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视频课题：高中数学人教A版必修3第二章统计《2.3.2两个变量的线性相关》广东
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高中数学人教A版必修3第二章统计《2.3.2两个变量的线性相关》广东省 - 阳江
《2.3.2两个变量的线性相关》教案
人教版高中数学必修3
一、教学目标：
知识与技能目标：（1）利用散点图判断线性相关关系；（2）了解最小二乘法的思想及回归方程系数公式的推导过程；（3）利用电子表格求出回归直线的方程并对实际问题进行分析和预测，通过实例加强对回归直线方程的理解.
过程与方法目标：（1）通过自主探究体会数形结合、类比、及最小二乘法的数学思想方法；（2）通过动手操作，培养学生的观察，分析，比较和归纳能力，引出利用计算机、投影仪等现代教学工具的必要性．
情感与价值观目标：（1）类比函数的表示方法，使学生理解变量间的相关关系，增强应用回归直线方程对实际问题进行分析和预测的意识；（2）利用计算机让学生动手操作，合作交流激发学生的学习兴趣． 二、教学重点与难点
教学重点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系，了解最小二乘法的思想并利用此思想借助电子表格求出回归方程．
教学难点：（1）对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解；（2）根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程． 三、教学方法与手段
教学方法：引导式教学、探究式学习．
教学手段：多媒体教学，用到计算机、投影硬件工具及PowerPoint等软件工具． 四、课前准备 教师准备：课件.
学生准备：铅笔，尺子，学案. 五、教学过程
六、教学情境设计 （一） 创设情境引入课题
【小阅读】 “回归”这个词是由英国著名的统计学家Francils Galton提出.1889年，他在研究祖先与后代身高之间的关系时发现，身材较高的父母，他们的孩子也教高，但这些孩子的平均身高并没有他们父母的平均身高高；身材较矮的父母，他们的孩子也较矮，但这些孩子的平均身高却比他们父母的平均身高高.Galton把这种后代的身高向中间值靠近的趋势称为“回归现象”.
后来人们把由一个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法称为回归方法.
【引例】：（2011年广东高考）某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法 预测他孙子的身高为_____cm.
师：要解决这个问题，我们先要理解什么叫做线性回归分析.我们课通过今天的课题：《两个变量的线性相关》的学习后，把这道题解决.
线性相关概念的建构
创设情境，导出课题
探索推导，理解含义
启发引导，形成概念
直观观察，操作探究
应用公式，解决问题
总结整理，提高认识
布置作业，独立探究
最小二乘法求回归方程系数
结 课
回归直线的探究
3
设计意图：通过小阅读一道高考题创设情境，提出问题，引起学生的学习兴趣，和好奇心.使学生的思想、知识和心理能较快地进入本节课课堂学习的状态． 师生活动：引导学生先阅读，了解现实生活中的现象，再带着问题去探究本节课题.
（二） 本课新知
探究：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员得到一组样本数据： 表1：人体脂肪的百分比和年龄
师：根据上述数据，人体脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？ 生：从表中大体看出，随着年龄的增加，人体脂肪的百分比也在增加. 师：如50岁时，脂肪含量一定是28.2吗？
生：不一定.因为对于某个人来说，他体内脂肪含量不一定随着年龄增长而增长。这些数据只是对这个年龄人群抽样的数据，具有随机性. 师：年龄与脂肪含量是什么关系？ 生：相关关系.
师：类比函数关系，我们可否利用这些数据建立一个数学模型近似地表示这两个变量的相关关系？然后根据人们的年龄对人体的脂肪含量作预测？如果要对这些数据分析，我们一般怎么做？ 生：可以，画图，看变化趋势.
师：同学们的想法很好.在直角坐标系中画图象，观察样本点的分布情况，可以帮助我们发现用什么数学模型来刻画这两个变量之间的关系.你们认为横、纵坐标分别表示什么？
生：x轴表示年龄；y轴表示脂肪含量.
师：在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，叫做散点图.这些点分布的位置怎样？
生：分布在从左下角到右上角的区域.大致分布在一条直线附近. 师：说的很好！ 新知概念：正相关：点散布在从左下角到右上角的区域内的两个变量的相关关系. 负相关：点散布在从左上角到右下角的区域内的两个变量的相关关系. 线性相关关系：如果散点图中点的分布从整体上看大致分布在一条直线附近，我们称这两个变量具有线性相关关系，这条直线就回归直线，回归直线的方程简称回归方程.
设计意图：引出两个变量的线性相关关系.
师生活动：教师先引导学生明确散点图的作法，让学生观察散点的分布，得出新知概念，引导学生体会现实生活中两个变量之间的关系存在不确定性，散点只是散步在一条直线周围.
