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视频标签：二项式定理,杨辉三角
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视频课题：人教版高中数学选修2-3第一章《1.3.1二项式定理 再探“杨辉三角”》福建省 - 泉州
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人教版高中数学选修2-3第一章《1.3.1二项式定理 再探“杨辉三角”》福建省 - 泉州
人教版选修2-3第一章第三节
再探“杨辉三角”
【教学目标】 知识与技能：
1、进一步探索杨辉三角中行、列数字的规律、特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质之间联系，并能归纳这些数字规律；
2、探索杨辉三角中行、列数字的规律、特点与其它数学对象之间的联系，让学生经历数学发现、亲身体验数学探究的激情和喜悦，激发学生学习兴趣，提高应用知识的能力，为数学探究、数学创造打下了坚实的基础.
方法与过程：
1、培养学生独立思考与相互交流结合的意识，使学生基本掌握“观察——分析——猜想——证明”的科学推理方法；运用了从特殊到一般的归纳猜想与证明的思想方法； 2、“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”——学会从多角度看问题，
3、通过探究杨辉三角与纵横路线图，培养学生形成知识间相互联系的意识，并形成探究知识、建构知识的研究型学习习惯，为进一步学习作好准备.
情感、态度与价值观：
1、了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国主义精神．
2、在知识的应用中，培养学生数学应用和科学研究的意识和能力，以及乐于探索、勇于创新的科学精神.
【教学重点、难点】
重点：杨辉三角的数或形规律的发现
难点：引导学生发现杨辉三角中的行、列的数字规律，并运用数学知识总结。
【教学方法与教学手段】
引导探索——合作交流——发现 计算机辅助教学
【教学过程】
一：引经据典，步入新课
(展示图片) 今天这节课，我们从一幅图画开始，大家认识这两个图案吗？这是我们华夏传说中的河图、洛书。“河出图，洛出书，圣人则之”，伏羲根据河图演绎了八卦，大禹依据洛书划分了九州。由此可以说河图、洛书是我们华夏文化的起源。可你们知道吗，河图、洛书其实也是世界上最古老的数阵。
什么是数阵呢？将数字按照一定顺序组合成图形就是数阵。
今天这节课，我们就一起来研究一下数阵。当然，对于一个新的内容，我们需要一个研究的载体。所以，我们从一个特殊的三角数阵开始。
大家认识这个数阵吗？(生:杨辉三角)在古代，我们称它为“开方作法本源图”。而在现代，它还有另外一个名字——杨辉三角。
杨辉三角在整个数学史中扮演着重要的角色：北宋的贾宪用它手算高次方根；元朝的朱世杰用它研究高阶等差级数（垛积术）；牛顿用它算微积分；华罗庚老先生思路更广，差分方程，无穷级数都谈到了。
那么，我们又能从杨辉三角中探寻到哪些秘
人教版选修2-3第一章第三节
密呢？让我们一起来研究一下。 二：复习回顾，总结已知
杨辉三角在我们学习二项式系数的性质时已经有所接触。那么,我们已经学习过杨辉三角的哪些性质呢？我请一位同学来回答一下。 杨辉三角的基本性质：
1°与二项式定理的关系：杨辉三角的第n行就是二项式展开式的系数列
rn
C。
2°对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”，即。 3°递推性：杨辉三角除斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和，即。 4°增减性与最大值: 从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减小；当n为偶数时，2nn
C最大；当n为奇数时，1
122nnn
n
C
C
最大。
三：小组合作，共探新知
当然，在研究之前，我们首先需要来一起探讨一下，我们该如何去研究杨辉三角呢？ 苏轼有一首诗对我很受启发。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。”这是苏轼的《题西林壁》。这首诗告诉我们需要从不同的角度看待一项事物。我们研究杨辉三角时，是不是也可以从这些“横看”、“侧看”、“远看（整体）”、“近看（局部）”这几个角度出发呢？下面，就让我们从这四个角度出发，用数字格式的杨辉三角观察规律，用组合数格式的杨辉三角总结规律，并加以证明。
..........
.......... 1
8285670562881172135352171161520156115101051146411331121111 01210012111121110166
5646362616065545352515054
43424140433
2313032212021
10
1
..
