联系本站客服加+微信号15139388181 或QQ：983228566 |
视频标签：基本不等式
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：高中数学必修五中第三章第四节基本不等式-珠海
本视频配套资料的教学设计、课件 /课堂实录及教案下载可联本站系客服
高中数学必修五中第三章第四节的基本不等式-珠海市实验中学
《基本不等式》教学设计
1. 教材内容分析与学情分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》（人民教育出版社、课程教材研究所A版教材）必修5中第§3．4．1节．《高中数学新课程标准》对于“基本不等式”的教学要求是探索并了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题。新课标相对于原来课程的最大变化是偏重于应用基本不等式求最值,这既符合不等式知识的认识规律,也对实际的应用有重要价值。
本节课通过创设情境，展开数学知识的发生，发展过程，使学生能经历数学的发现和创造过程，通过两个探究问题，层层递进，使学生在问题中体会基本不等式的产生，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程。通过三个例题使学生从理解到掌握与应用的转化，培养他们的数学应用能力。
本节课的授课对象是高一年级智慧课堂创新班的学生，课前用ipad以导学案的形式,发送微课视频给学生预习.让学生能够有目的，有针对性的预习。在前面的学习中，学生已经基本掌握了一些常见的不等式及不等式的证明方法，本节课一定程度上是前面学习的运用。通过对这一节内容的学习，让学生深切地体会到数形结合思想，体会基本不等式求最值在生活及生产实际中的广泛应用。也加强了数学联系生活这一重要的数学观。由于他们基础扎实，思维活跃,有探索未知,追求知识的欲望,有时候缺乏勇于探究的实际行动.设置三个例题,层层深入,提升学生的数学思维能力。
2. 教学目标
依据《新标准》对《不等式》学段的目标要求和本班学生实际情况，确定如下目标： (1)知识与能力目标：通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得基本不等式，在不等式
的几何背景中体会数形结合的思想。能运用基本不等式解决一些简单问题，培养学生探究能力以及分析问题的能力。引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略。
(2)过程与方法目标：在教师的引导下通过探究1，探究2来得到基本不等式，并能解决简单
的最值问题。这是一个过程性目标。通过例1引导学生尝试用基本不等式解决简单的最值问题，体会和与积的相互转化，进一步通过例2，并用几何画板展示函数图形，进一步深化数形结合的思想。结合例3完善对基本不等式结构的理解，提升解决问题的能力。
（3）情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数
学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手
2
的良好品质。
3.教学重难点
（1）教学重点：①从不同角度探索基本不等式，应用数形结合的思想理解基本不等式。②利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。③基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）。
（2）教学难点：①基本不等式成立时的三个限制条件。②当不满足限制条件时通过配凑，1的代换等技巧求不等式的最值问题。
4.教学方法
教法分析：
本节课采用启发式的教学方法,以学生为主体，以基本不等式为主线，以现代信息技术多媒体课件、几何画板作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。在教师的诱导和激励下探索、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。从而体现教师起到“导”的作用，达到学生“学”的目的。
学法分析：
合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题； 探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。
5.教学资源
为了能很好地展示几何图形,体会基本不等式的几何背景,教学中需要有具体的图形来帮助学生理解基本不等式的生成，感受数形结合的数学思想，所以，借助于智慧课堂软件ipad，借助于几何画板软件来加强几何直观十分必要，这样可以加深对基本不等式的理解，增强教学效果。[来源:Zxxk
6.教学设计流程图
[来源:Z§xx§k.Co
[来源:学#科#网]
1．创设情境，几何引入
2．函数思想,得出结论
3．几何证明，相见益彰
4．应用举例，巩固提高
5．归纳小结，反思提高
6．布置作业，课后延拓
3
7. 教学环节与活动
教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程。
具体过程安排如下：
（1）创设情景，提出问题；
设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实．基于此,
向学生展示在北京召开的第24届国际数学家大会的会标。
问题1、比较大正方形的面积与4个直角三角形的面积，你能找到怎样的不等关系？ 利用图中相关面积间存在的数量关系，结合多媒体几何画板的演示，抽象出不等式abba222
问题2、上式能否取到等号？什么时候取等号？ 当且仅当a＝b时，等号成立 抽象归纳：
结论1、一般地，对于任意实数a,b，有abba222，当且仅当a＝b时，等号成立。 问题3、当a>0,b>0时，在不等式abba222中，以a、b分别代替a、b，得到什么？什么时候取等号？
设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础。 答案： ),(02
bab
aab 通过PPT课件，让学生更直观的抽象。