师：同学们说这些样本点大致分布在一条直线附近.现在问题是，到底哪条直线比较适合？
请同学们动手画一下，你觉得哪一条合适？
1、如何找回归直线
探究活动1：画出回归直线。（因学校条件限制，教师预先在学案上画出散点图，在让学生在上面画回归直线）
0510152025303540
0
5
10
15
20
25
303540
45
50
55
60
65
年龄
脂肪含量
学生的方案可能有：
方案一：尽可能多的点落在直线上.（怎样才算尽可能多？操作性不强！） 方案二：使直线上下方的点一样多.（费时费力且精确度差.） 方案三：画多条直线，算斜率k与截距b的平均值（耗时费力.） 方案四：各点到这条直线的距离和最小. 师：同学们认为哪种方案画得回归直线恰当？
（学生们进行讨论，质疑，老师反驳 解释后）生总结： 第四种方案好，因为所
5
有的点离这条直线最近。
设计意图：培养学生自己操作，观察，猜想的能力.
师生活动：学生在学案上动手画出各种直线，老师巡堂，发现学生作的直线都不同，投影几个学生作品.
师：即“从整体上看，各点与此直线的距离和最小。” 这样定量的标准得出的直线只有一条，才是最优的回归直线.
【问题1】如何用数学语言来描述“从整体上看，各点与此直线的距离最小”？ 设计意图：几何问题代数化，为下一步探究作好准备，经历“几何直观”转化为“代数表达”过程，为引出“最小二乘法”作准备．
经学生思考讨论归纳出：首先用待定系数法设出回归直线方程ybxa，其次是用点到直线的距离表示出各点到直线的距离.
2、利用最小二乘法推导回归系数公式
假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据：
11(,)xy22(,)xy……(,)nnxy。当自变量x取ix（i=1，2，……，n）时，可以得到
ˆiiybxa（i=1，2，……，n），点,iixy到直线的距离： 2
,(1,2,)1
iiibxyadib
师：这个式子既有绝对值又有根号，不方便计算.不要忘记，我们的目的是由
,,1,2,3iixyn算出,ab的取值.有没别的方法也能体现“从整体上看，各点与
此直线的距离和最小”？
6
生：（若生不语，则师解释.）
师：如图，回归直线确定，ABC为定值，sinidABABC，所以id可用
ˆ()iiiiyy
ybxa（i=1，2，……，n）替换. 师：这样用n个距离的和来刻画“各点与此直线的整体距离”是比较合适的.由于
带绝
对值计算不方
便所以换成平方，
2
22
22
112
2
331
ˆ()()()()()n
iin
niQyyybx
ay
bxa
ybx
aybxa
通过化简，得到的其实是关于,ba的二元二次函数Q。一定存在这样的,ba，使Q取到最小值． 视为的二次函数时，可求出使Q为最小值时的的值的线性回归方程系数公式：
1
1
2
2
211
()()()nn
i
i
ii
iin
n
iiiixxyyxynxy
b
xxxnxa
ybx
（其中11niixxn，1
1n
iiyyn）
上述求回归直线的方法叫 “最小二乘法”。
师：ˆˆ,b
a的几何意义是什么？回归直线是否过定点？你知道是哪个点吗？ 生：ˆˆ,ba分别表示回归直线的斜率和截距。ˆˆˆˆˆ,ybxaaybx代入得ˆˆˆˆ()y
bxybxbxxy，所以回归直线过点,xy.称为样本点的中心.
设计意图：通过由学生自己想，做，说，辩，展现思维，加深对概念内涵的感受。老师在教学中引导学生思考.
师生活动：教师引导学生推导最小二乘法，并体会最小二乘法的思想. 3、应用公式，深化理解
探究活动2：（利用EXCEL师生共同探究）
师：（预先输入数据，利用EXCEL表计算）求出了0.448,0.5765ab
ˆ0.57650.448y
x（PPT显示） 当某人37岁，脂肪含量 ˆ0.5765370.44820.8825y
师：37岁的人，体内脂肪含量一定是20.8825吗？
生：不能。只能说他体内的脂肪含量在20.90%,附近的可能性比较大
师：回归方程求出后，变量间的相关关系并没有转变为确定关系，我们只是用函数关系来表示不确定的相关关系.（显示EXCEL中由回归方程计算出的脂肪含量值）与收集的数据不同，为什么？
生：根据回归直线得出的结果是一个估计值.
