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视频课题：高中数学人教A版必修24.2.1直线与圆的位置关系-洛阳理工附中
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高中数学人教A版必修24.2.1直线与圆的位置关系-洛阳理工学院附属中学
直线和圆的位置关系
【教学目标】
1.知识与技能：掌握根据给定直线、圆的方程，判断它们的位置关系的方法；熟练运用直线和圆的位置关系解决相关问题；培养学生利用数形结合思想解题的能力、收集信息和语言表达的能力，以及观察、分析、概括和知识迁移的能力；
2.过程与方法：通过观察现实生活中的问题情境，将之化归为判断直线和圆的位置关系问题，学生独立探究利用方程判断直线和圆位置关系的方法，并运用方法解决相关问题，逐步体会用代数法处理几何问题的思想；
3.情感、态度与价值观：让学生从运动的观点来研究直线和圆相交、相切、相离的关系，树立辩证唯物主义观点；关注知识的生成过程，使学生养成问问题的习惯及勇于发现，主动探索的精神，让学生感受学习的成功与快乐，不断调动学生的学习积极性． 【教学重点与难点】
重点：利用方程判断直线和圆的位置关系的方法 难点：直线和圆的位置关系判断方法的运用 【学情分析】
学生在初中已经学习过直线和圆的位置关系的定义及判断方法，本节课的重点是要利用直线和圆的方程来判断它们的位置关系．不论是判断公共点的个数，还是比较圆心到直线的距离与半径的大小，都要与方程联系起来，探究解决问题的方法，建立用代数方法解决几何问题的思路． 【教学情景设计】
1.引入：
数学来源于生活，服务于生活．现实中的很多问题都可以用数学知识来解决．来看一个实际问题：一个小岛的周围有环形暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域．已知小岛中心位于轮船正西70km处，港口位于小岛中心正北40km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
显然这需要判断直线和圆有无公共点，它们的位置关系的问题． 2.复习：
由平面几何知，直线和圆有三种位置关系，定义如下： ①直线和圆相交，有两个公共点； ②直线和圆相切，只有一个公共点； ③直线和圆相离，没有公共点.
思考：在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？通过比较圆心到直线的距离与半
O
港口
轮船
2
径的大小得出直线和圆的位置关系：相交时，dr；相切时，dr；相离时，dr．
利用平面几何的知识，能够解决这个问题吗？此处可提问 学生回答解题思路：连接A、B两点，直线AB和圆O没有公 共点，所以轮船没有触礁危险；或在RtAOB中，利用勾股定 理求出AB，再用“等面积法”求出圆心O到直线AB的距离， 并与半径比较大小，可以判断出直线AB和圆O的位置关系．
3.探究新知：
能不能利用直线的方程和圆的方程判断它们之间的位置关系？
例1：已知直线:360lxy和圆心为C的圆2
2
240xyy，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标．
怎样将初中平面几何的知识和方程的知识结合起来解决这个问题？学生思考讨论，联系前面求两直线交点、点到直线的距离公式等知识，探索得出本题思路．
提问学生，可能有如下两种解题思路：
思路一：可以将直线和圆的方程联立成方程组，消元得到关于x的一元二次方程
2320xx，利用判别式判断方程有两个解，也就是方程组有两组解，就可以判断直线
和圆有两个公共点，得出位置关系是相交．
思路二：可以把圆的方程化成标准式得到圆心坐标为0,1，半径为5，再利用点到直线的距离公式，就可以求出5
10
d
，dr，可判断直线和圆的位置关系是相交． 进一步，要求出交点坐标，需要求出方程组的解．由2
320xx，解得122,1xx，
把12x代入直线方程，得10y；把21x代入直线方程，得23y；所以，它们的交点坐标分别是2,0,1,3AB．
教师配合学生分析，在课件中演示本题的解答过程．强调解题过程中的关键点，引导学生总结方法步骤，完整的写出解题过程．
方法一：
①联立直线和圆的方程，组成二元方程组；
②消元得一元二次方程，利用判别式判断该方程解的个数； ③依据解的个数判断直线和圆的位置关系. 方法二：
①确定圆心的坐标及半径，计算圆心到直线的距离； ②比较距离与半径的大小； ③依据上述计算做出判断.
上面的两种方法虽然做法不同，但是本质都是利用方程来判断它们的位置关系，通过代数方法解决几何问题，体现了“以数辅形”．
运用上述方法，再次尝试解决一开始提出的实际问题，建立直角坐标系，通过方程判断
O
A
B
3
轮船是否有触礁的危险．学生自己选择一种方法解决．
解法一：以小岛的中心为原点，东西方向为x轴，建立直角坐标系，选取10km为单位
长度．则点7,0,0,4AB，则直线AB的方程为47280xy， 圆心0,0O，半径3r，则圆O的方程为2
2
9xy，
圆心到直线的距离22
2828
365
47d
所以直线AB和圆O相离，轮船没有触礁危险.
