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视频标签：抛物线及其标准方程
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视频课题：信息素养提升实践融合创新应用教学案例（安徽）高中数学选择性必修第一册3.3.1抛物线及其标准方程
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高中数学选择性必修第一册3.3.1抛物线及其标准方程
高中数学 人民教育出版社 选择性必修第一册 第三章
3.3.1抛物线及其标准方程 教学设计
一、教材分析
本节课是新版教材人教版普通高中课程标准普通高中教科书，数学选择性必修第一册第三章第3节《抛物线》第1课时，从内容上看它是我们前两节椭圆和双曲线学习的延续，也是对初中学习抛物线的一种延申，这样可以分散难点，符合学生的认知规律。本节课通过课本中椭圆和双曲线章节已学过的例题，呈现出曲线上的点满足的一个几何性质出发，画出图象，再从图象上的点满足的几何特征总结归纳出抛物线的定义，类比椭圆和双曲线，推导抛物线的标准方程，领会研究学习圆锥曲线的一般方法，同时本节课在整章中占有前后呼应的地位，为圆锥曲线的学习起到了积极的作用.
二、教学目标与核心素养
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课程目标：
（1）理解并掌握抛物线的画法；
（2）理解并掌握抛物线的定义，掌握抛物线标准方程的推导过程;
（3）理解并掌握标准方程、焦点坐标、准线方程间的关系；
（4）探究掌握四种不同开口抛物线的标准方程及焦点坐标和准线方程；
（5）培养勇于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方法，发展数学核心素养.
2.核心素养
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数学抽象：定义的归纳；
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逻辑推理：标准方程的推导；
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数学运算：标准方程、焦点坐标、准线方程的求解；
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直观想象：四种不同开口抛物线的标准方程；
（5） 数学建模：将生活科技中的数学问题抽象成数学模型进行分析求解.
三、教学重难点
重点：抛物线图象的形成过程，抛物线的定义及标准方程；
难点：四种不同抛物线的标准方程及焦点坐标和准线方程的求解；
四、课前准备：多媒体、数学实验软件
五、教学过程设计
（一）复习回顾
引导语：在学习本节课之前，先来回顾课本第113页和125页的两道例题，如下所示：
师生活动：根据之前的学习，我们知道定值k为圆锥曲线的离心率，对于例题中动点具有的几何性质，我们可以总结如下：
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动点M到定点F的距离与M到定直线 （不过点F）的距离之比为 |
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椭圆 |
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双曲线 |
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？ |
很自然可以想到，k=1时，动点的轨迹会是什么曲线？
设计意图：通过温故知新，通过课本例题，提出问题，这样可以让学生回归课本，更加凸显课本内容的重要性，让学生能真实的感受到对所学知识的总结和探究，培养和发展了同学们数学抽象的核心素养，激发了同学们探究的兴趣.
（二）探究新知
1.创设问题情景
例：水田边上有一条小河（可近似看成一条直线）和一口水井，稻农可以选择在小河里或者水井里取水灌溉，那么该如何选择，才可以更加方便呢？
师生活动：教师提出问题，小组讨论，教师提问，同学们回答并补充.
追问1：根据生活经验，稻农该怎么选择？
追问2：请你借用数学知识，帮稻农选择？
师生活动：对于追问1，学生根据生活经验可以回答，哪里近就选择哪里.对于追问2，学生能根据以前学习的知识，回答出寻找临界点，即找到分界线.
教师肯定两位同学的回答，对于追问2，教师要引导学生说出距离相等与分界线两个关键词。
设计意图：让学生感受到人类利用数学知识去解决生活中问题，体会人类智慧无处不在；作为学生，我们应该学会利用所学知识去服务社会，服务人类；同样本例的2个追问的设计主要是引导同学们去找分界线，这样可以与后面画抛物线图象呼应，提前形成“形”的意识，发展学生的数学抽象素养.
2.实验探究
探究1 利用信息技术作图，如图， 是定点， 是不经过点 的定直线， 是动点，过点 作 ，垂足为 ，连接 , 希望得到 ，我们该怎么确定这样 点的位置呢？
师生活动：提问学生，要想找到符合条件的M点，你有什么想法，并请学生利用信息技术展示实验探究成果；为了让学生能更好的探究，设置了7个追问.
设计意图：让同学们参与实验探究过程，充分掌握并理解抛物线图象的生成过程，通过7个追问，引导学生发现抛物线上动点满足的几何特征，能够抽象出抛物线的定义，同时也提升了学生的实验操作能力及探究精神，发展了学生的数学抽象素养.
