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视频标签：抛物线,及其标准方程
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视频课题：人教B版高中数学选修2-1第二章2.4《抛物线及其标准方程》贵州省 - 遵义
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《抛物线及其标准方程》教学设计
一、教材分析
本章是人教版选修2-1的第二章《圆锥曲线与方程》，教材内容的顺序是：曲线与方程——椭圆——双曲线——抛物线，本节课是抛物线的第一课时，教材在抛物线的定义这个内容的安排上是：先从直观上认识抛物线，再从画法中提炼出抛物线的几何特征，由此抽象概括出抛物线的定义，最后是抛物线定义的简单应用.教材在本节内容中只研究了顶点在原点，焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程，以思考交流的形式让学生自己去归纳抛物线标准方程的另外三种形式.这样的处理给学生提供了一次探究和交流的机会.有利于学生对抛物线标准方程的理解，有利于学生思维能力的提高和学习兴趣的培养. 通过本节课的学习，学生不仅能掌握抛物线的几何特征，定义和标准方程，为后面学习抛物线的性质及其在实际问题中的应用打好基础.而且有助于学生观察分析能力与抽象概括能力的培养，有助于学生运算技能的训练与提高，对学生进一步理解解析法和数形结合思想有很好的作用.也进一步巩固了圆锥曲线的学习流程与研究方法.
二、学情分析
抛物线是圆锥曲线中的一种，也是日常生活中常见的一种曲线.学生很早就认识了抛物线，知道斜抛物体的轨迹是抛物线，一些拱桥的桥拱形状是抛物线，一元二次函数的图像是抛物线等等.可以说学生对抛物线的几何图形已经有了直观的认识. 这节课的授课对象是我校高二的学生，他们的数学基础知识比较差.在本节课之前，学生已经学习了椭圆，双曲线，对圆锥曲线的研究过程和研究方法有了一定的了解和认识，这对于圆锥曲线的后续学习有借鉴、迁移的作用. 三、教学目标 （一）知识与技能
（1）掌握抛物线的定义、几何图形（2）会推导抛物线的标准方程（3）能够利用给定条件求抛物线的标准方程 （二）过程与方法
通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想。 （三）情感态度与价值观
进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；
同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。 二、教学重点
抛物线的定义及标准方程 三、教学难点
抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择） 四、教学过程 （一）、情境导入 1.生活中的抛物线：出示图片
（1）南京秦淮河三山桥的桥拱的形状是抛物线；
（2）天空中的彩虹；
（3）庆祝时用的礼花在天空中。等等、、、、
在初中，我们学习了二次函数知道二次函数的图象是一条抛物线（展示两个函数图象）：
师：你们对于抛物线有哪些认识呢？学生回答，它具有怎样的几何特征？ 同学们想知道关于抛物线的什么问题呢
用生活中的图片引入，以景激情，以情激思，并让学生根据情境的出抛物线的形状，引领学生进入学习状态，从而导出新课。
2、学生提出问题 ：
（板书课题：2.4.1 抛物线及其标准方程） （二）.抛物线的定义
先看一个实验： 如图：点F是定点，l是不经过点F的定直线，过点F作定直线L的垂线，取线段FH的中点M。拖动点M，始终有|MH|=|MF|,观察点M的轨迹，点M的轨迹是什么？（学生观察画图过程，） 可以发现，点M随着H运动的过程中，始终有|MH|=|MF|，
即点M与定点F和定直线l的距离相等。
（演示）
l H
F
M
· ·
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
师：对于“直线l经过点F”的情况，我们留到习题课再讨论。
设计意图：
让学生讨论、交流、叙述，在解决问题中加深对概念的理解。感悟数学来源于生活，数学就在自己的身边，培养学生学习数学的兴趣，增强自信心。 （三）、.抛物线的标准方程
1、 从抛物线的定义中我们知道，抛物线上的点M满足到焦点F的距离与
到准线l的距离相等。那么动点M的轨迹方程是什么，即抛物线的方程是什么呢？大家先回忆请学生回答：
一般求曲线方程的步骤.1、建系，设点；2.写出适合x,y的方程；3.列方程；4.化简； 要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系。
2、建立平面直角坐标系的方案（演示学生最可能想到的三种建系方案）
1
2
3
方案（一）
方案（二）
方案（三）
问题：哪种方案的方程更简单呢？
按照方案三的建系方式推导抛物线方程……直接演示方案一和二对应的方程，由学生观察对比得出方案三的方程最简单，方案一二的方程推导可以留作课后思考问题。
师：根据抛物线定义，知道F是定点，l是定直线，从而F到l的距离为定值，设
为p，则p是大于0的数.要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系。
我们知道抛物线当顶点在原点时，方程最简单，取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，
如右图所示，则有F（2p
,0）,l的方程为2
px.
