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视频标签：信息技术应用,正态分布的影响
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视频课题：人教A版高二数学选修2-3第二章《信息技术应用对正态分布的影响》黑龙江省级优课
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信息技术应用,对正态分布的影响
一．教材分析： （1）地位：
正态分布是高中数学学习内容中新增的内容之一，是概率论与统计学的重要内容。一方面，它是在学生学习了总体分布后给出的一种自然界最常见的一种分布，它是学生进一步应用正态分布解决实际问题的理论依据，因此它起着承上启下的桥梁作用；另一方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布都可以用正态分布来近似描述。因此在理论研究中， 正态分布占有很重要的地位。 （2）作用：
在学习了离散型随机变量之后，正态分布作为连续型随机变量，在这里既是对前面内容的一种补充，也是对前面知识的一种拓展，是必修三第三章概率知识的后续。该节内容通过研究频率分布直方图、频率分布折线图、总体密度曲线，引出拟合的函数式，进而得到正态分布的概念、分析正态曲线的特点，最后研究了它的应用。 （3）编排：
旧教材采用直接给出正态分布密度函数表达式的方法，这使学生在很长一段时间里不理解正态分布的来源。新教材利用高尔顿板引入正态分布的密度曲线更直观，易于解释曲线的来源。正态分布是描述随机现象的一种最常见的分布，在现实生活中有非常广泛的应用。在这里学习正态分布，也有利于学生在大学阶段的进一步学习。
二．学情分析：
（1）认知结构：在必修三的学习中，学生已经掌握了统计等知识，这为学生理解利用频率分布直方图来研究小球的分布规律奠定了基础。但正态分布的密度函数表达式较为复杂抽象，学生理解比较困难。
（2）年龄特征：做为在学生高中阶段编排的知识点，学生在以往的经历与学习生活中对正态分布有所接触，但不知其理论，在教学中可引用学生较为熟悉的例子进行教学，例如一个班级的成绩分布，一个地区的人口年龄分布等。
三．教学目标：
（1）知识与技能目标：理解并掌握（标准）正态分布和正态曲线的概念、意义及性质，并
能简单应用。
（2） 过程与方法目标：能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律，引导学生
通过观察并探究
- 2 -
律，提高分析问题，解决问题的能力；培养学生数形结合，函数与方程等数学思想方法。 （3）情感态度与价值观目标：通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的学习态度、健康向上的人生态度，具有科学精神和正确的世界观、人生观、价值观，形成有责任感和使命感的社会公民。
四．教学重点：
本节课是概念课教学，应该有一个让学生参与讨论、发现规律、总结特点并给出定义、归纳方法的探索认识过程，其重点为正态分布的概念、正态曲线的性质和标准正态分布的一些简单计算。
五．教学难点：
正态分布做为一个高中新课程新引入的知识点，没有现成的教学经验，其概念难于理解，但在现实生活中有会经常遇见的一种分布，学生不熟悉其本身性质，概念中又涉及一些微积分知识，致使教师的教与学生的学都相对比较困难。
六．教学方法：
按照建构主义观点，教学不只是知识的传递，更应该是知识的处理和转换。因此，本节课主要采用“启发式教学”与“合作学习教学”的模式组织教学，凸现学生的主体地位，让教师成为学生数学活动的组织者、引导者、合作者，让学生通过函数观点主动建构出正态分布、 正态曲线和标准正态分布、标准正态曲线。其中主要的教学方法是讲授法，实验观察法。
七．设计思想：
（1）有序的教学，在基于课本讲解的基础上做适当的拓展，让学生有发展的空间，提高学生对知识追求的渴望欲。
（2）遵循教学的基本规律，根据学生特点，达到教学目标的要求。 （3）有目的有计划的教学，恰当解决教学过程中遇到的问题。
（4）完成教学要求同时，提升学生对真理的认同感，对科学对事物有自己的理解看法，最终对学生的情感价值观产生积极影响。
八．教学过程：（借助多媒体设备） （一）复习引入
总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线。 （二）导入新课
1. 利用多媒体设备掩饰高尔顿板试验
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（1）教师创设情境，为导入新知做准备。
（2）学生感悟体验，对试验的结果进行定向思考。
（3）学生经过观察发现：下落的小球在槽中的分布是有规律的。 （4）师生互动发现小球掉落发布情况为中间多两边少。 2. 用频率分布直方图从频率角度研究小球的分布规律
（1）观察频率分布直方图。
（2）学生依然发现频率的分布依然是中间多两边少。 3. 引入正态分布曲线
- 4 -
（1）学生看出其图像型如“钟”。 （2）引出正态分布的函数
22
()2,1
(),(,)2xxex
（3）简单介绍正态曲线
曲线中任意的一个x均对应着唯一的一个y值，经过拟合，这条曲线是（或近似地是）下列函数的图像： 22
()2,1
(),(,)2xxex
（即正态分布函数）
其中是圆周率，e是自然对数的底，实数和)0(为参数。我们称x,的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。 与分别反映的是均值与标准差。 （三）讲授新知 1. 正态分布函数
22
()2,1
(),(,)2xxex
记做),(~2NX，其中0,. 2. 正态分布曲线特点
（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交。
（2）曲线是单峰的，它关于直线x对称。 （3）曲线在x处达到峰值
21
.