解法二：以小岛的中心为原点，东西方向为x轴，建立直角坐标系，选取10km为单位长度．则点7,0,0,4AB，则直线AB的方程为47280xy， 圆心0,0O，半径3r，则圆O的方程为229xy，
联立方程得：22
47280
9
xyxy 消去y，整理得：2
652243430xx
2
2244653430
所以，此方程组无解，直线直线AB和圆O没有公共点. 所以直线AB和圆O相离，轮船没有触礁危险.
对比发现，解方程组的方法在这个问题中计算较为复杂，没有比较d和r大小的方法简单，这也是练习过程中很少有学生选择这个方法的原因．教师可将这种方法做一展示，引导学生作出选择，只判断直线和圆的位置关系，常选用比较d和r大小的方法，它的运算相对简单．而在求交点坐标时，必须通过求解方程组才能解决．
4.巩固练习：
①判断直线3420xy与圆2220xyx的位置关系．
②已知直线:2lyx，圆22
:240Cxyy，试判断直线l与圆C有无公共点，
有几个公共点，并求出公共点坐标．
练习时注意选择适当的方法，快速地解决．
5.新知运用：
例2：已知过点3,3M的直线l被圆22+4210xyy所截得的弦长为45，求直线l的方程．
刚才的例1是已知直线和圆的方程，判断它们的位置关 系，与例1相比，例2是已知位置关系是相交，反过来求直 线方程的问题．已知直线l过定点，要求直线l的方程，还需 要求直线的斜率，可以将其设为k．将圆的方程化为标准式
2
2
225xy，圆心0,2C，半径为5，不妨作出如
图所示的直线即为满足条件的直线l交圆于A、B两点．如何 求出直线AB的方程呢？
O
A
B
x
y
A
B
D
M
C
x
y
O
4
学生讨论，尝试演算，通过提问得出方法：设直线的方程为3(3)ykx．过点C作
AB的垂线，垂足为D，连接AC，利用垂径定理，知道25AD，再用勾股定理，求
出CD，用点到直线的距离公式，表示d，这个dCD，得到关于k的方程，解方程求出k的值，最后求出直线方程．
在课件中配合学生回答，给出关键的解题步骤，留出时间让学生算出答案，并最终展示出完整的解题过程，让学生自己对比，或个别指导，改进完善自己的解答．
6.探究讨论：
在例2中，我们设出了直线的斜率k，求出了两条满足题目条件的直线，然而直线的斜率可能不存在，会不会过点M的斜率不存在的直线也是满足题意的呢？可以验证一下．
作出过点M的斜率不存在的直线3x，圆心到这条直线的距离为3，半径长度为5，所以这条弦的长度的一半为4，则弦长为845．所以这条直线不满足题意．
引发讨论：若直线l过定点M（点M与圆心不重合）,且被圆所截得的弦长为定值c,问这样的直线l有几条？请前后左右四人为一个小组讨论，派出代表分析如下：如果给出的弦长最长，是直径的长度，那就只有一条，就是MO；如果给出的弦长最短，也只有一条，就是与直径MO垂直的弦CD．由于圆是一个轴对称图形，介于最短与最长之间的弦，一定有两条．
今后这种类型的题目，可以先考虑斜率存在的情况，若求出的直线有两条，就不用再考虑斜率不存在的情况；若求出的直线只有一条，就需要考虑斜率不存在的情况．
例2通过画图分析了思路，图形帮助我们得到了解决问题的方法，这就是“以形助数”， 例1体现了“以数辅形”，例2体现了“以形助数”．这两方面就是数学中常说的“数形结合”的思想． 【总结提升】
①学会了利用方程判断直线和圆的位置关系的两种方法； ②探究了如何将实际问题化为数学问题并加以解决； ③体会了“数形结合”思想的优越性．
华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”． 【作业】
必做题：课本P132 习题4.2 A组第1,2,3题
选做题：已知圆2
2
:225Cxy的一条弦AB过点3,1，且长为4，求直线
AB的方程．
【教学评价与反思】
本节课重点是要熟练掌握利用方程判断直线和圆的位置关系的基本知识和基本技能．通过一个实际问题引出判断直线和圆位置关系的必要性，同时提出问题：怎样利用方程来实现
5
这种位置关系的判断．经过例1、引入中的实际问题、两个练习，学生由探究到尝试到巩固，能够总结出方法，并且运用方法解决已知直线和圆的方程，判断它们位置关系的问题．例2是已知位置关系，利用题目中给出的条件，求直线的方程的问题．通过适当地利用图形的几何性质，简化了计算，求得直线的斜率．学生先探究得出思路，并解决问题．教师后提出有关斜率存在与否和满足条件的直线的条数的问题，引发讨论，得到一般情况下对此类问题的处理．教学过程始终贯彻以学生为主体的探究式学习，学生思考、探究、讨论，独立得出解决问题的思路并完成落实，总结出解题的一般步骤，教师只起到提出问题，适时提升的作用．
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