设动点M（x,y），由抛物线定义得：
2
)2(22p
xypx
化简得：y2=2px(p＞0)
2.抛物线的标准方程
把方程22(0)ypxp叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是
,02p
，准线方程是2px，p为焦点到准线的距离。
一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.
3.思考交流
问题：你能否分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程？具体要求：以顶点在原点，焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程为基础，分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程，不要求写过程.学生先独立思考，再小组合作交流.，准线方程是2
px
。（演示） 师：上面我们主要研究了抛物线开口向右的情况，那么如果它的开口方向是向左、向上或者向下，其对应的方程又如何了呢？
4、.四种抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
)
0(22
ppx
y
)0,2
(p 2
px
)0(22
ppxy
)0,2
(p
2
px
)
0(22
ppy
x
)2
,0(p
2
py
)
0(22ppy
x
)2
,0(p
2
py
（教师巡视个别辅导。类比椭圆第二种标准方程的推导完成第二、第三和第四行。学生在黑板上板书讨论的结果）学生对他们的结论进行评论，教师再评论。 （1）(0)pp表示焦点F到准线l的距离；
（2）抛物线标准方程，左边为二次，右边为一次。若一次项是x，则对称轴为x轴，焦
点在x轴上；若一次项是y，则对称轴为y轴，焦点在y轴上；（对称轴看一次项） （3）标准方程中一次项前面的系数为正数，则开口方向坐标轴正方向；若一次项前面的
系数为负数，则开口方向为坐标轴负方向；（符号决定开口方向） 教师出示归纳：
设计意图：通过讨论及教师的引领
归纳出抛物线的标准方程的几种形式，使学生能在学习归纳总结。
（四）.例题讲解
例1（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 4x，求它的焦点坐标和准线方程
分析（1）先看清一次项，判定对称轴与焦点所在位置，画草图，再求出p的值得到焦点坐标和准线方程。
解: ∵2P=4,∴P=2
∴抛物线的焦点坐标是（ 1 ，0） 准线方程是x=-1 变式：写出下列抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程： （1） 3y+5x2=0 ；
1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20x （2）y=－2x2 （3）2y2 +5x =0 （4）x2 －y =0
注意：求抛物线的焦点坐标一定要先把抛物线的方程化为标准形式. 设计意图：让学生把所学的知识加以运用。 （五）.课堂小结
让学生回忆并小结、提炼本节课学习内容： 1、抛物线的定义
2、抛物线的标准方程有四种不同的形式 3、p的几何意义是: 焦点到准线的距离
4、标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向． 5、注重数形结合和分类讨论的解题方法. （六）.作业布置
书P50 习题2.4 1、2 （七）.板书设计
§2.4.1 抛物线及其标准方程
一、抛物线的定义 二、抛物线的标准方程
投影屏幕
问题1
2 例题及练习
（八）教学反思：
本课采 用多媒体创设情境，采用类比的方法让学生主动学习、合作交流，体验数学的发现和创造过程，培养学生数学表达和交流的能力。教学中不能忽视学生的发散思维，要恰当引导学生，课堂上突发性的问题，教师要能自如地应对。
本课围绕例题进行变式训练，师生围绕问题展开讨论，学生在质疑、讨论、总结的过程中，理解了抛物线的定义与标准方程，形成了自己的数学思想方法，更触发了学生积极思考、勤奋探索的动力，开发了学生的智慧源泉，实现了举一反三、触类旁通的效果。
虽然本课基本体现了新课改的精神，培养学生积极参与的习惯，并运用多媒体进行辅助教学，但是仍存在不足之处，如：抛物线的定义“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线。”从严格意义看是不严谨的，此时如设问“若定点F在定直线l上，则轨迹是什么呢？”可强化学生对抛物线的定义的理解；其次归纳总结时再深化一下，如“知道抛物线的标准方程，如何画抛物线的简图？”可引导学生课后有目的的复习，效果会更好；再次，如何根据学生发展的需要创造性的使用教材，学会灵活、能动地运用教材，根据学生的实际调整教学内容，都是值得我们研究的地方。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
