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视频标签：圆锥曲线,中点弦问题,点差法
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视频课题：人教A版高二数学选修2-1第二章有关圆锥曲线的中点弦问题-点差法-云南省优课
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有关圆锥曲线的中点弦 问题 ----点差法
习题2.3
一、教学目标：
1.知识与技能目标：掌握解决有关圆锥曲线的中点弦问题方法-----点差法 2.过程与方法目标:综合运用方法思想.数形结合.等价转换等方法解决问题,培养学生自主学习,综合分析能力。
3.情感他的与价值观：培养学生严谨的数学思维，提高学生知识迁移意识 二、重点与难点：点差法运用 三、教学方法:师生互动探究式教学法
四、教学过程:
引入：已知圆的 内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。
例1 已知直线L和椭圆12
42
2yx相交于A,B两点，)1,1(M为A,B的中点，求直线L的方程。
解：方法一：代入法
设两点坐标为),(11yxA，),(22yxB
（1） 当直线L斜率不存在时，显然不符合题意。
（2） 直线L斜率存在，设为k，则直线方程为：1)1(yxk
124
1)1(2
2
yxxky 将直线带入椭圆方程得：
0242)1(4)21(222kkxkkxk
221)
1(42
21kkkxx
2
1
k
所以所求直线为：2
3
21xy
4
2
2yx
分析：这种方法是运用方程的思想，直线与椭圆的交点也就是直线方程与椭圆方程的方程组的解。但是在解题中并没有把交点直接求出来，而是运用了韦达定理得到用k所表示的两根之和。这里把A,B的坐标设出来而没有求，也是设而不求的思想。
方法二：点差法
设两点坐标为),(11yxA，),(22yxB
124
1242
2222
121yxyx 两式作差得：
02
)
)((4))((21212121yyyyxxxx
变形可得：
22
2121212142))(())((a
bxxxxyyyy
2
1ABOMkk
2
1k
所以所求直线为：2
3
21xy
分析：这种方法利用了作差变形，直接得到了直线的斜率，对于解题十分方便。这里也没有求出点的坐标，也体现了设而不求的思想。
方法三：作差法
设两点坐标分别为：)2,2(),(yxByxA与
12)2(4
21242
22
2yxyx）（ 两式作差得：
2
321032xyxy即
分析：作差后直接得到一个关于x与y的方程，因为x与y就是直线
上的点，所以这个方程就是所求的直线方程。
例2、过椭圆
12
42
2
yx内一点M（1，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这
条弦所在的直线方程。
探究：是否存在直线L与双曲线 13
2
2
yx 相交于A,B两点，M(1，1)
为A,B的中点.
作业：是否存在直线L与双曲线12
4
2
2
yx相交于A,B两点，)1,2(M为A,B
的中点，求直线L的方程。
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