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视频课题：人教A版高中数学选修4-5第一讲1.1.2基本不等式-甘肃省优课
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1.1.2 基本不等式
一、教学目标
1、学会推导并掌握基本不等式，用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程;理解它的几何意义，掌握基本不等式等号成立条件 ；（重点）
2、会应用基本不等式解决一些简单的实际问题；（难点）
3、渗透“化归与转化”的数学思想，提高运算能力和逻辑推理能力。经历几何与代数的结合运用，体会各种事物之间的普遍联系。
二、课时安排 1课时 三、教学重点
理解定理1和定理2(基本不等式)． 四、教学难点
掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题． 五、教学过程 （一）导入新课
(导入语)在必修五中我们已经学习了重要不等式和基本不等式，同学们还记得它们的内容是什么？常可以用来干什么？
定理一（重要不等式）：如果
那么当且仅当a=b时取“=”
定理二（基本不等式）：如果 a,b是正数，那么（当且仅当a=b时
取“=”）
本节课我们进一步从数和形两方面来认识这两个不等式，体会在解题当中的作用即注意事项。
（二）讲授新课
1.定理一的代数证明（由学生完成）（作差法）：
0)(2222baabba
abba222，当ba时取等号．
,abR
22
2ababab
b
a2
2. 定理一的几何解释
如图：正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b，其面积分别为多少？ 长方形DCJI和长方形BCGH的长和宽都是a和b,其面积分别为多少？ 两个正方形的面积和与两个长方形的面积和有什么关系？
3.如果0,0ab,我们用,ab分别代替,ab,可得什么不等关系?
abb
a2
【证明】由于Rba,，于是要证明
abb
a2
， 只要证明 abba2， 即证 22()()20abab， 即 0)(2ba，该式显然成立，所以
abb
a2
，当ba时取等号． 4．你能通过下列方案,得到上述不等式的几何解释吗?
如图,AB是圆的直径,点C是AB上一点, ,ACaBCb,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.
【分析】根据射影定理可得：abBCACCD
由于RtCOD中直角边CD斜边OD，
于是有2
b
aab
当且仅当点C与圆心O重合时，即ba时等号成立． 故而再次证明： 当0,0ba时，2
b
aab
（当且仅当ba时，等号成立） abE
D
O
A
B
C
（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）
5.你能给出基本不等式的其他解释吗？
6.我们把
2
ab
叫做正数,ab的算术平均数,把ab叫做正数,ab的几何平均数.请用这两个概念描述上述不等关系.
两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 7我们把
2
ab
看做正数,ab的等差中项,把ab看做正数,ab的等比中项.请用这两个概念描述上述不等关系.
两个正数的等差中项不小于它们的等比中项
（三）、应用举例
（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 1.解决上述问题。
解：(1)设该矩形的长、宽分别为x米、y米，则根据题意有：xy=100 由基本不等式可知：2xyxy（等号在x=y时取得） 所以当x=y=10时，x+y有最小值20
答：这个矩形的长、宽分别为10米时，所用篱笆最短，最短的篱笆是20米。 (2) 设该矩形的长、宽分别为x米、y米，则根据题意有：2x+2y=36，即x+y=18
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由基本不等式可知：2xyxy（等号在x=y时取得） 所以2
(
)812
xyxy，等号在x=y=9时取得 答：这个矩形的长、宽分别为9米时，菜园的面积最大，最大面积是81平方米。
由这个例子可以得到如下结论：
（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大； （2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。
例2、某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图如图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每
平方米210元，再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为每平方米80元。
（1）设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式； （2）当x为何值时S最小，并求出这个最小值。
规律总结：
设出变量――→建立数学模型――→定义域利用均值不等式求最值――――→“＝”成
立的条件结论 （四）归纳小结
基本不等式—
—定理的理解
—证明不等式—求最值—实际应用
六、板书设计
1.1.2基本不等式
1．两个定理
例1： 例2： ：
学生板演练习
七、作业布置
习题1.1 5，10，13，14
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