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视频标签：正态分布
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视频课题：人教A版高二数学选修2-3第二章2.4《正态分布》第一课时-山东省 - 青岛
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《正态分布》教学设计
【教学内容解析】
本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-3中的2.4《正态分布》第一课时，属于新授概念课．
正态分布是选修2-3第二章随机变量及其分布的最后一节，本节课内容是在学生学习了离散型随机变量及其分布的基础上进行研究的，正态分布的随机变量是一种连续型随机变量，这让学生对随机变量由离散到连续有一个深入的认识.正态分布是高中学习内容中唯一一种连续型分布，它反映了连续型随机变量的分布规律，连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为，所以我们感兴趣的是它落在某个区间的概率.离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用分布密度函数（曲线）描述，本节课是对本章知识体系的一个完善，也是必修3统计和概率知识的一种拓展.同时本节课内容反映了数形结合的思想方法，以及统计思维与确定性思维的差异.
生活中除了离散型随机变量更多的是连续型随机变量的例子，因此正态分布在统计中是很常用的分布，它能刻画很多随机现象，广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中.从形式看，它属于概率论的范畴，但同时又是统计学的基石，它在概率和统计中占有重要的地位.一方面，本节课内容为学生初步应用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据；另一方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布都可以用正态分布来近似描述，因此在理论研究中，正态分布占有很重要的地位.
【学生学情分析】
所带班级的学生在通用技术课上自己制作过高尔顿板，课前也已经把高尔顿班的演示实验程序通过pad发送给学生，方便他们分组进行实验研究小球的分布规律.
认知基础方面：学生学习了统计与概率的相关知识，能够画出所给数据的频率分布直方图和频率分布折线图，并根据频率分布直方图和频率分布折线图初步分析数据的分布规律，具有一定的统计思想.大部分学生会用数形结合思想方法研究一些简单的数学问题，能够收集、整理和分析一些简单的统计问题.
但是，本节课需要学生由离散型随机变量到连续型随机变量，由离散型随机变量的分布列得到连续型随机变量的分布密度函数，这对学生来说是一个挑战，如何认识正态曲线的特点及其表示的意义也是学生学习的难点.
正态曲线的特点和意义学生可通过高尔顿板试验、画频率分布直方图和频率分布折线图的探究活动来学习，正态分布密度函数的得出需要教师给予适度的指导.
【教学目标设置】
课程目标是通过具体实例，认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义.在课程目标的指导下，根据前面的分析，确定了本次课的教学目标：
（一）通过数学试验、观察和理性分析，归纳小球分布的规律，感知引入正态曲线、正态分布的意义；借助图象认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义；
（二）通过经历正态分布概念的形成过程，体验从具体到抽象研究问题的方法，尝试用数据和图形理性分析问题、用规律推断解决问题的过程；
（三）通过数学史介绍正态分布密度函数，感受数学文化；通过数据的分析，能对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断.
教学重点：正态分布密度曲线的特点及其所表示的意义.
教学难点：正态分布密度曲线所表示的意义
【教学策略分析】
基于学生已经在通用技术课上自己制作了高尔顿板，以及学生思维从具体形象到抽象逻辑的特点，本节课在教学材料的组织上选择了学生进行高尔顿板试验、画频率分布直方图和频率分布折线图的活动.高尔顿板试验需要小组合作来完成，正态曲线特点及其所表示的意义需要在教师的指导下小组讨论交流，因此为了更好的让学生认识正态曲线的特点及其所表示的意义，本节课采用传统教学和信息技术相结合的手段，应用问题探究式教学方法，给不同认知基础的学生提供了自主探索、动手实践、合作交流的学习方式，使学生主动地学习，发挥学生的主动性.
