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视频标签：二项式定理
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视频课题：高中数学苏教版选修2-3第1章1.5.1 二项式定理_贵州省 - 六盘水
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高中数学苏教版选修2-3第1章1.5.1 二项式定理_贵州省 - 六盘水
《二项式定理》教学设计
【教材分析】
二项式定理是高中数学选修2-3第一章第五节的内容，此前学生已经具备了排列组合相关知识，本节课的形成过程其实是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，为随后学习的概率知识及概率与统计，作知识上的铺垫。二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。 【学情分析】
本节课之前，学生已经熟练掌握了完全平方公式，3次方和4次方的公式也可以通过多项式的展开法则进行展开，但是更高次的二项展开学生会感觉异常麻烦，通过本节课的学习,学生应该对二项式的展开有一个更深的认识。 【教学目标】
1.知识与技能：理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式的有关特征，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题。
2.过程与方法：在学生对二项式定理形成过程的参与探讨过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力，以及学生的化归意识与知识迁移的能力。
3.情感态度价值观：
（1）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，培养学生解决数学问题的兴趣和信心。
（2）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，使学生体会到数学内在的和谐对称美以及自己获取知识的喜悦。 【教学重难点】
重点：二项式定理的内容及应用。
难点：掌握运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程。
【教学方法】
本节课的教法采用启发式教学，并以启发学生主动学习，积极探求为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境，通过教师引导，使学生从熟悉的多项式乘法入手，利用组合的有关知识加以分析、归纳，探索出二项展开式的规律，培养学生观察、联想、归纳能力和从特殊到一般的数学思想方法。 【教学过程】
（一）引出新知
通过展示“杨辉三角之美”，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，使得学生对本节课的内容有更强的求知欲，也为下节课二项式定理与“杨辉三角”的关系做铺垫，引出课题《二项式定理》，
并开门见山的讲出二项式定理所研究的内容是n
ba)(+的展开式。初中
已经学习了完全平方公式，
3)(ba+ 和 4
)(ba+ 也可以用多项式的展开来计算，那么100
)(ba+用多项式展开计算的话呢？(学生会觉得异常麻
烦），所以我们将一起研究n
ba)(+的展开式到底有什么样规律呢？
【设计意图】用漂亮的图片吸引学生的注意力，激发学生的求知欲，直接引出课题，把问题作为教学的出发点，明确本课要解决的问题。
（二）合作探究，发现规律
探究一、你从下面四个二项式的展开式中能发现哪些规律性的东西？(为了方便研究，先将系数去掉，观察a、b在展开式中的存在形式)
2222)(bababa++=+ 3223333)(babbaaba+++=+ 4322344464)(babbabaaba++++=+
通过小组内的合作探究： 学生1：每一项的次数 学生2：展开式的项数 学生3：指数的升降变化
但每一项的系数的规律是很难发现的，这时候教师就应该做出引
导。引导学生利用同位素追踪的方法，重新展开2
222)(bababa++=+，
即将2()ab+写成()()abab++，然后将不同因式中的ba、做上不同的标记，即写成1122()()abab++然后展开，并观察规律。
探究二、 1122()()abab++的展开式有几项？展开式中每一项是怎样构成的？
12121212
aaabbabb+++
通过合作探究，学生能够发现以下规律（必要时教师做出引导）：
（1）每一项的构成是从展开前的每一个括号任取且只能取一个数；
（2）把取出的数乘在一起，将所有乘式加在一起就得到展开式。 然后教师再引导学生消除ba、上的不同标记，这样就得到含有ba、的同类项，（既然从两个括号取出来进行相乘）引导学生发现同类项的个数和组合数之间的关系。以ab项为例，系数为什么是2？实际上
在把()()abab++展开时，一个括号提供a，一个提供b，一共有11212
CC=种组合,因此ab项的系数为2.
【设计意图】引导学生运用计数原理来解决系数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备.
(三) 形成定理
探究3：根据探究1、2的结果，验证3()ab+、4()ab+的展开式，
尝试写出n
ba)(+的展开式。
)()(*110NnbCbaCbaCaCban
nnkknknnnnnnÎ+++++=+--LL—— 二项式定理 证明：n
ba)(+是
n个)(ba+相乘，每个)(ba+在相乘时，有两种选择，
选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有n2项（包括同类项），其中每一项都是kk
nba
-),1,0(nkL=的形式，对于每一项kknba-，它是由
k
个)(ba+选了b，n－k个)(ba+选了a得到的，它出现的次数相当于从n
个)(ba+中取
k个b
的组合数k
nC，将它们合并同类项，就得二项展
开式，这就是二项式定理．
【设计意图】通过仿照3)(ba+、4
)(ba+展开式的探究方法，由学生
类比得出n
ba)(+的展开式．二项式定理的证明采用“说理”的方法，
从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式．
(四) 熟悉定理，简单应用
二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式） 1. 项数：共有+n１项. 2. 次数：
(1)各项的次数都等于n.
(2)字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n．
3. 二项式系数: 依次为nnknnnnCCCCC,,,,,,210LL，这里),,1,0(nkCk
n×××=称
为二项式系数.
4. 二项展开式的通项: 式中的k
knknbaC-叫做二项展开式的通项.
用1+kT表示.即通项为展开式的第k+1
项: 1+kT=k
knknbaC-（此处强调通
项为展开式的第k+1项）
例1. 求（1+2x）7
的展开式的第四项的二项式系数和系数。 例2.求
9
)
1(xx-
的展开式中
x3
的系数。
【设计意图】熟悉二项展开式，培养学生的运算能力． (五) 归纳总结，布置作业
1．课堂小结：（先让学生归纳总结，其次教师作补充和强调。）
（1）回顾二项式定理的推导过程。 （2）强调二项式定理的公式特征。 2．课本作业1.2.3 【设计意图】
（1）通过小结，强化本节课所学的知识，使学生对本节课的知识脉络更加清晰。
（2）通过作业巩固所学知识，发现和弥补教学中的疏漏与不足，强化基本技能训练，培养学生良好的学习习惯和品质。
(六)课后反思
1．本节课以“二项式定理”的形成过程为主线，让学生思维由特殊到一般，演绎、归纳，得出定理，整节课以学生为主体，师生互动，体现了新课标的教学理念。
2．在例题、练习、作业的配备上，力求让学生处理每一个问题都必须有所思考，有所收获。总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．
(七)板书设计
（一）定理推导 PPT展示二次、三次、四次的二项式展开 规律总结 得出结论
二项式定理 （二）例题讲解 例1 例2
（三）小结
1）回顾二项式定理的推导过程。 2）强调二项式定理的公式特征。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
