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视频课题：高中数学人教A版版必修3.1.1 两角差的余弦公式_河南省优课
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高中数学人教A版版必修3.1.1 两角差的余弦公式_河南省优课
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课例 ：两角差的余弦公式
教材选择：人教A版数学4（必修）第三章的3.1.1节
教学设计
一、教学任务分析
本课时的中心任务是建立两角差的余弦公式．通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和（差）角公式打好基础．
本课时是第三章的起始课，从一个背景素材引入，使学生感受实际问题中对研究和（差）角公式的需要．由于和、差、倍之间存在的联系，和角、差角、倍角的三角函数之间必然存在紧密的内在联系，因而需要推出一个公式作为基础。由于三角恒等变换的内容与三角函数没有直接的关系，因此现行的课改教材（人教A版）安排学生学完三角函数后，先学习了平面向量，因此选择了运用向量方法推导公式sinsincoscos)cos(作为建立其它公式的基础，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，降低了思考难度。只有对两角差的余弦公式有了认识，才能够以此为基础推导其他三角恒等变换公式。这是一个逻辑推理过程，也是一个认识三角函数式的特征，体会三角恒等变换特点的过程，教学课时为1课时．
二、教学重点、难点
重点：通过探索得到两角差的余弦公式．
难点：探索过程的组织和适当引导．这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等．
三、教学目标解析
1.知识与技能
通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.
2.过程与方法
通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.
3.情感态度与价值观
通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养
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成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.
四 、教学基本流程
五、教学情景设计
（一）以境激情
我们大家一起来观察这样一组诱导公式
.sin)2
cos(
,cos)cos(
我们会发现当变为或
2
时，
我们会发现其三角函数值与角的正弦和余弦有着密切的关系.当变为
4
或者更一般的角时，其三角函数值与、又会有怎样的关系呢？我们相信这是一个非常重要而且有意义的问题，这就是我们本节将要研究的问题。 （板书课题）3.1.1两角差的余弦公式 （二）合作探究 活动1：
（教师活动）提出问题：究竟该如何计算)cos(？那么)cos(
与、的正弦和余弦有什么样的关系呢？
创设情境，以实例引入课题
明确探索目标及途径
小结 组织学生自主探究 通过例题、练习，加强对公式的理解
布置作业
3
（小组活动）（提出猜想）coscos)cos(
举反例：当=60°，=30°时，动手算一算cos60°-cos30°的值，再与cos30°的值作比较。
函数名与角不应是简单的乘法关系，它不是简单的乘法分配率问题。 活动2:
（教师活动）那该怎么办呢？)cos(与asin，sin，acos，cos之间到底有什么样的关系呢？请同学们回忆三角函数定义，正、余弦三角函数线. （小组讨论）从特殊角出发，考虑角为锐角的特殊情况，以退为进，我们不妨假设a、、都是锐角，构造单位圆中的直角三角形. 展示课件
设计意图：通过设问，激发学生自觉回顾三角函数，为公式的探索提供思路. 活动3：
先复习两个向量数量积的定义与坐标运算公式：
定义式：cosbaba；坐标式：2121yyxxba
．
（小组活动）在平面直角坐标系中作单位圆，以x轴非负半轴为始边作角，，它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B，则sin,cosA，sin,cosB；
试用A、B两点的坐标表示AOB的余弦值.
设计意图：通过带有指向性的问题，使学生意识到，向量方法可能是解决问题的工具，引导学生建立向量使用的数学环境，培养学生自主探索和数形结合的能力.
（教师活动）引导学生经历用向量方法探索求)cos(，结合图形，明确应选择哪几个向量，它们怎么用坐标表示？怎样利用数量积计算公式得到推导结果？
（小组活动）计算OBOA，得到sinsincoscosOBOA；
另一方面，从定义式计算coscosOBOAOBOA 得出结论sinsincoscoscos
设计意图：在教师的引导下，通过求两个已知向量的夹角问题以及三角函数定义的应用得出新的结论，使学生体会和认识严格的推导过程是获取数学结论的方法.由学生得到结论，让学生在数学课上体会成功. 活动4：
4
（教师活动）引导学生思考,,的范围，完善公式的推导.
（小组活动）提出的任意性，而向量夹角为],0[ ，学生产生疑惑：
与向量之间的夹角有什么关系呢？
教师活动：几何画板动态展示，引导学生结合计算机图形语言和三角函数诱导公式对公式的严密性进行论证.
kk2],2,()2(;
2],,0[)1(根据终边相同的角的性质，cos)cos(
设计意图：由于向量工具已被引入，因此将问题归结为角度问题，选用向量方法推导公式，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，大大降低了思考难度.另外，在公式的完善过程中，学生用对比、联系、化归的观点去分析问题、处理问题，使他们在建立公式的过程中发展逻辑推理能力和对知识的迁移应用. 活动5：
（教师活动）引导学生说出两角差的余弦公式的结构特点.
（小组活动）发现公式左边是差角的余弦，右边是单角同名三角函数值乘积之和.