..........1
n
nnrn nnnnnn-r n-rn-n-n-n C C ... .. C . C CC C... C C ... C C CC C C C C C CC C C C C CC C C C CC C C CC C CC CC
（接下来为6分钟左右的学生探讨）
四：个人展示，分享所得
第一位（侧看）:
生：我们组发现： 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15
每一斜行前n个数加起来都是下面一行的第n个数。 师：你们是如何发现这个结论的？
生：我们是从求和的角度来研究的，既然横的一行相加存在规律，那么斜的一行加加看是不是也可以得到一些结论？
师：你能用组合数来表示么？简单点，第二斜行相加用组合数来表示一下。
生：2
1114131211...nnCCCCCC
师：那么推导到一般情形呢？
生:
师：非常好！
第二位（横看）:
生5:我们发现单纯用数字的角度去看的话，每一行都是11的次数。
nba)(r
nnr
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nCcC11)(1
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人教版选修2-3第一章第三节
第一行11的0次，第二行11的1次，第三行121是11的2次，我们验算了一下，11的3次正好是第四行1331，因此我们猜测将杨辉三角第n行数字依次写下来是11的n-1次。
师：11的1次为11，11的2次121， 11的3次1331好像确实是这样。 那么我们一起来帮他们验算一下11的4次？ 生：14641
师：那么11的5次是多少呢？我们来一起算一下。 生：11的5次为161051。
师：太可惜了，这是一个多么美好的结论啊，问题出在哪儿呢？我们一起来看一下，同学们，我们11的4次是如何计算的啊？总不会是11×11×11×11得到的吧？
很显然不是，我们是通过1331×11计算得到的。从这里我们会发现，14641其实是两个1331错位相加得到的。那么11的5次是不是也是由两个14641错位相加得到？而在这个过程中，出现了一个问题，大家发现了没有？
生：进位了！
师：非常好，这里产生了进位，于是就出现了问题。所以我们是不是只需要把这个结论改一改，将杨辉三角中每一行数字错一位叠加所得到的结果是11的若干次。
第三位（近看）：
生:既然杨辉三角每一行的和存在规律，那么每一行的平方和是不是也有规律呢？通过计算，第二行的平方和为2，第三行的平方和为6，第四行的平方和为20，这些数都能在杨辉三角中找到。我们就得到结论：杨辉三角中每一行数的平方和都是杨辉三角中的数。
师：能用组合数来表示吗？
生：n
nnnnnCCCC222120)(...)()(
师：又是一个非常好的结论！通过前面几行验证，我们发现确实是这样。那么，这个结论是否正确呢？我们该如何去证明呢？由于时间的关系，我们这里不再做展开。希望大家在课后做进一步的研究与探讨。
第四位（斜看）：
生：我们组是从斜的角度去看：杨辉三角中斜的每一行都是一个数列，第一行是一个常数数列，第二行是等差数列，第三行也是一个数列，我能写出他的通项公式。
师：这个结论看上去简单，却是一个非常好的结论！通过观察，我们发现每一斜行都是一个特殊的数列。
第五位（远看）：
生：将杨辉三角30°角斜行加起来得到数列1、1、2、3、5、8、13、21、34 、55 、89 、144 …每一项都是前两项之和。
师：是如何发现的？
生：通过书上的提示得到的。
师：查找资料也是一种非常好的研究方式。
五：杨辉三角与纵横路线图
“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处 (只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？
六：教师补充，再得新知 那么我这边还有一些有趣的结论。
其实我们在研究过程中，不要被自己的惯有思维所约束。我们为什么一定要把杨辉三角放成等边三角的形式呢？有些人就不这么认为，他把杨辉三角摆放成直角三角，也得到了一些有趣的结论。再比如，我们在看数的时候，为什么一定要从数值的角度去研究呢？是不是也可以从正负的角度或者奇偶的角度去研究呢？当我将杨辉三角中的奇数改为“1”，偶数改为“0”。大家看，是不是会得到一个有趣的图形？其中第2的k次行均为奇数，奇数行的下面一行除两端之外均为偶数。
并且，我将杨辉三角中的“1”用线段连接起来，就可以得到一个有趣的三角形——歇尔宾斯基三角。
A
B
人教版选修2-3第一章第三节
这是一个自相似图形，对歇尔宾斯基三角进行拓展：谢尔宾斯基塔（三棱锥）——谢尔宾斯基地毯（正方形）——谢尔宾斯基海绵（正方体）。我们就诞生了一门新的数学分支——分形数学。
分形数学与我们的生活息息相关，比如说股票的预测、气象预报等。并且有许多优美的图案，这些图案并不是出自艺术家的手笔，而是数学的杰作！
这就是数学之美，数学中充满了美！再比如刚才我们得到的斐波那契数列，它也有许多优美的内容。关于斐波那契数列，我们会在下一堂课中专门来介绍它。 七：探究小结,盘点新知
1、运用了联系、类比的观点看问题；
2、运用了从特殊到一般的归纳猜想与证明的思想方法； 3、“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”——学习了从多角度看数阵； 4、锤炼发现问题、提出问题、解决问题的能力 八：作业：
最后，我有两个任务。通过今天的研究，我们已经把杨辉三角的秘密都找到了吗？（生：没有）当然没有，我在课堂的开始就讲过，贾宪用它手算高次方根，那么它是如何计算的呢？牛顿的微积分与它有一定的关联，关联在哪呢？我希望大家课后查找资料，并阅读华罗庚先生的《从杨辉三角说起》，去寻找这些答案，看看杨辉三角中还有哪些我们没发现的秘密。
同时，运用我们今天所学的探究方法，研究莱布尼茨三角，你能从个数阵中发现哪些秘密呢？
“杨辉三角”中的一些秘密
班级____姓名_____
阅读材料：杨辉三角的历史
《易·系辞上》：“河出图，洛出书，圣人则之。”相传，伏羲在黄河边思考天地的至理，突然，一匹龙马从黄河中奔腾而出，伏羲发现，龙马的身上又一幅图画，伏羲从图中领悟了八卦，这幅图就是传说中的河图。大禹在治理洪水时，有一只大乌龟从洛水中浮出，背上刻有纹理，大禹依据这些纹理划分了九州，这些纹理就是洛书。河图，洛书是我们华夏文化的起源，同时，他们也是世界上最古老的数阵。数阵的概念与数列很相似，我们将数字按一定的顺序排列成图形就构成了数阵。
杨辉三角就是一个特殊的数阵，其最早出现在北宋贾宪的“开方作法本源图”中，南宋时期的杨辉在他的著作《详解九章算术中》引用了这幅图，并注明了“出释锁算书，贾宪用此术”。元朝的朱世杰对杨辉三角作了进一步研究，从中推导出了高阶差分数列的求和。
