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视频课题：高中数学人教A版必修3第二章统计《2.3.2两个变量的线性相关》广西省级优课
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高中数学人教A版必修3第二章统计《2.3.2两个变量的线性相关》广西省级优课
2.3.2两个变量的线性相关教案
课题
§2.3.2两个变量的线性相关
课型
新课
教学目标 （1）利用散点图判断线性相关关系，了解最小二乘法的思想及回归方程系数公式的推导过程，利用电子表格求出回归直线的方程并对实际问题进行分析和预测，通过实例加强对回归直线方程含义的理解。 （2）
通过自主探究体会数形结合、类比、及最小二乘法的数学思想方法。 （3）通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力，引出利用计算机等现代化教学工具的必要性。
教学重难点 1． 教学重点：用最小二乘法求回归方程。
2． 教学难点：如何用数学语言来刻画“从整体上看，各点到此直线的距离最小”。
教学过程
教学内容
一、 自主学习 阅读教材P85—P91，请思考下列问题：
（1）变量之间的相关关系（2）散点图 （3）回归直线 （4）回归方程
二、 问题探究
知识探究（一）知识探究：【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：
其中各年龄
对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数.思考1：观察散点图的大致趋势，人的年龄的与人体脂肪含量具有什么相关关系？思考2：在上面的散点图中，这些点分布有什么特点？. 问题提出
1 观察人体的脂肪含量百分比和年龄的样本数据的散点图，这两个相关变量成正相关.我们需要进一步考虑的问题是，当人的年龄增加时，体内脂肪含量到底是以什么方式增加呢？对此，我们从理论上作些研究. 知识探究（二）：回归直线
思考1：一组样本数据的平均数是样本数据的中心，那么散点图中样本点的中心如何确定？它一定是散点图中的点吗？
思考2：在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？
50494541392723年龄28.226.327.525.921.217.89.5脂肪61605857565453年龄34.6
35.2
33.5
30.8
31.4
30.2
29.6
脂肪
2025303540455055606551015202530
35
40
脂肪含量
0(,)xy
这些点大致分布在一条直线附近.
合作探究，作出回归直线
方案一：采用测量的方法，在散点图中先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置，测量出此时的斜率和截距，就可以得到回归方程了。
方案二：在散点图中选择这样的两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同。同样测量出此时的斜率和截距，就可以得到回归方程了。
方案三：在散点图中多取几组点，确定出几条直线的方程，再分别求出各条直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数当成回归方程的斜率和截距。 同学们通过动手实践去发现这些方法是否可行。
老师通过几何画板验证这些方法虽然有一定的道理但可靠性并不强。
知识探究（三）：回归方程
在直角坐标系中，任何一条直线都有相应的方程，回归直线的方程称为回归方程.对一组具有线性相关关系的样本数据，如果能够求出它的回归方程，那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系，并根据回归方程对总体进行估计.
思考1：回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？ 整体上最接近
思考2：对于求回归直线方程，你有哪些想法？
思考3：对一组具有线性相关关系的样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)，设其回归方程为abxy
可以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度？
.
)(||2abxyyyyyiiiiii
其中，或可以用
思考4：为了从整体上反映n个样本数据与回归直线的接近程度，你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适？
思考5：根据有关数学原理分析，当
20253035404550556065
51015
20
25303540
脂肪含量
0)
,(11yx)
,(22yx)
,(iiyxi
iyyy
x
21
ˆ()n
iiiQyy
2221122()()()nnybxaybxaybxa11222
1
1
()(),()
nn
iiiiiinni
i
iixxyyxynxy
baybxxxx
nx
时，总体偏差 为最小，这样就得到了回归方程，这种求回归方程的方法叫做最小二乘法.回归方程中，a，b的几何意义分别是什么？ 思考6：利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程为 ，由此我们可以根据一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分比的回归值.若某人37岁，则其体内脂肪含量的百分比约为多少？ 20.9%
三、 课堂检测
练习1.已知下列变量，它们之间的关系是函数关系的有 ① ，是相关关系的有 ②③ .①已知二次函数y=ax2+bx+c，其中a、c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式△=b2－4ac;②光照时间和果树亩产量；③每亩施用肥料量和粮食产量.练习2. 今有一组试验数据如下表所示：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( C )
A. y=log2x B. y=2x C. y=(x2－1)/2 D. y=2x－2
练习 3.F表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据
x
3 4 5 6 y 2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，崩最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程Y=bx+a；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性
同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值：3×2．5+4×3+5×4+6×4．5=66.5) 解：（1）如图（2）由对照数据，计算得：
4
1
66.5ii
iXY
4
222221
345686
i
iX
4.5X
266.544.53.566.563ˆ0.78644.58681
b
ˆˆ3.50.74.50.35a
YbX 所求的回归方程为 0.70.35yx
(3) 100x, 1000.70.3570.35y吨,
预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低
9070.3519.65(吨)
四、 小结评价
1. 求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行： 第一步，计算平均数；，yx 第二步，求和
；
，n
ii
nii
ix
yx1
21
第三步，计算;)()
)((1
2
21
1
2
1
xbyax
nx
yxny
xxx
yyxx
bn
ii
n
ii
in
ii
n
iii
，
第四步，写出回归方程 .abxy
2. 回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致分布在回归直线附近.对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性.
3. 对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程.
五、作业
1. 课本习题2.3A组 第3题； 2. 练习册2.3.2
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