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视频标签：第十一届全国高中青年
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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《椭圆的标准方程》黑龙江—刘
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第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《椭圆的标准方程》黑龙江—刘建—设计—
《椭圆的标准方程》教学设计
椭圆单元的内容是学生在学习直线和圆的方程的基础上，先抽象椭圆的几何特征，然后建立它的标准方程，再利用方程研究它的几何性质，并利用它们解决简单的实际问题.从知识的前后联系看，本单元是坐标法的进一步运用，所要解决的仍然是解析几何的“两个基本问题”：建立曲线的方程，通过方程研究曲线的几何性质.
从本章知识的内部结构看，椭圆、双曲线、抛物线的研究背景、研究问题、研究方法具有高度的相似性，因而本单元的学习在全章的学习中具有基础地位.椭圆单元，“椭圆的概念”部分，先在问题“椭圆具有怎样的几何特征？”的引领下进行画图操作，从中发现椭圆的几何特征，进而获得椭圆的概念，明晰研究的基础与出发点.“椭圆标准方程”部分，先根据椭圆的几何特征建立平面直角坐标系，然后通过代数运算得到椭圆的标准方程.“椭圆的简单几何性质”部分，在明确要研究的性质的基础上，通过椭圆的方程研究椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等.上述过程体现了研究圆锥曲线的一般思路和方法，包括如何发现曲线的几何特征、如何建立适当的坐标系、如何简化和优化方程、研究曲线的哪些性质、如何运用方程进行研究等.
椭圆单元最重要、最根本的数学思想方法是坐标法.另外，在解决问题的过程中，数形结合、类比、特殊化与一般化、转化与化归等也发挥着重要作用.椭圆单元的学习有助于学生学会合乎逻辑地、有条理地、严谨精确地思考和解决问题，有助于发展学生数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算、直观想象等方面的素养.
学生之前已经学习了直线与圆的方程，能够根据方程清晰熟练地描述直线与圆的几何特征，经历了用代数方法建立直线和圆的标准方程的过程，初步掌握推导圆的标准方程的一般步骤，已经了解平面解析几何主要研究两个问题：一是根据已知条件求曲线的方程；二是根据曲线方程研究曲线的性质.与直线、圆一样，本节课仍然按照“建系—设点—列等式—代坐标—化简方程—说明”的步骤推导椭圆的标准方程，为了便于研究椭圆的几何性质，同样需要建立适当的坐标系来使方程的形式更简单.方程形式能否简单要有一定的预判能力，充分利用好曲线的对称性，尽可能让曲线的中心、顶点的坐标简单；化简含有两个根式的椭圆方程时，因为学生以前没有遇到过类似问题，缺乏对复杂根式的化简经验，教学时应详细给出化简过程，并从数学的对称美、简洁美、和谐美的角度对每一步的变形给予合理的解释，通过引导学生反思，自主探究出椭圆其它两种形式的定义，培养学生养成自觉根据曲线方程研究曲线性质的习惯，也为后面学习双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此，本节课有承前启后的作用。
《普通高中数学课程标准（2017年版）》对于平面解析几何的教学要求及本节课的目标阐述：在平面解析几何的教学中，首先，通过实例了解几何图形的背景；其次，结合情境清晰地描述图形的几何特征与问题；再次结合具体问题合理地建立坐标系，用代数语言描述这些特征与问题；最后，借助几何图形的特点，形成解决问题的思路，通过直观想象和代数运算得到结果，并给出几何解释，解决问题.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质；通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.通过认真研读教材领会编写者的意图，准确把握教材的整体性，弄清楚这一课时在本单元的地位和作用，
基于以上教学内容和课标的分析，确定本单元的教学重点：椭圆的概念、标准方程与简单几何性质，研究椭圆的思路和方法.
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单元教学目标
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了解圆锥曲线的实际背景，例如，行星运行轨迹、抛物运动轨迹、探照灯的镜面，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
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经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.
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了解椭圆的简单应用.
2.本节教学目标
依据学生数学学习三个层次认知方式的特点，合理地对教学目标进行分类设计，制订本节课的教学目标：
①认真观察图形的特征，分析清楚图形中相关元素及其基本关系，再根据这些特征以及解决问题的需要选择坐标系；（建立适当坐标系）
②自主化简方程，体会含有两个根式的方程的化简思路（证明形式化）；
③设置课后反思，让学生能够通过合作探究得出椭圆的其它形式定义（符号过程概念化）.
教学重点:利用解析思想推导椭圆的标准方程，
教学难点：推导椭圆的标准方程.
