向量与三角函数之间的内在联系.
例3 分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：
师生活动：学生独立完成，教师巡视并给予个别指导，学生完成后进行展示交流.
【设计意图】本例有两个用意，一是通过几何直观，帮助学生进一步认识复数三角形式中
的含义，进而认识到复数实质上是可以用有序实数对
来唯一确定，再次感受复数与平面向量的联系，二是帮助学生掌握直接利用三角函数公式，将复数的三角形式化为代数形式的方法.
问题5.两个代数形式表示的非零复数相等的条件是什么？用两个三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？
师生活动：引导学生利用类比方法思考、回答.可以引导学生按照下面的思路进行探究：
两个复数相等⟺ 两个复数对应的向量相同⟺ 两个向量的长度相等且方向相同⟺ 两个复数的模相等且辐角主值相等，通过推理，顺理成章地得出结论.
【设计意图】让学生运用类比的研究方法，得出两个三角形式的非零复数相等的充要条件，体会推理的严谨性.
五、小结提升，形成概念
问题6.请根据以下问题回顾本节课的学习过程，并给出回答：
1、复数三角表示式的结构特点是什么？
2、复数的代数形式与复数的三角形式如何互化？
师生活动：引导学生归纳出复数三角表示式的结构特点，以及复数的代数形式与复数的三角形式之间的互化，教师总结本节课是如何研究复数的三角形式的，指出本节课的研究路径是“背景 概念 基本性质”，根据根据研究一个运算对象的基本路径，接下来该研究“运算及其几何性质 联系及其应用”.
【设计意图】引导学生认识复数三角表示式结构的本质,掌握复数的代数形式与复数的三角形式之间的互化,明白这节课是如何研究复数的三角形式的，蕴含了哪些数学思想和方法，清晰研究一个运算对象的路径和方向.
六、目标检测，检验效果
1.复数
的模是_________,辐角的主值是__________.
2.把复数
表示成代数形式.
3.下列复数是不是三角形式？如果不是，把它表示成三角形式.
师生活动：学生定时完成，教师根据实际确定交流展示方式，并进行点评总结.
【设计意图】
第1题检测学生将复数的代数形式化为三角形式的掌握情况，第2题检测学生将复数的三角形式化为代数形式的掌握情况，第3题检测学生对复数的三角形式的掌握情况.
七、布置作业，应用迁移
（一）必做题
作业1：教科书第89页，习题7.3，第1,2题.
【设计意图】巩固复数的三角形式的概念，再次认识复数的三角形式的结构特征，并能熟练的将复数的三角形式与复数的代数形式进行互化.
课外思考：
，数学里最令人着迷的一个关系，被称为“上帝创造的公式”.这个恒等式将数学里最重要的几个重要数字联系到一起：两个超越数，自然对数的底
，圆周率
；两个单位，虚数单位
和自然数的单位
，以及被称为人类伟大发现之一的
，事实上，
是欧拉公式
中
时的特例，欧拉公式有着及其重要的意义，在18世纪由著名数学家欧拉提出，它是连接复数与三角的纽带，是复变函数理论最重要的公式之一，请有兴趣的同学们查阅相关资料，谈谈欧拉公式得由来.
【设计意图】引入数学史，介绍欧拉公式，激发学生的学习兴趣和热情.
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