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视频课题：高中数学人教A版版必修3.1.1 两角差的余弦公式_广西省优课
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高中数学人教A版版必修3.1.1 两角差的余弦公式_广西省优课
《3.1.1两角差的余弦公式》教案
人教版 高一数学 必修4
一. 教材分析
本节课选自人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节课“3.1.1两角差的余弦公式”。变换是数学的重要工具，而三角恒等变换处于三角函数知识与数学变换的结合点和交汇点，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材。两角差的余弦公式是“三角恒等变换”这一章的基础和出发点，公式的发现和证明是本节课的重点，也是难点。
教材选择两角差的余弦公式作为基础，其基本出发点是使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力。教材里面没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行，从简单情况入手得出结果，有利于学生学会探究和思维的发展.
由于本节课可以从不同的角度提出不同的问题，并且可以用不同的途径与方法解决问题，因此本节课为学生的思维发展提供了很好的空间和平台，教师要注意引导学生用观察、联想、对比、化归等方法分析问题，寻找解决问题的思路.
二. 教学目标
1. 知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础.
2. 过程与方法：在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题、合作交流的能力；通过两角差的余弦公式的简单运用,掌握不同方法求值.
3. 情感态度：通过课题背景的设计，增强学生的探究、应用意识，认识到数学来源于生活，激发学生的学习积极性.
三．教学重、难点
1. 重点：两角差余弦公式的探究、证明过程和公式的初步应用. 2. 难点：探究过程的组织和适当引导.
四．学情分析
学生已经掌握了利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数，也学习了同角三角函数式的变换；理解了平面向量及其运算的意义，并能用数量积表示两个向量的夹角，经历了用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，具有一定的推理能力、运算能力和解决实际问题的能力，但利用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误，教学时需要引导学生搞清楚两角差与相应向量夹角的联系与区别.
五. 教法、学法
1. 教法：问题驱动、引导发现、合作探究相结合的教学方法展开教学.
2
2. 学法：课前预习、小组探究、反思小结等.
六. 教学过程
（一）创设情境，引入课题
金城超市电梯长度约为8米，坡度（与地面夹角）约为30度，请问当我们上完电梯后，在水平方向上前进了多少米？
设前进量为x米，则3430cos8x米
提问：当电梯坡度为45度时，其他不变，x等于多少？
答：2445cos8x米
提问：当电梯坡度为15度时，此时x又等于多少？ 答：15cos8x米
问题1：15cos等于多少？能否用特殊角三角函数值来表示？
【设计意图】从学生的实际生活出发，自然地引出问题，培养学生把实际问题抽象为数学模型来解决的能力，让学生感知数学来源于生活，并应用于生活，激发学生的学习兴趣；
（二）探究归纳，提出猜想
问题2：对任意的,，coscos)cos(是否成立？ 1. 思考：15能否用特殊角表示？ 预案1：)3045cos(15cos
问：30cos45cos15cos是否成立？为什么？ 预案2：)4560cos(15cos
问：45cos60cos15cos是否成立？为什么？
【设计意图】让学生经历提出假设 证明假设的过程，知道要证明一个假设不成立，只需举出反例即可，即明白特殊与一般的辩证关系。
2. 探究：15cos能否用特殊角三角函数来表示？如何表示？
提示：构造特殊三角形或利用单位圆、向量知识 预案1：构造直角三角形 321
BCAB 26AC 8 m
x
30
A
B
C
150
D
1
3
42
62
63215cos
ACBC 预案2：利用单位圆、向量知识
得出结论：30sin45sin30cos45cos)3045cos(
提出猜想：对任意的,，都有sinsincoscos)cos(.
