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视频标签：双曲线及其标准方程
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视频课题：高中数学人教A版选修1-1第二章2.2.1《双曲线及其标准方程》重庆
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高中数学人教A版选修1-1第二章2.2.1《双曲线及其标准方程》重庆市杨家坪中学
学情分析
授课班级为重庆市铁路中学高二年级学生.
从知识方面来说,学生从必修“平面解析几何初步”到选修“圆锥曲线”,已经学习直线、圆和椭圆,较为系统地研究了他们的性质,对解析几何的基本思想方法有了一定的认识,基本掌握了求曲线方程的一般方法,能对含有两个根式的方程进行化简,并对数形结合、类比推理的思想方法有一定的体会.
从能力方面来说,高二年级的学生,学习能力与理性思维都达到了一定的水平,具备一定的计算、推理、知识迁移、归纳概括、分析问题和解决问题等方面的能力,并对数形结合、类比等思想方法有了一定的感悟.
2教学目标
(一)知识与技能
1、经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程,了解双曲线的定义;
2、知道求曲线方程的五步法,会类比求椭圆标准方程的方法,建立双曲线的标准方程;
3、认识双曲线的标准方程的结构特征,会判断焦点所在的坐标轴,会求特征量 的值;
4、会用待定系数法求解双曲线的标准方程.
(二)过程与方法
1、通过类比椭圆的定义,运用合情推理提出猜想,引入实验与探究,培养学生类比、归纳能力;
2、通过学生画图实验,并探究图形上的动点具有的数量特征,逐步形成对双曲线的定义的正确理解,通过比较认识常数 对轨迹的形状的影响,培养学生通过实验,发现规律的能力;
3、通过对双曲线标准方程的建立过程,进一步巩固求曲线方程的五步法,并训练学生的运算能力;
4、通过对给定条件求双曲线的标准方程及运用标准方程求特征量的过程,进一步巩固双曲线的定义,标准方程的特征,体会坐标法.
(三)情感态度价值观
1、通过情景引入,渗透对数学来源于生活并服务于生活的认识;
2、通过探究学习,渗透对学生的创新意识和协作意识的培养;
3、通过画双曲线的图形和建立双曲线的标准方程,让学生感知图形的曲线美、对称美,方程的简洁美、激发学生学习数学的兴趣.
【设计意图】课堂目标是教学设计的出发点也是归属,三维目标是新课程亮点之一,本课设计的以上学习目标具体,可操作,可检测,通过教学过程的实施来达成这些目标。通过学生展示,教师评价,追问等形式检测过程学习目标的达成情况,通过课堂小结环节检测三维目标的整体达成情况.
3重点难点
(一)教学重点
双曲线的定义和双曲线标准方程的推导
(二)教学难点
1、正确认识双曲线的定义
2、双曲线标准方程的推导
①双曲线标准方程的推导中含两个根式的式子的化简;②说明方程的解为坐标的点均在双曲线上
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】双曲线及其标准方程
(一)新课引入
1、创设情景,引入课题(主题)
①展示用一个平面去截圆锥面,所得到的截口曲线的动画.
②展示两幅生产和生活中的图片:电厂的冷却塔和立交桥,让学生发现其中的双曲线.
【设计意图】①借助多媒体生动、直观的演示,让学生感知双曲线的直观形象;②联系实际创设情境,让学生明确学习双曲线的必要性和重要性;③引入研究主题---双曲线的定义及其标准方程,自然进入下一个环节.
(板书课题:2.3.1 双曲线及其标准方程 指明本节课的学习内容.)
2、类比椭圆,抛出问题
平面内到两定点 、 的距离的和等于常数2a( )的点的轨迹是椭圆,类比椭圆的定义,我们自然会想到平面内与两定点 、 的距离的差等于常数2a的点M的轨迹是什么曲线呢?下面,我们就来探究满足这样的条件的动点M的轨迹是什么曲线?
【设计意图】通过复习回顾椭圆概念,从学生认知的最近发展区入手,类比椭圆引出新问题,将学生引入实验探究.
(二)、实验探究
【设计预设】学习小组可能不都能画出以下的各种图像,若未出现某种图形,用几何画板演示准备代替操作实验.
请根据这些图形,探究以下问题(各题中M点为图形上任意一点)
如图1, 与 具有怎样的数量关系?
______________________________.
.
反之具有上述数量关系的动点M的轨迹是什么?
图1
______________________________.
M
如图2, 、 与
具有怎样的数量关系?
_________________________.
图2
反之具有上述数量关系的动点M的轨迹是什么?
______________________________.
【设计意图】通过引导让学生画出常数 为零和 时 的图形,并探究数量特征,通过活动认识常数 和 时满足 的图形分别是直线和射线.
