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视频标签：两个变量的,线性相关
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视频课题：高中数学人教A版必修3第二章统计《2.3.2两个变量的线性相关》广东省 - 汕头
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高中数学人教A版必修3第二章统计《2.3.2两个变量的线性相关》广东省 - 汕头
教材与学情分析
数学必修3(人教社A版)第二章《统计》是学生在高中学段首次学习基础统计知识、了解统计思想、认识统计方法。虽然高中阶段的统计知识学习较为浅显,却有必要让学生在一开始的学习中形成正确的统计思想、理解统计原理过程以及掌握简单的统计方法,所以教材非常注重提供丰富的实际案例以及突出统计的操作过程。这从第二章《统计》的教材编排可以清晰地看出,2.1随机抽样是向学生强调统计中数据的重要性与随机性,2.2用样本估计总体是让学生了解与掌握单变量样本的统计过程,2.3变量间的相关关系是进入统计中双变量统计方法的学习,而且每一节都附上大量典型的统计案例,大大增强了学生学习过程的实践性。
在本课时之前,学生已经在前面知识的学习中掌握了科学随机抽样的方法,理解了单变量样本数据的整理与分析,具备样本估计总体操作方法的有关知识,同时在2.3.1的学习中已经认识了两个变量的相关关系,这些均为本课时学习提供了强有力的类比基础,也是指导学生迁移学习的出发点。
2教学设计思想
基于对学生已学统计知识的分析,本课时作为线性回归分析的第一课时,重在运用典型的实际统计案例,让学生在类比式学习、问题式教学与讨论式活动中,认识双变量的统计方法、了解最小二乘法的思想原理,关于回归方程的具体求解计算与对预测数据的分析理解,则留待下个课时学习。
在类比迁移旧识中探求获取新知,是本课的一个教学设计主策略,由单变量样本的统计方法迁移到双变量样本的研究,由单变量的样本平均数类比双变量的样本中心点,由平均数公式的推导原理类比最小二乘法推导回归直线的斜率公式。既在类比迁移学习中向学生牢牢强化基础统计方法:收集数据(抽样)→整理分析数据(统计图/表、数字特征)→预测决策(估计总体),又能回避新知识的突兀产生与增强知识建构的系统性;既在类比学习中培养学生严谨思考、创新推理的数学素养,又增强学生体验自主探求知识的乐趣。通过抛问推进讨论的教学是本课的另一个教学设计主策略,以问题联串各个教学结点,以讨论推进各个认知要点,以此来搭建整个课时的教学设计,实现用问题激发学生的思考,用讨论启发学生的思维。
3三维教学目标
(一) 知识与技能
(1) 能利用散点图直观认识两个变量之间的相关关系。
(2) 能简单了解最小二乘法公式的推导过程。
(3) 了解利用线性回归方程模型解决实际问题的全过程。
(二) 过程与方法
(1) 在类比迁移学习中巩固基础统计方法、理解最小二乘原理。
(2) 在问题思考与讨论交流中,培养学习品质与数学素养。
(三) 情感态度与价值观
(1) 在典型统计案例的研究中,让学生理解统计思想、建立统计观念、体验同级价值,鼓励学生用统计观点来观察、认识世界。
(2) 在类比迁移学习中培养学生严谨思考、创新推理的数学素养,增强学生体验自主探求知识的乐趣。
(3) 在信息技术的应用中,体会计算机在回归分析统计中的作用。
4教学重点难点
(一) 教学重点
(1) 从整体上初步认识线性回归分析的最小二乘法操作原理。
(2) 在类比中领悟蕴含在研究两个变量线性相关性的统计思想与方法。
(二) 教学难点
(1) 建立统计的观念和回归的思想。
(2) 认识最小二乘法公式的推导原理。
5教学基本流程
⇒情境创设引共鸣、顺势抛问入课题
⇒问题推进促讨论、类比迁移获新知
⇒统计方法串主线、回归思想贯始终
⇒最小二乘化难点、回归直线重理解
⇒信息技术展身手、回应情境作小结
6教学过程
6.1
第一学时
6.1.1教学活动
活动1【导入】（一）情境创设激兴趣，顺势抛问入课题
1.1 教学过程设计
【情境问题】10年后的你,会是怎样呢?有多帅?有多靓?20、30年后呢?(同时展示相关素材图片)
【抛问交流】型体变胖?体内脂肪含量(体脂率)增加?年龄与人体内的脂肪百分比有关?如果有关,根据已学知识,这是一种什么样的关系呢?
【课堂指引】根据上节课的学习,我们可以判断:人体内脂肪含量与年龄的关系属于两变量不确定性的相关关系.虽然会受先天体质、饮食习惯、体育锻炼等不确定随机因素的影响,我们却是可以通过科学的统计方法来对两变量之间的相关关系作出分析、判断.
【引入主题】研究案例:年龄与人体内脂肪含量的相关关系!并预测30年后的你体内脂肪百分比有多少?
1.2 设计意图
通过创设感性的情境问题及相关素材,激发学生探索问题的兴趣,并顺势抛问,在普及生活常识与复习已学知识(2.3.1变量之间的相关关系)的同时,引入本节课探究的主要典型案例“人体的脂肪百分比与年龄之间的关系”.
活动2【活动】（二）问题推进促讨论，类比迁移获新知
2.1 教学过程设计
【问题推进】年龄与人体内脂肪含量是双变量,如何运用科学的统计方法对两个变量的相关关系作出分析判断呢?统计思想以及第二章《统计》知识的学习告诉我们,统计的第一步是获取样本数据.