【教学过程】
教学流程图：
一、情境引入——高尔顿板试验
学生没有接触过正态曲线，对正态曲线的来源也没有认识，因此，教师向学生出示高尔顿板模型引入本节课，并提出问题.为了增加趣味性，特意准备了一个数学家庞加莱买面包的小故事并播放小视频《统计的乐趣》，视频中对高尔顿顶板的实验装置做了说明。
问题1：同学们是否见过此模型？在哪见过？
预设学生活动：学生不仅见过还在通用技术课上自己制作过高尔顿板，并知道高尔顿板试验是让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层障碍物碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.
活动1：高尔顿板试验
为了观察到小球的运动，得到小球的分布规律，我把全班分成6个小组，以小组为单位进行高尔顿板试验，并制作了预习任务单.
问题2：试验过程中，小球碰撞和落入的位置，随着试验次数增加，球槽中小球堆积的高度及形状特点.
学生以小组为单位边试验边观察，并思考教师提出的问题，教师以小组选派代表的方式总结小组的试验观察结果.
预设学生活动：学生能够观察到小球从高尔顿板上方下落的过程中，小球经过每一层都要和其中的一个障碍物发生碰撞，碰撞有两种可能，从左落下或从右落下，最后落入底部的球槽，小球落入哪个球槽是随机的；随着试验次数的增加，掉入各个球槽内的小球的个数就会越来越多，球槽中小球堆积的高度也会越来越高；随着试验次数增加，小球堆积的形状具有中间高两边低的特点，如果有学生观察出左右对称的特点，教师应给与鼓励和表扬.
【设计意图】采用高尔顿板试验的方法引入，一方面可以激发学生学习探究的兴趣，另一方面使学生对正态曲线的来源有一个直观的印象.
二、建立概念——钟形曲线——正态曲线——正态分布
（一）钟形曲线
感性认识要上升到理性认识，为方便研究问题，我们从左到右给球槽编号，小球落入哪个球槽是不是有一定规律可遵循.
问题3：如何用我们所学的知识研究落在各个球槽内的小球的分布情况？
生1：用表示球槽编号，则是一个随机变量，每投放一个小球就可以看做1个试验，重复投放
个小球，相当于做了次独立重复试验，某一槽中球的个数就是小球落在这个槽中的频数，可以在大量重复的试验下，用频率估计概率，列出球槽编号
的分布列；
生2：以球槽的编号为横坐标，可以画出小球分布的频率分布直方图.
学生讨论比较2种预案，哪种预案好？
预设学生活动：对于离散型随机变量而言，其分布列完全刻画了它的概率分布规律，但只能通过频率来近似，现在无法知道所构造的随机变量的分布列.而频率分布直方图更加准确直观形象，所以经过学生讨论用频率分布直方图进一步探究小球的分布规律.
【设计意图】借助频率分布直方图更加准确直观形象的研究小球的分布规律，为正态曲线的得出做铺垫.
活动2：画频率分布直方图
由于课堂时间所限，让学生在课前进行试验，并记录落入各个球槽内小球的频数，利用画频率分布画直方图，课上请1个小组的同学展示在课前画的频率分布直方图.教师出示课前收集到的其他小组画出的频率分布直方图，并思考下面问题.
问题4：观察频率分布直方图有何共同特点？
预设学生活动：学生可发现频率分布直方图具有中间高两边低（左右两边对称）的特点，并且频率分布直方图的外形与试验中小球的堆积形状是一样的.
【设计意图】引导学生归纳频率分布直方图的共同特点，有利于学生观察发现、归纳概括能力的初步锻炼，进一步加深正态曲线的印象.
活动3：画频率分布折线图
问题5：是不是只有小球的分布具有中间高两边低的特点？
预设学生活动：教师引导学生调用在必修3统计的学习中，收集过的身高、体重、成绩等数据，借助图形计算器，可以画出这些数据的频率分布直方图，发现这些数据都具有中间高两边低的特点.
既然这么多数据都具有中间高两边低的特点，我们有必要进一步研究它们的分布规律，教师引导学生画数据的频率分布折线图，并思考下面问题.