3、先完成以下探究中①—⑤:
①如图3中,设 ,
、 与 ( )三者具有怎样的数量关系?
_ _ _ _;
②如图4中,设 ,
、 与 ( )三者具有怎样的数量关系?
_ _ _;
③将满足图3和图4中动点M的轨迹用集合P表示为
;
④正常数2a与 的大小关系怎样?__ ;
⑤观察画出的图形,请你为上述集合P的对应的
平面曲线命一个名:曲线叫做 _;
⑥归纳总结,形成定义
双曲线的定义
____________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
其中这两个定点 , 叫做 ,两焦点的距离 =2c叫做 .
(板书双曲线就是集合:“ )
【设计意图】通过引导让学生画出 时 的图形,利用画出的图形来归纳出图形上的动点满足的数量关系,合并得到双曲线的整体形象和几何特征,并用自然语言进行概括,用集合语言板书加以强调。这一过程重点体现双曲线的定义的形成过程,感知双曲线的直观的几何形象,通过动手画图和探究感知双曲线定义中添加条件 的必要性。实验必须多人合作才能完成,渗透对学生合作探究的意识的培养.
(三)、 双曲线标准方程的推导(类比椭圆标准方程的推导)
(1)回顾:求椭圆的标准方程的方法是什么?步骤是哪些?
【设计意图】让学生回顾用五步法建立椭圆的标准方程的步骤,从方法层面引导学生建立双曲线方程的方向及操作步骤,温故知新,推陈出新.
(2)独立完成双曲线标准方程的推导
【设计意图】让学生类比椭圆的标准方程的推导过程,
独立完成双曲线标准方程的推导,再次训练学生化简含有两个根式的方程式,提升学生的运算能力。通过令 ,使方程化成双曲线的标准方程,形式简洁,对称,便于记忆,也让学生体会到数学代换的魅力,数学式子结构的优美。这个过程是本节课的第二个难点,在教学的过程中教师及时给予有困难的同学帮助,准许有困难的同学寻求同伴互助来完成.
焦点在x轴上的双曲线的标准方程为___________________,焦点坐标为________
【设计意图】完善双曲线的标准方程的概念,强调焦点所在坐标轴的位置.
思考1:若如图建系,那么双曲线的方程是什么?
这个方程叫焦点在y轴上的双曲线的标准方程.
【设计意图】类比得出焦点在 轴上的双曲线的标准方程.
成功体验:
【设计意图】会依据具体的双曲线的标准方程来判断焦点所在的坐标轴,初步体会不是由 和 的大小来确定的.
思考2:
【设计意图】学会判断焦点所在的坐标轴的方法:右边是1,左边看 和 的系数的符号,焦点在系数为正的对应坐标轴上.
四、牛刀小试
2、双曲线 的焦距是_______;
3、双曲线 的焦点坐标是_______;
【设计意图】训练学生学会依据标准方程确定出焦点所在坐标轴及特征量 和 的值,巩固对双曲线的定义的了解.
五、实践探索,形成能力
例1、.已知双曲线两个焦点的坐标为 ,双曲线上一点P到 的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.
【设计意图】以练代例,板演解答过程,继续加深对双曲线定义的了解,掌握用待定系数法求焦点在一个坐标轴上的双曲线的标准方程.
知识提炼:一般地求双曲线的标准方程的方法是什么?
变式训练:已知双曲线的焦距为10,双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为______________.
【设计意图】训练求双曲线的标准方程的方法---待定系数法,知道双曲线的标准方程包含焦点在 轴和 轴上两种情况.
六、归纳提炼
1、通过本节课你学会了哪些知识?
2、通过本节课你掌握了哪些方法?
3、通过本节课的学习,你还有其它收获或体会吗?
【设计意图】通过本环节了解本节课三维目标的达成情况,问题1针对知识与技能目标,主要了解陈述性知识(“是什么”层面的知识)的掌握情况;问题2针对过程与方法目标,主要了解程序性知识(“怎样做层面的知识”)的掌握情况;问题3主要了解情感态度价值观维度的目标,学生重点在于对策略性知识(“数学活动经验,一些“为什么”要这样做层面的知识)掌握和过程的体验,能说出多少无关紧要。
七、作业布置
1、必做题: 课本55页 练习2,3题
2、选做题: 课本61页 习题A 组2题
3、课外作业:查阅资料,了解我国自主研发的北斗卫星导航系统是如何确定目标的位置的,原理是什么?
【设计意图】 作业设计有梯度,分为必做题和选做题,注重不同层次的学生的认知水平,学生可以根据自己的实际学习情况完成作业,尽量做到让不同层次的学生都能有所收获.课外作业让学生了解我国自主研发的北斗卫星导航系统定位的原理是利用双曲线相交,既可以了解双曲线在高科技方面的应用,拓展学生数学视野,又可以让学生体会祖国高科技的高水平,激发学生的民族自豪感,渗透爱国情怀的教育.
