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视频课题：高中数学人教A版选修1-1第二章2.2.1《双曲线及其标准方程》山西省优课
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高中数学人教A版选修1-1第二章2.2.1《双曲线及其标准方程》山西省优课
《双曲线及其标准方程》教学设计
一、教材分析
本课是在学生学习椭圆相关知识的基础上进行的，而双曲线和椭圆同属圆锥曲线，研究方法类似，因此本课可作为对椭圆研究过程及研究方法的复习巩固，并借此培养学生对相似知识点的类比学习能力。同时，它还为下一步学习抛物线打下基础，具有承上启下的作用。 二、教学目标
（1）知识目标
掌握双曲线的定义,能建立恰当的直角坐标系，推导得出双曲线的标准方程，并会利用其方程进行简单应用。 （2）能力目标
培养学生实验、归纳、推导、应用的能力，并从中体验类比思想。
（3）情感目标
在引导学生通过自主探究，解决问题的过程中，激发他们的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。 三、教学重点 双曲线的定义和双曲线的标准方程。 四、教学难点 双曲线标准方程的推导。 五、教学方法
以问题为载体，学生活动为主线，以多媒体辅助教学为手段，利用探究式教学法，构建学生自主探究、合作交流的平台。
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六、教学流程
复习回顾，提出问题 → 实验探究轨迹形状 → 归纳总结，得到双曲线定义 → 推导双曲线的标准方程→ 简单应用，巩固新知 →自我小结，知识内化 七、教学过程
1.复习回顾，提出问题
教师：（通过幻灯片）引导学生复习椭圆相关知识的学习过程：实验探究轨迹形状，得到椭圆定义→建立恰当的直角坐标系，推导得出椭圆的标准方程→椭圆标准方程的应用。
问题1：椭圆的定义是什么？
学生：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。其中，两定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
教师：注意以下三点(1)两定点F1、F2；(2)距离的和等于常数；（3）常数＞|F1F2|。
设计意图：复习椭圆的定义，为双曲线定义的学习作准备。 问题2： 若椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会是什么？
教师：同画椭圆的过程相同，我们依旧通过动手实验的方式得到这种新的轨迹。
学生：激情高涨，跃跃欲试。
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设计意图：培养学生换个角度考虑问题的发散思维能力，激发学生学习数学的兴趣。
2．实验探究轨迹形状
实验1：将学生每四人分为一组，利用课前准备好的拉链，按照幻灯片图(A)所示动手实验：选择定点F1、F2，将拉链拉开一段，其中一边的端点固定在F1上，在另一边上取一点固定在F2上，且满足∣FF2∣<|F1F2|，把笔尖放在M处，随着拉链的逐渐打开与闭拢，笔尖就画出一条曲线。
学生：按照要求作图。
教师：指导学生作图，强调在另一边上所选的点的位置至关重要，必须满足∣FF2∣<|F1F2|。
设计意图：通过实践，让学生感知双曲线的形成过程，提高他们的动手能力。
（结果展示）
问题1：曲线上的所有点满足什么共同特征？ 学生：|MF1|―|MF2|=|F2F |=常数。
教师：类比椭圆，我们仍将这个常数记作2a。
实验2：使点M到点F2的距离减去到点F1的距离所得的差等于和刚才相同的常数，按照幻灯片图(B)所示再作图，可以得到另一条曲线 。
学生：按照要求作图。 （结果展示）
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问题2：这条曲线上的点又满足什么共同特征？ 学生：|MF2|―|MF1|=|F1F|=常数=2a。
教师：这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支。
问题3：能否用一个式子概括上面两个等式，从而将双曲线上所有点的共同特征用符号加以表示？
学生：||MF1|―|MF2||=常数= 2a。 设计意图：提高学生归纳、整合的能力。
问题4：对比椭圆的定义，能否给出双曲线的定义？(幻灯片打出椭圆定义)
3. 归纳总结，得到定义 学生：对比、归纳、叙述。
教师:（板书双曲线定义）平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点
F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。
其数学表达式为||MF1|―|MF2||=2a或|MF1|―|MF2|=±2a。 4. 推导双曲线的标准方程
教师：类比求椭圆标准方程的过程，接下来我们推导双曲线的标准方程。回忆一下，求椭圆标准方程的步骤是什么？
学生：（1）建系；（2）设点；（3）列式；（4）代入；（5）化简。
教师：引导学生按照上述步骤进行推导。
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(1) 建系：如图，以过焦点F1、F2
的直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴建立直角坐标系,设焦距为2c（c >0）,则F1(- c，0)、F2( c，0)；