问题6：画出身高、体重、成绩等数据的频率分布折线图，随着试验次数增加或组距不断缩小，观察频率分布折线图有何特点？
组内讨论交流后，以小组选派的代表的方式请1-2名学生展示.
预设学生活动：随着试验次数增加或组距不断缩小，频率分布折线图的形状也越来越光滑.
【设计意图】为引入新知搭桥铺路，为了让学生由特殊到一般归纳正态曲线的概念做铺垫，同时也说明了正态分布在概率统计理论和实际应用中都占有重要的地位.
（二）正态曲线
对钟形曲线有了初步的认识，如何由钟形曲线得到正态曲线.
活动4：教师用计算机演示
教师借助几何画板演示，引导学生思考当试验次数增加或组距不断缩小时，频率分布折线图有什么变化特点？
预设学生活动：频率分布折线图越来越光滑，越来越像一条曲线.
【设计意图】这个步骤实现了由离散型随机变量到连续型随机变量的过渡，突破学生由离散到连续认知上的障碍.通过几何画板让学生直观形象地感受正态曲线的形成过程.
问题7：生活中我们是否见过类似形状的东西？
预设学生活动：象我们生活中的钟、铃铛等类似形状的东西，我们称之为钟形曲线. 【设计意图】引导学生，逐步经历概念的形成过程，初步体会正态曲线的特点.
对于这条钟形曲线，早在十八世纪30年代，棣莫弗、斯特灵等数学家经过十几年的努力，应用求导、
对数、无穷级数、积分、变量代换等数学方法就推导出这条钟形曲线就是函数的图象，其中
和
（
）为参数，我们称
的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.
【设计意图】对高中生学生来说，正态分布密度函数的推导是十分困难的，因此，从数学史的角度介绍正态分布密度曲线的解析式，既使学生易与接受又渗透了数学文化.
在对正态曲线认识的基础上进入理性分析，得到正态分布的概念.
（三）正态分布
知道了小球的分布规律是正态曲线，为了引导学生由正态曲线认识正态分布设计了下面的问题. 问题8：一个小球从高尔顿板口落下，会落在哪？为什么？
预设学生活动：一个小球从高尔顿板口落下，落在哪都有可能，但是，落在中间的可能性大，概率大.
问题9：如何计算小球落在某个区间内的概率？
引导学生思考当试验用的小球很小时候如何刻画小球的具体位置，学生能够想到用坐标，采用小组讨论的方式探究如何建立适当的坐标系，以及如何计算小球落在某个区间
的概率.教师巡视并参与学生
的讨论，做适当的指导.这样就需要我们建立适当的坐标系，如果去掉高尔顿板最下边的球槽，沿高尔顿板底部建立一个水平坐标轴，刻度单位为球槽的宽度，若用表示落下的小球第1次与高尔顿板底部
接触时的坐标. 引导学生认识
是一个随机变量，这样计算小球落在某个区间
的概率，就是求
.引导学生回忆频率分布直方图是用面积来表示概率的，这样学生能够结合定积分和概率的
知识，想到用曲边梯形的面积计算概率，进一步可以对求定积分来求曲边梯形的面积，这样曲边梯形的面积就是小球落在某个区间
的概率的近似值，即
＜
≤
≈
.
进一步引导学生思考，此公式是不是只对特殊的和成立.学生可以发现对于任意的实数和（
＜），随机变量都满足＜≤≈.
【设计意图】正态曲线的意义是本节课的重点也是本节课的难点，通过设疑，引起学生对问题的深入思考，通过复习、巩固原有知识，以确保新内容的自然引入，同时加深了对定积分几何意义的理解.以旧引新，虽然概念较抽象，但这样的处理过程学生不会觉得太突兀，易于接受新知识，引导学生逐步揭示正态曲线的意义.同时培养了学生把前后知识联系起来进行思维的习惯
表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标，
是一个随机变量，请同学们通过下面的
问题总结
是什么样的量？引入连续性随机变量。
【设计意图】分析的特点以及影响的因素，突破学生认知上的障碍，初步体会什么样的随机变
量
服从或近似服从正态分布.
