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视频标签：组合数的性质
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视频课题：人教A版高二数学选修2-3第一章1.2.2组合数的性质-四川省优课
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1.2.2组合数的性质教学设计
一、教材的地位和作用
本节课是选修2-3第一章计数原理的第二节组合的内容。“组合数的两个性质”是学生学习了排列、组合以及组合数公式等知识的基础上提出来的,与数学归纳法有内在的联系。通过性质的学习,一方面可以加强组合数公式的计算、变形能力简化组合数的计算。另一方面也为以后学习《二项式定理》等内容提供了理论基础。故组合数性质是一个承上启下的内容。同时,本课题能使学生掌握特殊到一般和一般到特以及观察、猜想、归纳的思想方法;对培养学生观察、析、综合、抽象和概括的能力有重要作用。
二、学生情分析
从学生的认知角度来看,学生很容易在应用性质2的公式时出错,因为抽象成为形式(及其符号的演算)的数学,虽然很简洁,也具有很大的一般性(从而有它的广泛应用性),但会给学生带来了领悟与学习上的困难,所以理解和领悟性质2的本质成为本节课学生学习的难点,对学生的思维是一个挑战。
另外教学对象是高二的学生,虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成,但由于年龄及职高生数学基础等原因,思维尽管活跃、敏捷,却注意力分散,缺乏冷静、深刻,因而片面不够严谨。
三、教学目标：
1、知识与技能
(1)掌握组合数的两个性质,并能运用组合数的性质解决一些实际问题;
(2)培养学生发现知识、应用知识的能力,培养独立分析问题解决问题的能力,养成良好思维与学习习惯。 2、过程与方法
根据本节课的内容和学生的实际水平,通过具体的实例观察、分析,归纳总结出组合数的两个性质,培养学生从特殊到一般的重要思想方法。
3、情感、态度与价值观
从具体实例入手,帮助学生领悟数学是来源于生活并服务于生活的思想,激发学生的学习兴趣和学好数
学的信心从而更加热爱数学。鼓励学生通过观察类比提高发现问题、 分析问题、解决问题的能力,增强学生数学思维情趣,形成学习数学知识的积极态度
四、教学重点和难点：
重点:组合数的两个性质及其应用。
难点:组合数两个性质的理解及灵活应用(特别是第二个性质的理解与应用)
五、教法学法分析
1、教法分析
由于性质本身比较简单,其发现过程易于组织成师生互动的教学活动,故教学方法以启发学生观察思考分析讨论为主,两个性质的得出均采用由特殊到一般、由具体到抽象的方法,让学生经历知识的形成、发展过程,帮助学生认识数学的本质。另外,采用多媒体辅助教学,直观呈现素材,激发学生兴趣,提高教学效率。
2、学法分析
学生在教师创设的问题情景中,通过观察、分析、思考、探究、概括、归纳得出性质,体了学生的主体地位,培养了学生由具体到抽象,由特殊到一般的数学思维能力,形成了实事求是的科学态度,增强了锲而不舍的求学精神。
六、 教学过程分析
一、复习引入：
12组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同
2．组合数的概念：从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素
中取出m个元素的组合数．．．
．用符号m
nC表示． 3．组合数公式的推导：
（1）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数m
nA，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数mnC；② 求每一个组合中m个元素全排列数mmA，根据分步计数原理得：mnA＝mnCm
m
A． （2）组合数的公式：
(1)(2)(1)
!
mmnn
mmAnnnnmCAm
或!
!()!
mn
nCmnm
)
,,(nmNmn且【来源：全品…中&高*考*网】
二、讲解新课：
探究一：组合数的性质1
引例1：计算两个组合数7
10C；3
10.C
问题1：为何上面两个不同的组合数其结果相同？怎样对这一结果进行解释？
从10个元素中取出7个元素后，还剩下3个元素，就是说，从10个元素中每次取出7个元素的一个组合，与剩下的(10-7)个元素的组合是一一对应的。因此，从10个元素中取7个元素的组合，与从这10个元素中取出(10-7)个元素的组合是相等的。
即：=7
107
31010
10
CCC. 问题2：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？
一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下nm个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n - m个元素的每一个组合一一对应．．．．
，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n - m个元素的组合数，即：m
nn
mnCC．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想
证明：∵)!
(!!
)]!([)!(!mnmnmnnmnnCmnn
又 )!
(!!mnmnCm
n
，∴mnnmnCC
总结：
组合数的性质1：m
nnmnCC． 说明：①规定：10nC；
②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；
③ynx
nCCyx或nyx．
探究二：组合数的性质2
引例2 :一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球 ①从口袋里取出3个球，共有多少种取法？
②从口袋里取出3个球，使其中含有一个黑球，有多少种取法？ ③从口袋里取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
答案：①=3856C；②=2721C；③=353
7C. 从引例中可以发现一个结论：=332877
CCC. 对上面的发现(等式)作怎样解释？
一般地，从121,,,naaa这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是mnC1，这些组合可以分为两类：
一类含有元素1a，一类不含有1a．含有1a的组合是从132,,,naaa这n个元素中取出m 个元素与1
a组成的，共有1mnC个；不含有1a的组合是从132,,,naaa这n个元素中取出m个元素组成的，共有mn
C个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．
2．组合数的性质2：mnC1＝mnC+1mn
C． 1
!!
!()!(1)![(1)]!mmnn
nnmnmmnmCC
证明：
!(1)!(1)!
!(1)!!(1)!nnmnmnmmnmnmmnm
1(1)!.![(1)]!
m
nnmnmC
1
1.mmm
nn
nCCC
三、典例分析
例1：计算+23332
9999898
(1);(2)2CCCCC 例2：求证
111111112(1);(2)2mmmmmmmmnnnnnnnnCCCCCCCC
课堂练习
1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有 种 。
2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 种。
四、课堂小节
本节课学习了组合数的两个性质：
组合数的性质1：mnnmnCC． 组合数的性质2：mnC1＝mnC+1mn
C． 五、作业布置
1、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数为（ ）
323
28778.()()ACCCC 32328778.()()BCCCC
32328778.CCCCC 321
8711.DCCC 2、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ ）
2353.ACA 33
53.2BCA 3
5.CA 233535.2DCAA
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