三、学生学情分析
在此之前，学生在上一章已经学习了直线和圆，已经初步经历和体验了研究解析几何的方法——坐标法，所以，学生对用坐标法研究本节内容，并不陌生，已有相关知识经验，为顺利开展本节课的教学提供了方法保障.由于本节课的教学重点就是利用解析思想推导椭圆的标准方程，同时这也是本节的难点.教学中，根据椭圆的定义，按着建系、设点、列式，化简、说明这五个步骤推导椭圆标准方程.引导学生类比圆的标准方程的简洁、优美的形式，小组讨论，得到椭圆的标准方程，这个运算过程需要学生有沉着冷静的思维品质，特别有利于提升数学运算这一核心素养.
四、教学策略分析
《标准》指出：通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数
学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”）本节课在“四个理解”的基础上，以问题为引领，围绕“平面内与两个定点
、
的距离之和等于常数（常数大于
）”来设计教学，落实教学的基本知识；运用所学的知识解决椭圆的问题，促进了学生基本技能的发展；利用平面直角坐标系推导出椭圆的标准方程，体现了数形结合的基本思想；学生经历了由形入数，再由数入形的过程，在这个过程中，让学生获得关于椭圆知识的这一基本活动经验.因此，“四个理解”是指导教师进行课堂教学的定海神针，能培养学生的“四基”，发展学生的数学核心素养，当然“四个理解”是一体的，互为表里，不能割裂，才能落实新课程下的单元教学理念.
五、教学过程
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教学过程 |
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教学环节 |
教师活动 |
学生活动 |
设计意图 |
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明确教学任务 |
坐标法是解析思想的具体体现，今天我们就是要用坐标法推导椭圆的标准方程。出标题。 |
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给出本节课目标 |
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回忆求曲线方程的一般步骤 |
类比求直线和圆的方程，谁能说一说求曲线方程的一般步骤吗？
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说步骤，反复说，重复补充说 |
明确求曲线方程的一般步骤，避免推导过程中思维的盲目性. |
板书：椭圆的标准方程
建系，设点，列式，化简，说明 |
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形成求曲线方程的流程. |
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回顾椭圆定义 |
问；哪位同学可以精准的说出椭圆的定义？ |
两名同学回答 |
检验上次课学习后内化情况 |
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大屏幕出现，椭圆定义，和椭圆图形 |
学生齐读 |
强化椭圆的几何条件，为推导椭圆方程做准备 |
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环节3，建系设点 |
问题：如何根据椭圆的图形特征，建立适当的坐标系？想一想你这样建系基于哪些思考
建系，适当，尽可能多的对称和零点
设点，求什么设什么
师：很好，同学们既能着眼建系又能兼顾过程的发展 |
学生展示，说明理由 |
各种资料中的解析几何题大都不需要建系，所以学生对用坐标法解决问题的完整过程比较朦胧，这正是解析几何学习需要认真对待的问题.养成学生对解析思想的整体思考. |
环节列式
化简
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问：延续你的建系设点，继续进行列式化简，有问题可以求助老师和同学
列式， |
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注意几何到代数的等价性，养成复盘的习惯，为化简等价变形做准备 |
突破化简难点 |
巡视中选择一名不敢尝试化简的同学，让她叙述一下现在的困境，向同学求助
板书
3列式，几何条件转化为代数条件
4化简，
对学生积极鼓励，主导学生探究
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求助同学展示已完成的列式，但不会化简含有两个根式的方程， |
明晰运算对象，
集中全班同学力量突破难点。 |
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突破化简难点 |
从同学中寻找解题方法，选取平方去根号的方法，移项平方，和直接平方的两名同学展示，
师追问：1）你为什么要做移项后平方？你总共进行了几次平方？
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学习，提问 |
符合学生的认知规律，平方去根号基于初中学习 |
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突破化简难点 |
平方是去根号的通性通法。它具有可操作性，但是麻烦易出错，通过换元达到简化运算的目的，或式子的特有结构. |
学习，提问 |
利用“集成”的眼光把某些式子作为一个整体，既能够缓解学生心理上的压力，又能避开不必要的运算纠缠。 |
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第一阶段小结 |
找那名同学作含两个根号化简的小结
问：你的思路打开了吗？学会了那些方法？ |
回顾，内化 |
精神层面鼓励，试过了，失败了，没关系，再试试 |
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椭圆方程标准化 |
请其它建系同学展示化简结果 |
两名同学展示 |
在不同建系下熟练化简含两个根号的方程 |
问：那么把那些方程叫做标准方程呢？
板书：
焦点再x轴 焦点再y轴
 ,
右边是常数1， ， |
推导着记，记准、记牢 |
夯实基础 |
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椭圆标准方程的应用 |
例1、求两个焦点的坐标分别为 、 ，并且经过点（ 的椭圆的标准方程.
练习 |
学生作答 |
规范解题，
检验课堂效果。 |
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课堂小结 |
问：那位同学能谈谈这堂课的收获？
知识层面、思想方法、核心素养三方面 |
多名学生回答 |
学有所获，让学生乐学。 |
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作业 |
基础题（教材）
能力题（教材）
灵活应用（探究题） |
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分层次作业 |
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