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视频标签：直线与圆的,位置关系
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视频课题：高中数学人教A版必修24.2.1直线与圆的位置关系-河南省 - 洛阳
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教学目标
1. 掌握直线与圆的三种位置关系;熟练掌握判断位置关系的两种方法,能够解决一些简单的与直线与圆位置关系相关的问题。
2.(1)通过本节课的学习,让学生经历操作、观察、探索、总结直线与圆位置关系的判断方法的过程,从而培养学生观察、比较、概括的逻辑思维能 力;
(2)通过本节课的学习,要让学生经历如下过程;将几何问题代数化,分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题,帮助学生不断地体会“数形结合”、“转化”和“由特殊到一般”的数学思想方法。
3. 激发学生的求知欲和学习兴趣,培养学生积极探索、发现新知识、总结规律的能力,解题时养成归纳总结的良好习惯。
2教学内容解析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书》必修2第四章《圆与方程》第二节。“直线、圆的位置关系”的第一课时,它是在学生已经掌握“直线的方程”和“圆的方程”的基础上,进一步研究直线与圆的位置关系。
本节课的核心内容是如何借助直线的方程和圆的方程来判断直线与圆的位置关系,通过学习让学生掌握两种判断方法。一种方法,根据学生初中学习直线与圆相交、相切、相离的定义的基础上,将直线的方程与圆的方程联立方程组。通过讨论方程组的解的不同情况来判断。本方法主要突出坐标法的思想且具有一般性,可类比地推广到对椭圆、双曲线、抛物线同类问题的研究中。另一种方法,利用圆心到直线的距离与半径比较。该方法涉及到把点与坐标、直线与方程联系起来,实现空间形式与数量关系的结合。该方法属圆的个性范畴,不能推广。
3重点难点
用坐标法判断直线与圆的位置关系。根据本节课的特点,在教学中借助几何画板可以帮助学生进行数学探究。
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】判断直线与圆的位置关系
问题1:老师画出一个圆,并任意画出一条直线,学生判断直线与圆的位置关系。
【设计意图】:利用电脑的分辨率造成误解,让学生发现通过图形判断直线与圆的位置关系会存在一定的误差。为后续引出用坐标法解决问题做铺垫。
活动2【活动】探讨通过定量运算判断直线与圆位置关系的方法
思考1:既然观察存在误差,思考不通过图形如何判断直线与圆的位置关系?
【设计意图】帮助学生引出定量运算。可以将直线方程与圆的方程联立得到方程,判断交点个数。也可以算出圆心到直线的距离d,再与半径 r比较。
思考2:如何利用坐标法实现定量运算?
【设计意图】用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆; 然后对坐标和方程进行代数运算,最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论。让学生体验坐标法的思想。借助几何画板平台,让学生真正理解“数”与“形”的对应关系。
师生活动:教师提问,学生思考、回答,教师根据学生回答情况及时进行补充。
【设计意图】以问题为载体,帮助学生复习、整理已有的知识结构,培养学生养成良好的学习习惯。
活动3【活动】总结直线与圆位置关系的判定方法
方法一:将直线方程与圆的方程联立,根据方程组解的情况来判断。
(1) 当方程组有两组实数解时,直线与圆相交;
(2) 当方程组有一组实数解时,直线与圆相切;
(3) 当方程组没有实数解时,直线与圆相离。
方法二:设圆的半径为d ,圆心到直线的距离为r ,
(1 )当d<r 时,直线与圆相交;
(2) 当d=r 时,直线与圆相切;
(3) 当d>r时,直线与圆相离。
活动4【讲授】判断直线与圆的位置关系
例::已知直线 l : 3x+y−6=0 和圆心为C的方程x2+y2−2y−4=0 ,判断直线 l 与圆的位置关系;如果相交,求它们交点的坐标。
师生活动:学生练习巩固,教师巡视指导,安排学生展示,并提出解题的规范要求。
思路1:通过方程的研究,研究公共点的个数,不借助几何。
思路2:借助几何方法,直线到圆心的距离(通过距离公式)与半径的关系。
教师:;为什么方程组有两组实数解就表明它们有两个交点?(代数到几何)
【设计意图】:突出解析法的思想,几何关系用代数方法解决,由代数结果得到相应的几何结论。进一步对两种方法进行对比。一种方法不能解决公共点的坐标;另一种方法具有一般性,可以解决公共点的坐标。
活动5【练习】两人一组，互相出题
请你写出一条请你写出一条过点(3,3) 的直线和一个以点 (2,0) 为圆心的圆的方程,判断它们之间的位置关系并说明理由。
【设计意图】:这是从代数到几何。让学生自己命题,画图,并说明自己是怎样来命题的。
活动6【讲授】研究直线与圆相切时，求切线方程。
例2:已知圆C:x2+y2=25 ,
1.过A(3,4) 作圆的切线,求切线方程。
2.过B(1,−7) 作圆的切线,求切线方程。
例3:求过点(2,2) 且与圆相x2+y2−2x=0 相切的直线方程。
师生活动;学生思考,教师指导,并提出解题的规范要求。
【设计意图】指导学生掌握经过圆上或圆外一点与圆相切的直线方程。
活动7【活动】本节课小节
教师:今天我们学习了什么内容?你有哪些收获?
【设计意图】让学生自己小结,加深对本节课内容的认识,提高学生用数学语言归纳的能力,同时也培养了学生合作交流的能力。
活动8【作业】作业
已知直线 3x−4y−7=0 与圆心为N(1,3) 的圆C 相切,求圆C 的方程。
【设计意图】通过直线与圆的位置关系,求圆的方程,帮助学生运用逆向思维来解决问题,同时达到掌握本节课知识的目的。
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