3.定义形成
师生活动：提问同学，根据刚刚图象的生成过程及动点M满足的几何特征，你能概括出抛物线的定义吗？
引导学生回答出在平面内，到定点与到定直线距离相等的点的轨迹就叫做抛物线.教师充分肯定，同时也提出不足，对于点F不在定直线 上限制条件的说明不能遗漏；教师要引导同学探究特殊情况，动点M的轨迹是什么呢？
设计意图：通过之前对数学实验探究的理解，能根据M点满足的几何特征，抽象得出抛物线的概念，提升了学生识图，归纳的能力，发展了学生的数学抽象素养.对概念中特殊情况的讨论，体现了数学的严谨性，发展了学生的逻辑推理素养.
（三）标准方程的推导
1．师生活动：同学们回顾求曲线方程的步骤（1）建系（2）设点（3）列式（4）化简（5）检验
提出问题：观察图象，该如何建立直角坐标系呢？
学生观察抛物线的图象，教师引导学生直观发现抛物线的对称性，建立平面直角坐标系，自主推导抛物线的方程.
展示各小组的结果，一般来说，会有三种情况，
追问1: 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，
能使所求抛物线的方程形式简单？
追问2：三种不同形式的抛物线方程是否有联系？
师生活动：学生在思考追问1时肯定会选择第三种建立直角坐标系的方法，
此时教师追问2，从联系的角度让学生思考三种不同形式抛物线方程可以通过平移变换互化.选定第三种建立直角坐标系的方法，展示学生的推导过程，重点评析求曲线方程的第5步检验环节.
设计意图：通过学生小组不同探究结果比较，培养学生的发散思维；展示不
同小组的成果，肯定各个小组的探究过程，体验类比方法，提升学生的数学运算素养.
探究2 在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不
同形式的标准方程.抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请大家完成课本131页的表格.
师生活动：教师指导各小组探究并展示小组结果.
追问1：标准方程有什么特征？
追问2：开口方向与方程有什么关系？
追问3：标准方程、焦点坐标、准线方程都含有什么共同的参数？
师生活动：对于追问1，学生通过比较、归纳各个方程的特征，能准确回答出等式左边都是二次项，右边都是一次项；对于追问2，教师引导学生从焦点的位置去确定开口的位置，进而得到一次项定焦点，一次项系数正负定方向的规律；对追问3的回答，主要是让学生明确 是抛物线方程的唯一特征量.
设计意图：通过探究2和三个追问，类比椭圆与双曲线不同形式的标准方程，利用表格形式呈现抛物线不同形式（焦点位置不同）的标准方程.
思考2：你能说明二次函数 的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程.
师生活动：教师指导学生利用刚刚所学知识思考回答，一般情况会有两种想法，一种是通过定义证明，另一种是通过标准方程角度分析.
教师可以引导学生从抛物线的标准方程分析，将 变形为 ,然后求焦点坐标、准线方程.再次回来带着学生利用找到的定点和定直线用定义去证明.
设计意图：让学生亲自去解决可能的疑惑——初中的二次函数图象和高中所学的抛物线是否一致，提升了学生的逻辑推理和数学运算的核心素养.
（四）运用：
例1：（1）已知抛物线的标准方程是 ,求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点是 ,求它的标准方程.
师生活动：提问：抛物线的焦点坐标、准线方程由什么决定？
教师引导学生从（1）焦点的位置，（2）𝑝的值，去回答问题，明确先定位再定量.教师在黑板上书写标准解答过程.
练习：完成课本133页练习1并展示学生的解题过程.
设计意图：无论是由抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程，还是由抛物线的焦点坐标或者准线方程求其标准方程，正确认识抛物线的标准方程以及方程中 的意义都非常关键. 是抛物线的唯一特征量，决定抛物线的焦点坐标和准线方程.通过例1和练习强化学生对抛物线标准方程、 、焦点坐标以及准线方程的认识.
例2：一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图（1）.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.
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师生活动：教师引领学生读懂题意，启发学生从给出的实物图中抽象出数学图形，建立如图（2）所示的坐标系，用待定系数法求解.
设计意图：让学生运用抛物线及其标准方程来解决实际问题，经历将实际问题转化为数学问题，解决数学问题，进而解决实际问题的过程.
（五）课堂小结：
教师引导学生带着下列问题回顾本节课所学知识和学习过程以及数学方法,
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抛物线的几何特征是什么？
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抛物线的图象是怎么生成的？
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抛物线的标准方程是如何获得的？
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抛物线的标准方程有哪些不同的形式？
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学习过程中运用到了哪些数学方法？
设计意图：让学生梳理数学知识、感悟数学思想、体会数学研究方法.
（六）作业布置：课本138页，复习巩固第1、2、4题，拓广探索第13题.
（七）目标检测设计：完成课本133页练习2，练习3.
设计意图：考查学生灵活运用抛物线标准方程及其几何特征解决问题,强化抛物线的定义，唯一特征量 值的意义.
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