设计意图：培养学生用自己的语言描述公式特征的表达能力。加深对公式的印象，掌握公式特点，为下一步公式的应用做好铺垫. 活动6：例题分析 （教师活动）
讲评例1.利用两角差的余弦公式求15cos的值．
这是通过应用理解公式最基础的练习，在讲评过程中引导学生注意以下几个要点：
（1）三角变换关注角的拆分，易于理解. （2）由于是具体角，拆分过程容易进行. （3）拆分的多样性，决定变换的多样性.
设计意图：学生到此刻，能够利用本课新发现的两角差的余弦公式解决这个问题，呼应前面，同时让学生获得了成果的数学体验. （教师活动） 讲评例题2： 已知,13
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cos),,2(,54sin
是第三象限角，求)cos(的值. 引导学生分析问题，形成如下思路：结合余弦公式,欲求)cos(的值,必先知道cos,sin,cos,sin的值,然后利用公式)(C即可求解.,注意角,所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符号.
设计意图：对题目进行解析，使学生形成解决这类问题的基本思路.
在讲评例题的过程中注重在表述规范性上作出点评和要求，提高学生的数学表达能力.
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（三）反馈练习
活动7：课堂练习 （小组活动）
.sin)2
cos(1
、证明
（教师活动）对学生的证明过程进行点评，使学生认识到该诱导公式是两角差余弦公式的特殊情形.
设计意图：学生独立完成证明，培养学生独立思考的数学思维品质和对数学知识前后联系，建立数学知识网络的能力. （小组活动）
学生上台演板，运用公式解决以下问题：
.
)4
cos(
),
,2
(,5
3cos2的值求、已知
设计意图：学生上台演板，是本节课教学的重要一环， 能充分调动学生学习数学的实践活动能力，使教师了解学生学习情况，是激发学生学习兴趣的有效途径.
（教师活动）对学生的计算过程的每一步进行点评，是学生认识到两角差余弦公式使用时注意利用特殊角的正弦值余弦值.
（小组活动）先请一位同学在黑板上演示，然后再向全体同学讲解.
.
)3
cos(,,17
15
sin3的值求是第二象限角、已知
（教师活动）找几份具有代表性的解答投影，让同学们点评.
设计意图：通过问题的设计，注重培养学生分类讨论的数学思想,在解题的过程中培养学生思维的严密性和逻辑的条理性，同时注重对学生的表述规范性的指导.
（小组活动）学生认真审题，求解问题
.
)cos(),2,2
3(,
43
cos),23,(,32sin4的值求、已知
（教师活动）对学生表述的步骤是否规范作出必要的点评和要求。引导学生一定要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符号.
设计意图：引导学生认识到要使用两角差余弦公式，应该运用同角三角函数关系对四个数据作出准备，培养学生 “举一反三”的解决数学问题的能力. （四）变式训练
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活动8：
（学生活动）
应用本课所学的公式进行以下计算： ?15sin60sin15cos60cos1、
?sin)3
sin(cos)3
cos(2
、
（教师活动）点评，不仅要会公式的正用而且要注意公式的逆用和变形应用. 设计意图：在练习中加深对公式结构和功能的认识，使学生熟练、灵活运用公式；掌握三角式变换的特点，培养学生公式的逆用能力. （小组活动）应用公式计算：
.
cos,
15060,5
3
)30sin(3的值求、已知 （教师活动）引导学生比较已知的角30与所求的角之间的关系，注意构造角以及研究角的范围.
设计意图：引导学生独立思考，得出30)30(，从而具备使用两角差余弦公式的条件，培养学生解决数学问题的化归思想. （五）应用评价 课堂小结：
通过本节课的学习你有哪些收获？
1、探索并证明了两角差的余弦公式, 经历了，猜想— 合作探究—证明 ,利用向量法得出了：cos()coscossinsin
在证明公式的过程中，我们利用了向量这一简洁有效的工具，在后面的学习中我们会继续感受它的便利.
2、所涉及的数学思想与方法:猜想、化归与转化、数形结合、分类讨论. 设计意图：让学生在课堂小结中进行自我评价，回顾当堂所学，交流学习体会. 注意公式特征，正用，逆用和角的拼凑！在探究问题时，结合所学知识，要大胆猜想，细心证明！ 布置作业：
1. P137，2,3,4三选二
)
cos(,
54
coscos,53sinsin2求、选做：
3.课下思考：你能用)cos(,推导出)cos(吗？
设计意图：通过例题、练习、课堂小结、作业等对学生在三维目标方面进一步评价，反思教学，改进方法.
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板书设计：
两角差的余弦公式
()()
cos()coscossinsinC
投影屏幕
板演区域
教学评价：
本节课教师采用了小组活动、合作探究教学法，将获取知识的猜想、论证和应用过程分解成为8个教学活动，在活动中通过教师的问来启发引导学生，通过学生的练来巩固知识，是高效课堂的典型模式之一。教学设计合理，教学目标准确具体，符合课程标准，教学要求符合学生实际，关注学生情感、态度和价值观；教师语言表达准确，教态自然亲切，教学过程流畅，师生双边活动达成，学生在愉悦中获得新知，教学效果好。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