在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了这个三角,所以“杨辉三角”在国外又被称为“帕斯卡三角”。世界著名数学家华罗庚在他的《从杨辉三角谈起中》将其称为“杨辉三角” ，于是才有了“杨辉三角”的说法。近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle）
杨辉三角在整个数学史中扮演着重要的角色，宋朝的贾宪用它手算高次方根，元朝的朱世杰用它研究高阶差分数列（垛积术），牛顿用它算微积分。,华罗庚老先生思路更广，差分方程，无穷级数都谈到了。同学们，我们又能发现杨辉三角的哪些秘密呢？
一:回顾杨辉三角
第 1行 1
第 2行 1 1
第 3行 1 2 1
第 4行 1 3 3 1
第 5行 1 4 6 4 1
第 6行 1 5 10 10 5 1
第 7行 1 6 15 20 15 6 1
第8行_________________________________________
……………………………..
我们已经学习过杨辉三角的哪些性质？
______________________________________________________________
______________________________________________________________
三:初探杨辉三角
研究角度一：
第 1行 1
第 2行 1 1
第 3行 1 2 1
第 4行 1 3 3 1
第 5行 1 4 6 4 1
第 6行 1 5 10 10 5 1
第 7行 1 6 15 20 15 6 1
第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1
第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
第10行 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
第11行 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
第12行 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
第13行 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
第14行______________________________________________________________________
……………………………..
第n+1行_______________________________________________________________________
归纳：用组合数表示杨辉三角：
猜想：
结论1：_______________________________________________________________________
结论2：_______________________________________________________________________
结论3：_______________________________________________________________________
结论4：_______________________________________________________________________
结论5：_______________________________________________________________________
证明：
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
四:再探杨辉三角
研究角度二
第 1行 1
第 2行 1 1
第 3行 1 2 1
第 4行 1 3 3 1
第 5行 1 4 6 4 1
第 6行 1 5 10 10 5 1
第 7行 1 6 15 20 15 6 1
第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1
第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
第10行 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
第11行 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
第12行 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
第13行 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
提示：将杨辉三角摆放成直角三角形，谈谈你们组的发现
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研究角度三
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 3 6 10 15 21 28 36
1 4 10 20 35 56 84
1 5 15 35 70 126
1 6 21 56 126
1 7 28 84
1 8 36
1 9
1
提示：将杨辉三角摆放成以上形状，谈谈你们组的发现
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
五:三探杨辉三角
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
提示：将杨辉三角中的奇数涂黑，又会有怎样的发现？
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六:小结与收获：通过本节课，你对数阵的研究有什么心得？
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七:课后探索
1查找资料，并阅读华罗庚的《从杨辉三角说起》，看看杨辉三角中还有哪些我们没发现的秘密。
2用我们今天所学的探究方法，研究莱布尼茨三角，你能从个数阵中发现哪些秘密呢？
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