(八)、板书设计:
2.3.1双曲线及其标准方程
1、 双曲线的定义
2、 双曲线的标准方程推导
3、 双曲线的标准方程
1(学生板演)
板书力求重点突出,结构清晰,美观整齐.
(九)、教学设计评价
1、本课设计亮点:
①三维学习目标具体,可操作,可检测;
②将实验引入了数学课堂;
③采用了探究式学习方法------情景 任务 活动 展示 评价;
④课堂小结是对课堂目标的达成的检测和所学知识的深化,不是可有可无的环节;
⑤分层布置作业 ;
⑥自编导学案,对教材内容加工改造,力争达到教师少讲,学生多练、多展示交流的高效课堂效果.
2、本课设计当心点
①学具的可操作性方面需要教师准确指导,我在自制学具的过程中做了大量试验,认为可以完成,但当心时间较长才能完成;
②画图实验探究的问题的开放性较强,部分学生完成它们会有一定难度,准备在实验过程中加强交流与指导;
③双曲线标准方程的推导中含两个根式的化简是难点之一,利用“以上每步可逆”说明方程的解为坐标的点均在双曲线上其实难度很大,说清楚这个问题需要太多时间,根据课标对双曲线的要求,在此处采用简化处理.
(一)新课引入
1、创设情景,引入课题(主题)
①展示用一个平面去截圆锥面,所得到的截口曲线的动画.
②展示两幅生产和生活中的图片:电厂的冷却塔和立交桥,让学生发现其中的双曲线.
【设计意图】①借助多媒体生动、直观的演示,让学生感知双曲线的直观形象;②联系实际创设情境,让学生明确学习双曲线的必要性和重要性;③引入研究主题---双曲线的定义及其标准方程,自然进入下一个环节.
(板书课题:2.3.1 双曲线及其标准方程 指明本节课的学习内容.)
2、类比椭圆,抛出问题
平面内到两定点 、 的距离的和等于常数2a( )的点的轨迹是椭圆,类比椭圆的定义,我们自然会想到平面内与两定点 、 的距离的差等于常数2a的点M的轨迹是什么曲线呢?下面,我们就来探究满足这样的条件的动点M的轨迹是什么曲线?
【设计意图】通过复习回顾椭圆概念,从学生认知的最近发展区入手,类比椭圆引出新问题,将学生引入实验探究.
(二)、实验探究
【设计预设】学习小组可能不都能画出以下的各种图像,若未出现某种图形,用几何画板演示准备代替操作实验.
请根据这些图形,探究以下问题(各题中M点为图形上任意一点)
如图1, 与 具有怎样的数量关系?
______________________________.
.
反之具有上述数量关系的动点M的轨迹是什么?
图1
______________________________.
M
如图2, 、 与
具有怎样的数量关系?
_________________________.
图2
反之具有上述数量关系的动点M的轨迹是什么?
______________________________.
【设计意图】通过引导让学生画出常数 为零和 时 的图形,并探究数量特征,通过活动认识常数 和 时满足 的图形分别是直线和射线.
3、先完成以下探究中①—⑤:
①如图3中,设 ,
、 与 ( )三者具有怎样的数量关系?
_ _ _ _;
②如图4中,设 ,
、 与 ( )三者具有怎样的数量关系?
_ _ _;
③将满足图3和图4中动点M的轨迹用集合P表示为
;
④正常数2a与 的大小关系怎样?__ ;
⑤观察画出的图形,请你为上述集合P的对应的
平面曲线命一个名:曲线叫做 _;
⑥归纳总结,形成定义
双曲线的定义
____________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
其中这两个定点 , 叫做 ,两焦点的距离 =2c叫做 .
(板书双曲线就是集合:“ )
【设计意图】通过引导让学生画出 时 的图形,利用画出的图形来归纳出图形上的动点满足的数量关系,合并得到双曲线的整体形象和几何特征,并用自然语言进行概括,用集合语言板书加以强调。这一过程重点体现双曲线的定义的形成过程,感知双曲线的直观的几何形象,通过动手画图和探究感知双曲线定义中添加条件 的必要性。实验必须多人合作才能完成,渗透对学生合作探究的意识的培养.
(三)、 双曲线标准方程的推导(类比椭圆标准方程的推导)
(1)回顾:求椭圆的标准方程的方法是什么?步骤是哪些?
【设计意图】让学生回顾用五步法建立椭圆的标准方程的步骤,从方法层面引导学生建立双曲线方程的方向及操作步骤,温故知新,推陈出新.