由学生给出描述小球分布规律的正态分布的定义，教师给与补充进一步完善正态分布的概念.
一般地，如果对于任何实数，（＜），随机变量满足
＜≤＝，
则称随机变量服从正态分布，记为～，参数可以用样本的均值估计，可以用样本的
标准差估计.
在现实生活中，长度测量误差，某一地区同龄人群的身高、体重、肺活量等，一般都服从正态分布. 正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际中，正态分布在概率和统计中占有重要的地位.因此，在对概念有初步认识的基础上，就需要我们提升认知，探究正态曲线的特点.
【设计意图】体会正态分布广泛存在于自然界、生产和生活实际之中，正态分布在概率统计中占有重要的地位.
三、探究曲线特点
正态曲线一方面是函数的图象，另一方面正态曲线是刻画随机变量的概率
分布规律，因此我们可以从函数和概率两个方面探究正态曲线的特点.
问题11：结合的解析式及概率的性质，说一说正态曲线都有哪些特点？
预设学生活动：学生可以从函数的定义域、最值和对称性等方面探究曲线的特点，也可以利用图形计算器，画出函数的图象探究曲线的特点.
正态曲线特点
（1） 曲线位于轴上方，与轴不相交 （2） 曲线是单峰的，它关于直线
对称
（3）
曲线在
处达到峰值
（4）
曲线与轴之间的面积为1
为了调动学生的探究热情，采用组内合作，组间竞争的学习方式，分组讨论后采用小组选派代表的方式交流探究成果.
【设计意图】加深对正态曲线特点的认识，锻炼了学生表达能力.采用生生互动小组合作学习，培养学生的合作精神和竞争意识.
问题12：正态分布中的参数和可以用样本的均值和标准差去估计，正态分布完全由和确
定，如何研究两个参数对正态曲线的影响？具体如何操作？
预设学生活动：需要控制变量，让（或）固定，作出（或）取不同值的图象，观察正态曲
线的变化.
当一定时 曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移
当
一定时
曲线形状由
确定，
越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；
越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散
让学生明确任务之后请同学们分组讨论完成正态曲线特点的探究，考虑到各组的水平可能有所不同，教师巡视，对个别组做适当的指导.
【设计意图】让学生通过自主探索、小组合作交流的方式探究正态曲线的特点，突出了本节课的重点，也调动了学生学习的热情和主动性，提高合作交流的意识和能力. 四、3原则
列举生活中的实例，如床的长度，食品的保质期等等，让学生充分体会数学与生活的联系。
五、例题展示
例1： 在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ＞0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.2，求：
(1)X在(0,4)内取值的概率.
;
XP;
22
XP.
33XP.
由图可知，正态分布几乎总取值于区间
之内,而在此区间以外取值的概率只有0.0027, 由于这些概率值很小（一般不超过5％），通常称这些
情况发生为小概率事件.通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.
3,3
(2)P(X＞4)．
例2、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
例题用pad发送给学生，学生直接在pad上作答，提交之后展示正确解法，规范步骤。
六、归纳小结
为了进一步培养学生的概括和语言表达能力，课堂小结设置了3个问题：
（1）本节课我们学习的知识有哪些？
（2）在正态曲线、正态分布概念的得出和正态曲线特点的探究上，我们用了哪些研究问题的方法，体现了哪些数学思想？
(3)3原则是什么？ 七、当堂检测
1．设两个正态分布N(μ1，21 )(σ1＞0)和N(μ2，2
2 )
(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有 ( )
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1 ＞ σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
我们用一节课的时间认识了正态曲线及其所表示的意义，事实上，从历史上看，正态分布从1733年问世到作为分析统计数据的概率模型经历了100多年，经过棣莫弗、高斯、凯特莱和高尔顿等很多科学家的辛苦努力.课后请同学们查阅相关的资料，了解正态分布的发展史.
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