师：其实表中的数据是抽样出的，具有随机性，由这些数据确定的,ab也就具有随机性了，所以根据年龄预测的人体脂肪含量只是一个估计值。其实，假若换一种抽取样本的方法，也会得到不同的样本数据，得到的回归方程也可能不同.为
了区别确定值，我们都给它们“盖帽”，记为ybxa.为什么x不记为x？ 生：x是确定值，真实值.
设计意图：帮助学生深入理解线性回归方程的真正意义与作用，明确只是的一个估计值．
师生活动：教师利用计算机EXCEL计算出回归方程，通过教师设置问题，并引导学生理解回归方程的意义.
（三）、线性回归分析思想在实际中的应用
总结：我们利用回归直线对年龄与脂肪的关系做了上述分析，这种分析方法叫做线性回归分析。利用这种分析方法可以对生活中的很多问题进行分析与预测。下面请同学们自己动手解决引例中的问题
例: 某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测
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他孙子的身高为多少？
:,:数据可列表如下可知父亲与儿子的对应根据题中所提供的信息解析
185(cm).31823,y,1173176,13
)3(6
3)()
)((,176,1732
23
1
2
3
1
身高为从而可预测也他孙子的所以回归直线方程为xxbyaxx
yyxx
byxii
iii
设计意图：发展学生的应用意识，是高中数学课程标准所倡导的重要理念之一。在教学中以具体问题为载体,加深学生对回归方程的理解，熟悉回归方程的求解过程，体会运用回归方程进行预测，体验数学在实际生活中的应用。
师生活动：先让学生独立思考，教师再引导分析题意，学生自己计算，得出结果. （四）课堂小结：
【问题2】请同学们回顾一下我们怎样求出回归直线方程？事件、样本数据与回归直线三者之间有怎样的关系？
设计意图：培养学生反思的习惯，鼓励学生对研究的问题进行质疑和概括． 师生活动：
1.求样本数据的线性回归方程的方法 (1)直接运用公式
第一步：计算平均数,xy；
第二步：计算
2
2
1
1
1
1
,,,n
n
n
n
iiiiiiiiiixyxxxyyxx
第三步：计算1
1
2
2
21
1
()(),()nn
i
i
ii
iin
n
iiiixxyyxynxy
b
a
ybxxxxnx
父亲的身高(x)
173
170
176
儿子的身高(y)
170
176
182
9
第四步：写出回归方程ybx
a (2)借助计算器或计算机(使用方法见学案) 2.样本数据与回归直线的关系（如图6）
（六）作业布置与板书设计： 1、作业：P94， A3
2、实习作业：收集本班男生的身高和体重的数据,并利用统计知识对收集到的数据进行分析与预测。
设计意图：作业是学生信息的反馈，能在作业中发现和弥补教学中的不足.
七、板书设计
八、学生学案
2.3．2两个变量的线性相关
学生课堂学案
姓名：
（一）课题引入
【小阅读】 “回归”这个词是由英国著名的统计学家Francils Galton提出.1889年，他在研究祖先与后代身高之间的关系时发现，身材较高的父母，他们的孩子也教高，但这些孩子的平均身高并没有他们父母的平均身高高；身材较矮的父母，他们的孩子也较矮，但这些孩子的平均身高却比他们父母的平均身高高.Galton把这种后代的身高向中间值靠近的趋势称为“回归现象”. 后来人们把由一个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法称为回归方法.
【引例】：（2011年广东高考）某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法 预测他孙子的身高为_____cm. （二）本课新知
1.探究活动1：画出回归直线。 表1：人体的脂肪百分比和年龄
2.利用最小二乘法推导回归方程系数公式。
；
；
回归直线方为： ；回归直线过定点___________. 3. 应用公式，深化理解 探究活动2：
（1）探究1中的回归方程为____________ （2）预测年龄37岁的人体脂肪含量
（3）请同学们从表格中选取年龄x的一个值代入上述回归直线的方程，看看得出的数据与真实数值之间的关系。原因？
11
（三）线性回归分析思想在实际中的应用
例: 某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为多少？
（四）课堂小结：
【问题】请同学们回顾一下我们怎样求出回归直线方程？事件、样本数据与回归直线三者之间有怎样的关系？ 1.求样本数据的线性回归方程的方法 (1)直接运用公式 第一步： 第二步： 第三步： 第四步：
2.样本数据与回归直线的关系（如图
6）
（五）作业布置： 1、作业：P94， A3
2、实习作业：收集本班男生的身高和体重的数据,并利用统计知识对收集到的数据进行分析与预测。
3、练习：某研究机构对高中学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得数据如下：
12
记忆力x 6 8 10 12 判断力y
2
3
5
6
（1）画出散点图；
(2)求出关于的回归直线方程．
(3)根据求出的回归直线方程,预测记忆力为9的同学的判断力．
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