(2)独立完成双曲线标准方程的推导
【设计意图】让学生类比椭圆的标准方程的推导过程,
独立完成双曲线标准方程的推导,再次训练学生化简含有两个根式的方程式,提升学生的运算能力。通过令 ,使方程化成双曲线的标准方程,形式简洁,对称,便于记忆,也让学生体会到数学代换的魅力,数学式子结构的优美。这个过程是本节课的第二个难点,在教学的过程中教师及时给予有困难的同学帮助,准许有困难的同学寻求同伴互助来完成.
焦点在x轴上的双曲线的标准方程为___________________,焦点坐标为________
【设计意图】完善双曲线的标准方程的概念,强调焦点所在坐标轴的位置.
思考1:若如图建系,那么双曲线的方程是什么?
这个方程叫焦点在y轴上的双曲线的标准方程.
【设计意图】类比得出焦点在 轴上的双曲线的标准方程.
成功体验:
【设计意图】会依据具体的双曲线的标准方程来判断焦点所在的坐标轴,初步体会不是由 和 的大小来确定的.
思考2:
【设计意图】学会判断焦点所在的坐标轴的方法:右边是1,左边看 和 的系数的符号,焦点在系数为正的对应坐标轴上.
四、牛刀小试
2、双曲线 的焦距是_______;
3、双曲线 的焦点坐标是_______;
【设计意图】训练学生学会依据标准方程确定出焦点所在坐标轴及特征量 和 的值,巩固对双曲线的定义的了解.
五、实践探索,形成能力
例1、.已知双曲线两个焦点的坐标为 ,双曲线上一点P到 的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.
【设计意图】以练代例,板演解答过程,继续加深对双曲线定义的了解,掌握用待定系数法求焦点在一个坐标轴上的双曲线的标准方程.
知识提炼:一般地求双曲线的标准方程的方法是什么?
变式训练:已知双曲线的焦距为10,双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为______________.
【设计意图】训练求双曲线的标准方程的方法---待定系数法,知道双曲线的标准方程包含焦点在 轴和 轴上两种情况.
六、归纳提炼
1、通过本节课你学会了哪些知识?
2、通过本节课你掌握了哪些方法?
3、通过本节课的学习,你还有其它收获或体会吗?
【设计意图】通过本环节了解本节课三维目标的达成情况,问题1针对知识与技能目标,主要了解陈述性知识(“是什么”层面的知识)的掌握情况;问题2针对过程与方法目标,主要了解程序性知识(“怎样做层面的知识”)的掌握情况;问题3主要了解情感态度价值观维度的目标,学生重点在于对策略性知识(“数学活动经验,一些“为什么”要这样做层面的知识)掌握和过程的体验,能说出多少无关紧要。
七、作业布置
1、必做题: 课本55页 练习2,3题
2、选做题: 课本61页 习题A 组2题
3、课外作业:查阅资料,了解我国自主研发的北斗卫星导航系统是如何确定目标的位置的,原理是什么?
【设计意图】 作业设计有梯度,分为必做题和选做题,注重不同层次的学生的认知水平,学生可以根据自己的实际学习情况完成作业,尽量做到让不同层次的学生都能有所收获.课外作业让学生了解我国自主研发的北斗卫星导航系统定位的原理是利用双曲线相交,既可以了解双曲线在高科技方面的应用,拓展学生数学视野,又可以让学生体会祖国高科技的高水平,激发学生的民族自豪感,渗透爱国情怀的教育.
(八)、板书设计:
2.3.1双曲线及其标准方程
1、 双曲线的定义
2、 双曲线的标准方程推导
3、 双曲线的标准方程
1(学生板演)
板书力求重点突出,结构清晰,美观整齐.
(九)、教学设计评价
1、本课设计亮点:
①三维学习目标具体,可操作,可检测;
②将实验引入了数学课堂;
③采用了探究式学习方法------情景 任务 活动 展示 评价;
④课堂小结是对课堂目标的达成的检测和所学知识的深化,不是可有可无的环节;
⑤分层布置作业 ;
⑥自编导学案,对教材内容加工改造,力争达到教师少讲,学生多练、多展示交流的高效课堂效果.
2、本课设计当心点
①学具的可操作性方面需要教师准确指导,我在自制学具的过程中做了大量试验,认为可以完成,但当心时间较长才能完成;
②画图实验探究的问题的开放性较强,部分学生完成它们会有一定难度,准备在实验过程中加强交流与指导;
③双曲线标准方程的推导中含两个根式的化简是难点之一,利用“以上每步可逆”说明方程的解为坐标的点均在双曲线上其实难度很大,说清楚这个问题需要太多时间,根据课标对双曲线的要求,在此处采用简化处理.
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
