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视频课题：高中数学人教A版《数系的扩充和复数的概念》郑州实验
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高中数学人教A版《数系的扩充和复数的概念》郑州市实验高级中学
《数域的扩充和复数的引入》教学设计
一、教学目标 知识与技能：
1． 了解数系发展原因，数集的扩展过程； 2．理解复数的有关概念以及符号表示； 过程与方法：
经历了数系的扩充过程，体验了复数引入的必要，探究了复数相等的概念，领悟了类比的思想方法． 情感态度与价值观：
在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求；在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． 二、教学重难点：
重点：对引入复数的必要性的认识，理解复数的基本概念 难点：虚数单位的引入以及复数概念的生成. 三、教学过程 （一）数系扩充 1.情景激趣
数字的由来：人类在社会发展中，逐步学会了以对应的方法来计算事物的个数，如“屈指”计数，“结绳”计数，“堆石子”计数等。经过长期的实践，把表示事物的个数：“一个”、“二个”、“三个”，„„；或把表示事物的次序：“第一”、“第二”、“第三”，„„抽象出来的数1，2，3，4，„„，叫
做自然数。
问题：你了解"数"的发展史吗?请你回顾从小学到现在数是如何一步一步发展到今天的实数集合的。数的发展从自然数集到整数集，再到有理数集，最后发展到实数集，那么数集扩充到实数集之后,是不是所有的方程都有解了呢? 我们可以用下面一组方程来形象的说明数系的发展变化过程： （1）在自然数集中求方程 𝑥+1＝0的解？ （2）在整数集中求方程 2𝑥+1＝0的解？ （3）在有理数集中求方程 𝑥2−2＝0的解？ （4）在实数集中求方程 𝑥2+1＝0的解？
思考：在实数域内方程012x无解，那么扩充数域以后，有解吗？ 【设计意图】以数字由来作为情境，结合从小学到现在的数学知识背景，既可以使学生了解数学的发展史，又能让学生全身心投入课堂，从而激发学生的学习热情。感悟知识的发生、发展过程。 （二）新知建构
知识建构一：虚数单位及规定
我们引入一个新数i,叫做虚数单位,并规定:21i. 知识建构二：复数的有关概念
1.复数的定义:形如(,)abiabR的数,我们称之为复数.
2.复数的代数形式:复数通常用字母z表示,即(,)zabiabR.其中a称为复数z的实部,b称为复数z的虚部. 练习：说出下列复数的实部和虚部:
,
0iiii,3,2,3
1
2,22
阅读：复数系是怎样建立的？
【设计意图】通过习题和阅读材料深化概念，巩固复数的代数形式。 知识建构三：复数的分类
0,0非纯虚数0,0纯虚数0虚数0,0实数0非0,0,00实数,,复数bababbababRbabiaz
思考：复数集C和实数集R之间是什么关系？
练一练：
1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部. 2.判断：
（1）若𝑎=0,则𝑧=𝑎+𝑏𝑖 (𝑎 ∈ 𝑅、𝑏 ∈ 𝑅)为纯虚数. （2）若𝒛=𝒂+𝒃𝒊 (𝒂 ∈ 𝑹、𝒃 ∈ 𝑹)为纯虚数,则𝒂=𝟎.
结论：故𝑎=0是𝑧=𝑎+𝑏𝑖 (𝑎 ∈ 𝑅、𝑏 ∈ 𝑅)为纯虚数的必要不充分条件.
【设计意图】巩固复数的分类，熟练掌握实部、虚部对于复数的影响，深化对复数的认识。
知识建构四：复数相等的概念
复数集
实数集
虚数集
纯虚数集
CR
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即(,,,)ab
abicdiabcdRcd
说一说：
（1）若𝟐−𝟑𝒊=𝒂−𝟑𝒊,求实数𝒂的值； （2）若𝟖+𝟓𝒊=𝟖+𝒃𝒊,求实数𝒃的值； （3）若𝟒+𝒃𝒊=𝒂−𝟐𝒊，求实数𝒂,𝒃的值
【设计意图】通过习题以口答的方式深化复数相等的概念，为后面培养转化思想做准备。 （三）学以致用
例1 下列命题中，正确命题的个数是____ （1）若𝑥,𝑦∈𝐶则𝑥+𝑦𝑖=1+𝑖的充要条件是𝑥=𝑦=1； （2）若𝑎,𝑏∈𝑅且𝑎>𝑏，则𝑎+i>𝑏+𝑖； （3）若𝑥^2+𝑦^2=0，则𝑥=𝑦=0； （4）若𝑎∈𝑅，则（a+1）i为纯虚数.
【设计意图】引导学生由所学知识解决问题，提高分析问题能力，激发其学习欲望。
例2：实数𝑚取什么值时，复数𝑧=𝑚+1+ 𝑚−1 𝑖 是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
例3：求适合方程2𝑥2−5𝑥+3+ 𝑦2+𝑦−6 𝑖=0的𝑥与𝑦（𝑥,𝑦∈𝑅）的值 【设计意图】培养学生将复数相等问题转化为求方程组解的问题的能力，进一步深化学生转化的数学思想。
（四）探索发现
探究复数的虚数单位𝑖的性质：i𝑛可以取哪些值？答：
𝑖𝑛=
𝑖, 𝑛=4𝑘+1−1, 𝑛=4𝑘+2
−𝑖, 𝑛=4𝑘+31, 𝑛=4𝑘
性质1：𝑖𝑛具有周期性.
性质2：𝑖𝑛+𝑖𝑛+1+𝑖𝑛+2+𝑖𝑛+3=0 例4：计算𝒊+𝒊𝟐+𝒊𝟑+⋯+𝒊𝟐𝟎𝟏𝟕的值.
【设计意图】进一步深化学生对于虚数单位的理解，培养学生灵活运用虚数单位进行计算的能力。 （五）知识梳理
【设计意图】通过课堂小结，深化对知识理解，建立知识结构和体系；培养学生学后反思的习惯和归纳总结能力 （六）布置作业
必做：1、《成才之路》P189-P190 2、预习《复数的几何意义》
选做：若方程𝑥2+ 𝑚+2𝑖 𝑥+ 2+𝑚𝑖 =0至少有一个实数根，求𝑚的值. 板书设计：
数系的扩充与复数的引入
一．虚数的引入： 二．复数的概念： 三．复数的分类 四．复数相等
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学生演板区
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