(2) 设点：设M(x，y)为双曲线上任意一点； (3) 列式：|MF1|―|MF2|= ±2a；
(4) 代入：∵221()MFxcy，222()MFxcy
2222()()2xcyxcya
(5)化简：(学生演板）将这个方程移项，两边平方得：
2222222()44()()xcyaaxcyxcy
移项，两边再平方，整理得： (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)； 教师：以上推导完全是仿照求椭圆标准方程的过程来进行的。
教师：由双曲线定义知：2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0， 设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得 b2x2-a2y2=a2b2，即
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221xyab ，这就是双曲线的标准方程。 教师：类比焦点在y轴上的椭圆标准方程，如图所示（幻灯片演示），双曲线的焦点分别是F1( 0,c) 与F2( 0, ―c)，a、b、c的意义同
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上，这时双曲线的标准方程是什么？
学生：思考、回答。
教师：需要注意以下两点 (1)双曲线标准方程中，a>0, b>0, 但a不一定大于b; (2)双曲线标准方程中，a、b、c的关系是b2=c2―a2，不同于椭圆方程中b2=a2―c2。
问题：如何判断双曲线的焦点在哪条坐标轴上？
学生：（通过观察方程和图象的对应关系）如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上。
教师：注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上。
设计意图：切实掌握不同位置双曲线标准方程的结构特征。 5. 简单应用，巩固新知
例 双曲线的两焦点为 F1(―10, 0)与F2 (10, 0) ,点 P(8, 0) 在双曲线上，求双曲线的标准方程。
教师：讲解例题，可采用待定系数法和定义法解决本题。
解法1 设双曲线的方程为 22
221xyab
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由已知得：222641
100aab
2264,36ab
于是，所求双曲线的方程为22
16436
xy.（待定系数法）
解法2 由已知得：10c且12218216aPFPF
即 a=8 222
36bca 所求双曲线的方程为22
16436
xy
.（定义法） 问题：若双曲线的两焦点为 F1(0,-10)与 F2(0,10) ,点P(0, 8)
在双曲线上，双曲线的标准方程又如何？
学生：口答。
设计意图：提高学生类比学习的能力。 练习：求适合下列条件的双曲线的标准方程。
(1) a=4, b=3，焦点在x轴上； (2) 2c=12, a=3 ；
(3) 一个焦点的坐标是（―5, 0), 曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于6。
学生：完成练习，展示结果，相互交流。 6.自我小结，知识内化
（1）学生完成下列表格，对比椭圆与双曲线在定义上的异同，切实掌握两种圆锥曲线在不同坐标系下对应的标准方程的形式及焦点位置，明确a、b、c之间满足关系的不同之处。为利用相关知识解决具体问题打下基础。
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椭圆
双曲线
定义 12122(2)MFMFaaFF
12122(2)MFMFaaFF
方程
2
2221(0)yxabab
22
221(0)yxabab
22
22
1(0,0)xyabab 22
221(0,0)yxabab
焦点
(,0)Fc
(0,)Fc
(,0)Fc
(0,)Fc
a、b、c的关系
2220,abbac 2220,0,abbca
（2）布置作业： 课本P61 习题2.3
A组第1, 2题
八、教学后记
本课的学习内容是双曲线的定义、标准方程及简单应用，同椭圆相比，采用了完全相同的学习方法。
首先，学生在教师的指导下动手实验，得到了平面内与两定点距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹，了解了双曲线这种新曲线的形状。这种方式提高了学生参予课堂的积极性，激发了他们学习数学的兴趣。具体操作时，要求学生按照图示，在满足常数小于两定点F1、F2之间的距离｜F1F2︱的情况下作图，虽然减少了可能出现的结果，如常数=︱F1F2︱或常数＞｜F1F2︱对应的情况不能出现，但这样做有利于两种曲线在定义上的对比，而其他情况可以在后续课中加以补充、完善。
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之后，仿照推导椭圆标准方程的过程，采用完全相同的步骤，引导学生推出了焦点在x轴上的双曲线的标准方程，并根据曲线在坐标系中的位置关系得到焦点在y轴上的双曲线的标准方程。
最后，利用双曲线的定义与标准方程进行了简单应用，使学生对这种新曲线的相关知识有了更好的理解。在教学中，以“类比”为主线，使学生明确本课的学习过程及相关知识的学法，充分体现了课堂教学中教师的主导地位与学生的主体地位。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
