联系本站客服加+微信号15139388181 或QQ：983228566 |
视频标签：组合
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：高中数学人教A版版选修2-3 1.2.2《组合》吉林省优课
本视频配套资料的教学设计、课件 /课堂实录及教案下载可联本站系客服
高中数学人教A版版选修2-3 1.2.2 《组合》吉林省优课
§1．2．2组合
教学目标：
知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与区
别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。
过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数mn与组合数 之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。
情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。
教学重点：组合的概念和组合数公式 教学难点：组合的概念和组合数公式 授课类型：新授课 内容分析：
排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.
指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.
能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.
学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.
排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.
教学过程：
一、复习引入：
1．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按
照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．
2．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个
元素中取出m元素的排列数，用符号m
nA表示
3．排列数公式：(1)(1)(2)(1)mnAnnnnm（,,mnNmn）
(2)m
nA=
!
()!
nnm
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活
动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引导观察：问题1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而问题2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合．．
． 二、讲解新课：
1.组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 练习1．判断下列问题是组合还是排列
1、从1，2，3„„9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ 2、从1，2，3„„9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？
3、设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个? 4、某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?
有多少种不同的火车票价？ 问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？
（2）什么样的两个组合就叫相同的组合 2．组合数的概念：从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数．．．．用符号m
nC表示． 3．组合数公式的推导：
（1）从4个不同元素,,,abcd中取出3个元素的组合数3
4C是多少呢？
m
nC
启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．
，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数3
4A可以求得，故我们可以考察一下34C和3
4A的关系，如下：
组 合 排列
dcb
cdbbdcdbccbdbcdbcddcacdaadcdaccadacdacddbabdaadbdabbadabdabdcbabcaacbcabbacabcabc,
,
,
,,,,,,,,,,
,,,,,
,, 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素
的排列数34A，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有3
4C个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A种方法．由分步计数原理得： 34A＝
34C33A，所以，33
343
4AAC．
（2）推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数m
nA，可以分如下两步： ① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数m
nC；
② 求每一个组合中m个元素全排列数mmA，根据分步计数原理得：mnA＝mnCmm
A． （3）组合数的公式：
(1)(2)(1)
!
mmnn
mmAnnnnmCAm
或)!
(!!
mnmnCm
n
),,(nmNmn且
规定: 0
1nC.
练习2.计算：⑴ 47C ⑵7
10C （3）已知：2
3nnAC ，求n的值 例1．求证：1
1
mnm
nCm
nmC． 证明：∵)!
(!!
mnmnCm
n
11
1!
(1)!(1)!
mn
mmnCnm
nmmnm
＝
1!
(1)!()(1)!mnmnmnm
＝
!
!()!
nmnm
∴1
1
mnm
nCm
nmC 例2．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？
(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？
解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取
出2个元素的组合数，即线段共有210
109
4512
C
（条）. (2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向
线段共有2
1010990A（条）.
例3．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .
(1）有多少种不同的抽法？
(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？
解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有
3
100
1009998
123
C
= 161700 （种）.
(2）从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有1
2C种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品
的抽法有298C种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有12
298
CC=9506(种). (3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2 件
次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有12298
CC种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有
12298CC+21
298CC=9 604 （种） .
解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3 件
的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即
33
10098
CC=161 700-152 096 = 9 604 （种）. 例4． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比
赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：
(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？
(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17
个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．
解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有11
17C ＝ 12 376 .
(2）教练员可以分两步完成这件事情：
第1步，从17名学员中选出 n 人组成上场小组，共有11
17C种选法； 第2步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有111C种选法． 所以教练员做这件事情的方法数有1111711
CC=136136（种）. 说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。
六、小结 ：组合的意义与组合数公式；解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理 七、课后作业：见教材课后题 八、板书设计（略）
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