【设计意图】通过求15cos的值，让小组展示成果，不仅培养学生合作探究能力、表达能力，还培养了观察能力、归纳能力，并由此提出猜想，使学生懂得如何探究问题，从特殊情况迁移到一般情况下的讨论，为下个环节能突出重点起到铺垫作用。
（三）小组合作，证明猜想
问题3：以上探究15cos值时，都是用到特殊角来求值，对一般情况下的角是否成立？
探究：证明对任意的,都有sinsincoscos)cos(. 预案1：利用单位圆、向量知识。
问题4：如何探讨,的任意性？
若 则 而
O
x
y
O
x
y
30
30
45 B)45sin,45(cos
A)30sin,30
(cos OBOA)
30sin,30(cos)45sin,45(cos
30sin45sin30cos45cosOBOA又
cosOBOA)
3045cos(cos
30sin45sin30cos45cos)3045cos()sin,(cosOA)
sin,(cosOB)
sin,(cos)sin,(cosOBOA
sinsincoscos)
cos(AOBOBOAOBOA又
sinsincoscos)cos(
cos)2cos()cos(k
sinsincoscos)cos(
k2
sinsincoscos
4
预案2：利用三角函数线
此时，过P点作垂线PA ⊥OP1于点A， PM ⊥Ox于点M. 过A点作垂线AB⊥OM于点B， 过P点作垂线PC ⊥ AB于点C.
则 PAC
定义： ,，都有sinsincoscos)cos(，称为差角余弦公式。 记为：ssccC)(，特征：任意角、同名积、符号反
【设计意图】本环节由小组展示探究过程，让学生根据已有的经验（探究15cos）去证明一般情况下的结论，符合学生的思维发展规律。通过各种方法的证明和教师适当的点评、指导，起到突出本节课重点的作用。在探究角的任意性过程中，也培养了学生严谨的逻辑思维能力。
（四）.小试牛刀，学以致用
例1：利用差角余弦公式求15cos的值？
法1：30sin45sin30cos45cos)3045cos(15cos
4
262
12
22
32
2
法2：45sin60sin45cos60cos)4560cos(15cos
4
6
222232221
变式1：利用差角余弦公式求75cos的值？
法1：45sin120sin45cos120cos)45120cos(75cos
222322214
2
6
法2：)30sin(45sin)30cos(45cos)]30(45cos[75cos
30sin45sin30cos45cos
21222322
4
2
6
O x
y
xOPOM)cos(CP
OBBMOBOM
sincosAPOA
sinsincoscos
sinsincoscos)cos(
5
【设计意图】通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础；通过变式的应用，培养学生用多种方法解决问题的能力。
（五）课堂小结，回顾反思
1.这堂课你学到了什么内容？如何学习的？ ①学习了差角余弦公式；
②假设猜想—反证否定—用向量、三角函数线探究公式—证明结论—公式应用 2.学习与应用过程中，你有什么体会？
①证明一个假设不成立，只需举出反例即可。
②探究证明公式过程中，可以通过特殊情况去讨论证明一般情况。 ③公式应用中，可以有不同的解题方法。
【设计意图】让学生对探究的过程与思路、方法有一个清晰的认识，进一步达到“教思维”的目的。
（六）布置作业，巩固提高
1. 基础必做题（四选三）：课本P137习题3.1第2、3、4、5题； 2. 合作探究题：猜想并证明)(C和)(S；
3. 拓展选做题：求 的值.
七.板书设计
八．教学反思
（一）亮点
1.理念新：努力落实“授人以鱼的同时授人以渔，授人以‘愉’的同时授人以‘欲’”设计理念。
2.主线明：综合知识生长路线和学生认知路线，教学路线清晰：提出模型，理解模型，巩固模型，完善模型，拓展模型。
3.辅线实：数学抽象、模型、审美、数形结合等数学思想方法渗透丰实，精读教材、观察猜想、合作交流、小结反思等学法指导扎实。
（二）不足
1.训练少：学生理解多，但训练少，可能会导致技能掌握不扎实。
2.探究思维难度大：部分后进生可能没办法独立思考，理解探究的方法。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