问题4、探究2 如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，aAC，bBC．过点C作垂直于AB的弦DE，连接BDAD,．
①能否用a,b表示OD? OD =
②能否用a,b表示CD? CD= ③OD与CD的大小关系？
用几何画板演示，帮助学生理解等号取得的条件。 得到结论当0,0ba时，2
b
aab
（当且仅当ba时，等号成立）。 （进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性） （2）抽象归纳,得出结论
D
C A
B
E
O
4
结论2、若0,0ba，则有2baab
，当且仅当a=b时，2
b
aab。 我们称此不等式为基本不等式。 其中2
b
a称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何平均数。
代数意义是几何平均数小于等于算数平均数。 几何意义是半弦长小于等于半径长。
此处体现数形结合的思想方法，多角度理解基本不等式。
问题5、怎样理解“当且仅当”？（学生小组讨论，交流看法，师生总结） “当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：
当a=b时，取等号，即2
b
aabba
； 仅当a=b时，取等号，即bab
aab
2
。 设计依据：课本是学生了解世界的窗口和工具，心理学研究表明：任何学习都是学习者自主建构的过程.在这个过程中，离不开学习主体与文本之间的交互作用。有意义的接受学习是自主建构，有意义的发现学习也是自主建构。既没有绝对的接受学习，也没有绝对的发现学习，总是两者相互交替、有机结合.所以，课本必须成为学生赖以学会学习的文本.在教学中要让学生学会认真看书、用心思考，真正学会读“数学书”。
给出基本不等式的变形公式为求最值做准备
（3）知识应用
公式应用之一基础训练：（最优化问题）
设计意图：新颖有趣、简单易懂、贴近生活的问题,不仅极大地增强学生的兴趣，拓宽学生的
视野，更重要的是调动学生探究钻研的兴趣，引导学生加强对生活的关注，让学生体会：数学就在我们身边的生活中
例1. ①用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？②用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
ab
baRba2,,2)
2
(,,baabRba
5
学生分组讨论、纠正、争辩，合作交流。引导学生体会基本不等式的正用和逆用。
（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）[来源: 结论：
基本不等式的限制条件简记为：“一正、二定、三相等”。 对于Ryx,，[来源:Zxxk.Com]
①若pxy（定值），则当且仅当ba时，yx有最小值p2；
②若syx（定值），则当且仅当ba时，xy有最大值4
2s．
（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神。）
结论：
若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值； 若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。 公式应用之二巩固训练：
例2.求
)0(1
xx
xy的值域． 在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示)0(1xx
xy的函数图象，使学生再次感受数形结合的数学思想．
公式应用之三 能力提升：
例3.①x>3,求
x
xxf
34)(的最小值；
② 核心思想：凑积为定值。 （4）反思总结，整合新知
通过本节课的学习你有什么收获？取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要请教？
设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平。
老师根据情况完善如下：
基本不等式：若0,0ba，则有2baab
，当且仅当a=b时，2
b
aab。 .
1
1,12,的最小值求满足已知正数y
xyxyx
6
两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。
三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”。 （5）课外拓展
如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？ （6）布置作业 基本作业
拓展作业
请同学们课外在网上查找基本不等式的其他几何解释吗，整理并互相交流。
8.教学评价
通过这节课，引领学生多角度、多方位地认识基本不等式，在学生原有的认知基本上，充分展示基本不等式这一知识的发生、发展及再创造的过程。启发思维，调动学生学习数学的积极性。让学生真正参与其中同时，以智慧课堂教学课件、几何画板作为教学辅助手段，赋予学生直观感受。在教学过程中始终围绕教学目标进行评价，师生互动，在教学过程的不同环节中及时获取教学反馈信息，以学生为主体，及时调节教学措施，完成教学目标，从而达到较为理想的教学效果。 本节课的亮点在于学生对知识的自主构建，重点放在基本不等式在求最值方面的应用.应用几何画板的软件,帮助学生更好的理解基本不等式,层层递进的设置两个探究问题，多角度，透彻认识基本不等式，以利用基本不等式求最值问题为核心内容，符合新课标的精神。让学生体会数学在实际生活中的应用，因授课班级学生基础较好，设置三个难度层层递进的例题，让学生自己总结规律，得出结论，巧妙设计“陷阱”,让学生自己往里跳，然后自己再从中爬出来，自己总结出基本不等式的三个重要的限制条件。
但是在本节课中还是暴漏出一些的问题：
对于最后的例3一些学生理解起来相对困难，当基本不等式的限制条件不满足时,如何配凑定值使得满足条件是本节课的难点,难点的突破,效果有待提高.需要在后续教学中多次反思，不断运用。在放手给学生自己去探索知识的过程中,如何能既引导学生,发挥学生的主动性又能控制好课堂的时间,提高课堂效率,在这方面有待提高。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
