人教B版高中数学选修2-3第二章1.3.1二项式定理-山东省

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视频课题：人教B版高中数学选修2-3第二章1.3.1二项式定理-山东省 - 济南

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1.3.1 二项式定理
一、教学目标
1．知识目标：掌握二项式定理及其简单应用
2．过程与方法：培养学生观察、归纳、猜想能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理能力以及科学的思维方式。
3．情感态度和价值观：培养学生勇于探索，勇于创新的个性品质，感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美。二、教学重点、难点
重点：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式难点：用计数原理知识探索发现二项式定理。三、教学过程（一）问题引入
问题1  abcd的展开式有多少项？
这个是最简单的多项式乘法，学生能够快速的说出答案。问题2  
2019
ab展开式中会有多少项？你能写出它的展开式吗？
这是个稍微难点的问题，难在2019次数太高，直接分析很难进行下去，这时我们不妨以退为进。
设计意图：由易到难抛出问题，再由难到易解决问题，激发学生的求知欲。
下面看几个次数比较低的情况

1
abab

2
222abaabb这是完全平方式




                            3
2
ababab学生处理基本上是按照先平方，再去乘以ab 
4
3
ababab四次方的处理，学生可以先算出3次方的，再乘
以ab ……

2019
?ab 2019次方的也按照上面的算法来算的话，就比较困难了。
顺势让学生思考如何用刚学过的计数原理知识来推导这些公式？带着这个问题，进入下面的引例。
引例：这里有3个盒子，每个盒子里都放有一个a球和一个b球，现从每个盒子里各取出一个球，你能取出什么样的球？想要得到2个a球、1个b球，你有多少种取法？
利用课件直观展示取球的各种情况，并对这些情况加以分类，用组合知识解释每一类的取球方法数。
设计意图：在学生推导3
ab的展开式之前，先建立一种直观、形象的思维模式，为下一步的类比打好基础、做好铺垫。（二）活动探究
探究1：类比取球过程，推导3
ab的展开式

3
ababababaaaaabababaaabbbabbbabbb
它的展开过程是从3个括号里各取一个字母，类比从3个盒子里各取一个小球。
（1）若每个括号都不取b，只有一种取法得到3a，即03C种
（2）若只有一个括号取b，共有1
3C种取法得到2ab
（3）若只有两个括号取b，共有23C种取法得到2ab




                            （4）若每个括号都取b，共有33C种取法得到3b
引导学生发现：原始展开式中确有同类项存在，且确实可省去“合并”
因此303122233
33
33abCaCabCabCb 探究2：仿照上述过程,推导4
ab的展开式。
在有了3
ab展开式的推导，学生不难得出4
ab展开后会有5项，
分别为432234,,,,aabababb，对应系数分别为01234
44444
,,,,CCCCC，所以
4
0413222
33
4
44444
4
abCaCab
CabCab
Cb 探究3：归纳猜想n
ab的展开式

1
01
11abCaCb 2
02122222abCaCabCb 3
031222333333abCaCabCabCb 
4
0413222334444444abCaCabCabCabCb
我们已经推导了3
ab和4
ab的展开式，再把1
ab和2
ab的展开式也写成这种形式，让学生观察这4个式子，回归刚才遗留下的

2019
ab的展开问题，继续观察这4个特殊的式子，让学生猜想更一
般的?n
ab
（三）概念形成让学生自己动手写出

011222*
n
nnnnrnrr
nn
nnnnnabCaCabCabCabCbnN
写的同时，让学生思考该公式展现了哪些规律？
设计意图：通过3个探究，让学生一步步去发现二项式定理的内容，让学生体验知识的形成、发展和演变过程。




                            这里研究的是两项nab的展开式，所以等号右边的式子叫做n
ab的二项展开式，该公式所表示的规律叫做二项式定理。问题  该公式表示了哪些规律？公式规律：
（1）项数：共有1n项（2）指数规律：
① 各项的次数都等于二项式的系数n（关于a与b的齐次多项式）
② 字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n
我们说字母a按降幂，字母b按升幂。实际上这是一种约定。因为我们展开式从左到右依次按照取出b球个数0个，1个，2个……n个进行分类的，如果按照取出a球的个数0个，1个，2个……n个进行分类的话，展开式的形式将会出现a升幂，b降幂，即

011222
*
n
nnnrrnr
nn
nnnnnabCbCabCabCabCanN
这样，展开式的最后结果是没问题的，但是每一项的位置将发生
改变，比如11nn
nCab是展开式的第二项，在按照a升幂，b降幂的展
开式的话就不再是第二项了，所以为统一要求，我们约定a降幂，b升幂。
（3）二项式展开式的通项：1rnrrrnTCab，0,1,2,,rn 问题：为什么不用rT作为展开式的通项？
有了通项之后，我们便可以处理任何一个式子二项展开之后的任何一项了。结合题目，帮助学生理解项，系数，二项式系数




                            的概念。
（4）二项式系数：依次为012,,,,r
n
nnnn
n
CCCCC。这里rnC（0,1,2,,rn）
称为二项式系数。（四）巩固练习
例1  （1）求5
1x的展开式；
      （2）求4
13

xx的展开式。
方法一：直接展开
方法二：先合并化简，再展开建议用第二种方法简单些。
思考：展开式中的第4项的系数是多少？展开式中的第4项二项式系数是多少？
设计意图:帮助学生进一步区分系数与二项式系数是两个不同的概念。
注意：二项式系数和系数是两个不同的概念，二项式系数就是一个组合数，与,ab无关；系数与,ab有关。
例2 已知在21
12
n
xx的展开式中，第9项为常数项，求：
(1) n的值；
(2)展开式中x5的系数； (3)含x的整数次幂的项的个数。
找学生爬黑板，学生做完以后，教师总结这类题目的一般步骤。（五）归纳总结




                            一、知识层面
1.掌握一个定理（二项式定理）

011222*
n
nnnnrnrr
nn
nnnnnabCaCabCabCabCbnN
2.区分两个概念（二项式系数与系数） 3.做题三个步骤（通项→求n→求特征问题）二、思想方法层面
1.转换、类比的思想。
2.从特殊到一般的数学思维方式。（六）作业布置： 1、巩固型作业：
  课本28页练习A组 2、3、4 2、思维拓展型作业：（查阅相关资料）
  （1）查阅有关杨辉一生的主要成就。
  （2）探究二项式系数012,,,,n
nnnn
CCCC有何性质。

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