（4）曲线与x轴之间面积为1.（其中面积的计算涉及积分内容，讲解点到即可。） 3. 函数与参数,之间的关系
（1）固定的值，观察对图像的影响
当值固定时，正态分布曲线位置由确定，曲线随之变化而沿x轴平移。
- 5 -
（2）固定的值，观察对图像的影响
当值固定时，正态分布曲线形状由确定，值越小，曲线形状越“瘦高，总统分布越集中；值越大，曲线形状越“矮胖”，总统分布越分散。
4. 曲线与x轴之间的面积为1。根据对称性知，随机变量X落在对称轴x两侧的概率都是21。请思考：对于任意一个随机变量X，如何求出落在给定区间],(ba内的概率？
一般的，如果对于任何实数a，b)(ba，随机变量X满足
,()()b
a
PaXbxdx（积分内容高中涉及不多，讲明积分作用即可）
- 6 -
（5）3原则
()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.
PXPXPX 68.3%
2σ
x
95.4%
4σ
x
99.7%
6σ
x
（四）练习巩固
例题1（呈现于PPT） 把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b，下列说法不正确的是（ C） A．曲线b仍然是正态曲线
B．曲线a和b的最高点的纵坐标相等
C．以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2 D．以曲线b为正态分布的总体的期望比以曲线a为正态分布的总体的期望大2 例题讲解分析： 学生独立分析，并学生间互问互检，质疑答辩。教师排难解惑，帮助学生巩固深化所学知识。 学生易分析知：正态曲线a经过平移仍是正态曲线，峰值不变。而曲线的左右平移与即均值（期望）有关。故C选项的说法不正确。
例题2（呈现于PPT） 某地区数学考试的成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如下图：
① 写出X的分布密度函数；
② 求成绩X位于区间68,52的概率是多少？ ③ 求成绩X位于区间68,60的概率是多少？
若该地区有10000名学生参加考试，从理论上讲成绩在76分以上的考生有多少人？ 例题讲解分析：
学生相互讨论，根据对称轴可知60，根据峰值可知8，代入正态曲线表达式可得：
20 40 60 80
100
y
281x
O
- 7 -
128
60,2
281
xe
x
由8,60知：
（1）6852XP＜XP＜6826.0
（2）6860XP＜68522
1
XP＜ 3413.0 4476＜＞XPXP7644121
XP9544.012
10228.0
例3 （呈现于PPT）设正态总体落在区间1,和区间,3内的概率相等，落在区间4,2内的概率为%74.99，求该正态总体对应的正态曲线的最高点的坐标。
例题讲解分析：
学生分析易知：落在1,和,3内概率相等知1,由区间4,2概率为99.74%，知431,231,即1，代入正态分布密度函数解析式知最高点的坐标为
21,
1. （5）布置作业
以课本习题做为基础布置相应作业练习。 九．教学反思：
（1）要有明确的教学目标，备课时要依据教材，但又不拘泥于教材，灵活运用教材。在数学教学中，要通过师生的共同努力，使学生在知识、能力、技能、心理、思想品德等方面达到预定的目标，以提高学生的综合素质。
（2）要能突出重点、化解难点，讲授重点内容，是整堂课的教学高潮。教师要通过声音、手势、板书等的变化或应用模型、投影仪等直观教具，刺激学生的大脑，使学生能够兴奋起来，适当地还可以插入与此类知识有关的笑话，对所学内容在大脑中刻下强烈的印象，激发学生的学习兴趣，提高学生对新知识的接受能力。
（3）要善于应用现代化教学手段，例如电脑软件PPT，MATLAB，几何画板等教学软件。 （4）根据具体内容，选择恰当的教学方法，每一堂课都有规定的教学任务和目标要求。所谓“教学有法，但无定法”，教师要能随着教学内容的变化，教学对象的变化，教学设备的变化，灵活应用教学方法。
（5）关爱学生，及时鼓励，充分发挥学生主体作用，调动学生的学习积极性切实重视基础知识、基本技能和基本方法，渗透教学思想方法，培养综合运用能力。 十．板书设计：
板式：
主板
副板1
副板2
内容如下
内容如下
内容视教学情况而定
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（具体内容见下页）
主板
信息技术应用,对正态分布的影响
一．正态分布函数
22
()2,1
(),(,)2xxex
记做),(~2NX，其中0,.其中是圆周率，e是自然对数的底，与分别反映的是均值与标准差。 二. 曲线与，关系
（1）当值固定时，正态分布曲线位置由确定，曲线随之变化而沿x轴平移。
（2）当值固定时，正态分布曲线形状由确定，值越小，曲线形状越“瘦高，总统分布越集中；值越大，曲线形状越“矮胖”，总统分布越分散。 三. 3原则
()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.
PXPXPX 副板1（ PPT中例题答案）
例一：曲线函数值增加2.
例二：8,60，128
60,2
281
xe
x
（1）6852XP＜XP＜6826.0
（2）6860XP＜68522
1
XP＜ 3413.0 4476＜＞XPXP7644121
XP9544.012
10228.0
例三：1
431,231,即1
最高点的坐标为
21,1 副板2（临时例题或草稿，可擦去部分）
视教学情况而定
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