【讨论活动1】
→研究两个变量的相关关系需要收集什么数据?
→怎么收集?
→如何开展对应年龄人群体内脂肪含量的调查抽样?(生生互动、教师引导)
→如果想调查50岁的人其体内的脂肪含量百分比(体脂率),如何操作?(引导学生回顾已学的单变量统计方法)
【课堂指引】我们用所学的抽样方法,在50岁的人群中抽样调查其脂肪含量百分比,然后用样本的特征数字之一——平均数作为50岁人群对应的体脂率,从而获得人体的脂肪百分比和年龄的样本数据,完成数据收集.
【问题推进】收集好双变量的样本数据后应该怎么整理分析数据呢?之前学过整理数据、分析数据的统计方法吗?
【讨论活动2】
→回顾归纳已学的单变量样本数据的统计方法,看看能否给我们研究双变量样本数据带来启示?
【课堂指引】已学的单变量样本数据的统计过程为:
统计过程:收集数据→整理数据→分析数据→预测决策
↓ ↓ ↓ ↓
统计方法: 抽 样 →统计图/表→数字特征→样本估计总体
【类比学习】类比单变量样本整理数据的统计方法——制作统计图/表,同样可以寻找用恰当的图/表整理两个变量样本数据的方法
——直角坐标系下的散点图。
由于该案例我们是想由年龄来预测体内脂肪百分比,故设年龄为x,对应的人体脂肪百分比为y,即以x轴表示年龄, y轴表示脂肪含量,从而得到散点图(如图)。
【课堂指引】定义正相关、负相关以及回归直线,并指出散点图能够帮助我们获得两变量关系的直观初步判断(如图):
1.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间关系。
2.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系。
3.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系。
2.2 设计意图
以抛设问题推进讨论活动,在强化统计方法中收集数据获取样本的重要性的同时,引导学生将单变量样本的统计方法类比迁移到双变量样本的研究中,以此激发学生的思考,启发学生的思维,为新知识的学习构建思考方向与思维方法。
活动3【讲授】（三）统计方法串主线，回归思想贯始终
3.1 教学过程设计
【问题推进】回归直线作为两变量具有线性相关关系的代表,应该有何特点?如何运用较可靠的方法求出回归直线呢?
【讨论活动3】
→再次类比单变量样本分析数据的方法,探究双变量样本的回归直线应该具备什么特点?
→如何用数学方法刻画这些特点?
→已学的统计知识又能否再给我们提供类比的方向与思路?
【类比学习】单变量样本分析数据的一个重要方法就是提取数字特征,其中一个重要的数字特征就是平均数.提取双变量样本的平均数
x
y 在散点图中对应的点(
x ,
y ) 称为样本中心点,则回归直线应该要过样本中心点。
统计过程: 收集数据→整理数据→ 分 析 数 据 → 预 测 决 策
↓ ↓ ↓ ↓
单变量样本: 抽样 → 统计图/表 → 数字特征平均数→样本估计总体
↓类比 ↓ ↓ ↓ ↓
双变量样本: 抽样→散点图(线性)→数字特征平均数→回归直线过样本中心点
【类比学习】由于单变量平均数是表示一组数据
集中趋势的量数,若将平均数看成是反映数据集中趋势的一条直线,则该直线满足样本数据与其总体偏离程度最小。类比此方法,我们可以发现回归直线除了要满足过样本中心点的特点之外,从散点图分析,还可以直观地认为应满足“从整体上看,各点与直线的偏离最小”。
【课堂指引】我们寻找的回归直线应该要能满足两点:
1.回归直线应该要过样本中心点;
2.回归直线应该要满足“从整体上看,各点与直线的偏离最小”!
3.2 设计意图
将单变量样本提取数字特征平均数这一分析数据的方法迁移到双变量样本的研究中,由单变量的样本平均数类比双变量的样本中心点,在类比迁移旧识与巩固统计方法中探求获取新知,引导学生大胆猜想探究回归直线特点,为下步学习作铺垫。
x
活动4【讲授】（四）最小二乘化难点，回归直线重理解
4.1 教学过程设计
【问题推进】回归直线的两个特点如何用数学的方法来刻画?类比平均数公式的推导过程,求出满足“从整体上看,各点与直线的偏离最小”的回归直线方程。
【类比学习】简析单变量样本平均数公式
x的推导过程:
4.2 设计意图
先引导学生用数学方法来刻画前面猜想的回归直线特点,然后用平均数公式的推导原理类比最小二乘法推导回归直线斜率公式的过程,通过代入降元将二元变量的最值问题转变为二次函数的最值问题,化解了最小二乘法的推导难点,使得学生易于接受理解,又培养了学生严谨思考、创新推理的数学素养。
活动5【讲授】（五）信息技术展身手，回应情境作小结
5.1 教学过程设计
【问题推进】由最小二乘法求回归直线方程是一种常规的统计方法,然而面对真正实际应用问题的海量样本数据,且回归直线的斜率和截距运算公式的手工运算甚为繁琐,怎么解决呢?
【课堂指引】信息技术在统计方面发挥着强大优势,计算机的强大运算功能能够帮助我们轻松的完成一些常规的回归分析。
5.2 设计意图
指导学生使用Execl软件工具求解回归直线方程的操作方法,这既贴近解决实际统计问题的需要,也让学生体验计算机处理统计回归分析问题的重要性,培养学生运用信息技术解决问题的思考方式。
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