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视频课题：人教B版高中数学必修四第三章3.1.1两角差的余弦公式（第一课时）海南省优课
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3.1.1 两角差的余弦公式（第一课时）—学案
高一年级 数学必修四
一、教材分析
两角差的余弦公式是高中新教材人教B版必修4的第三章《三角恒等变换》的第一节内容。本节课是三角恒等变换的开头，其两角差的余弦公式为其他变换公式的母公式。变换是重要的数学工具，其三角恒等变换更是三角函数知识与数学变换的融合，是前面所学三角函数知识的持续与发展。
公式的发现和推导是本节课的重点和难点，非常重视让学生经历探究两角差的余弦公式的过程。公式的推导过程设计了几何法和向量法，向量法相较而言比几何法要简便且易推广，这也是为什么教材将三角恒等变换的内容放在向量的内容之后，向量作为工具在公式推导过程中成为了重要的环节。其探究推导过程也体现了学生的抽象思维和数学运算的数学核心素养，数学抽象、直观想象以及数学运算等能力。 二、学情分析
学生在本节课之前已经学习过了任意角的三角函数和向量的知识，这为学生对公式推导探究进行了知识铺垫，但不得不说，不论几何法还是向量法，学生自行进行探究仍然有一定的困难，部分学生可能会出现直接模仿教材的做法，缺乏自己的思考，或者在使用向量法时想当然地认为对于任意角也同样成立。因此，本节课在设计过程中，为提高学生自我探究，自我设问的能力，遂进行了一些引例设计。 三、教学目标 （一）知识与技能
1.猜想、探究两角差的余弦公式的推导过程； 2.初步理解公式的结构及其功能；
3.熟记并应用两角差的余弦公式，解决相关问题. （二）过程与方法
1.通过引例思考，让学生自主发现推导余弦公式的简便方法，培养自我思考的能力；
2.类比引例的过程，将其放入单位圆中研究，培养学生的逻辑思维能力以及
主讲人：叶穗
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回归研究三角函数的本质当中去.
3.引导学生思考向量法解决公式的推导，将几何转化为数学运算的过程，数形结合思想得到充分体现. （三）情感态度与价值观
1. 通过海南中学纸飞机的引入，提高学生学习数学的兴趣; 2. 引例思考完全交给学生，让学生体会自己找到便捷方法的乐趣； 3.通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神. 四、教学重、难点
（一）教学重点:两角差的余弦公式的推导
（二）教学难点:引导学生进行两角差的余弦公式的推导 五、教学过程
（一）创设情境
1. 引入：海南中学高三喊楼活动中学生折的纸飞机
问：如何快速折出15°角？
答：利用456015或304515。
注：部分学生会回答：90°对折6次（应对学生予以鼓励）
问：cos15°能否用特殊角的三角函数来表示？更一般的，)cos(是否可以用,角的三角函数来表示？
答：能。（学生进行猜想）
2. 猜想：若,为两个任意角，coscos)cos(是否成立？ 答：不成立。（学生举例说明）例如：02
2
2145cos60cos，显然不满足.
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△设计意图：设计从实际生活出发的引入，让学生感知数学来源于生活，并应用于生活，激发学生的学习兴趣，经历提出和证明假设的过程，让学生自然地引出并思考数学问题.
（二）引例思考
引例：某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示, 在地平面上有一点A,测得CA,两点间距离约为60米,从A观测电视发射塔的视角(CAD)约为45°,15CAB.求(1)AB；(2)cos15o的值.
师：同学们课前完成了这个引例，请几位同学来分享一下自己的想法 生：预案1—15cos60AB（15cos未知） 预案2—ADADAB2
1
60cos
简便解：作ADCE,在AECRt中
23045cos60ECAE 在DECRt中，63030tan
EC
DE
630230EDAEAD
)26(1560cosADAB
4
2
615cos
ACAB.
△设计意图：引例稍作改动，首先是先在特殊情况下求解出cos15o的值，观察比较仔细的学生会发现，直接利用cos15o=AC
AB
便可直接得出，这个过程符合学生自我思考的过程，不会显得生硬。
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（三）探索思考
1、小组探究一：类比引例计算的方法，尝试利用单位圆推导当,是锐角，且α>β时的两角差的余弦公式。
师：我们如果将引例中的15°换成一般的角，是否能够类比引例的方法去求呢？
生：应该可以.
师：那在类比的过程中，我们为了方便，可以把三角形放入什么当中进行研究？我们常在什么当中研究三角函数的值？
生：将其放在单位圆当中研究.（学生进行探究交流）
△结论：当α，β是锐角，且α>β时，)cos(=__________________. 思考：除了几何法以外，是否还有更简便的方法？
△设计意图：引导学生将引例的方法搬到单位圆当中去研究，并提出该推导过程中的不足之处，发现这个方法若要推广到任意角，还需要多推导几次，较为麻烦。
O
x
y
1
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2.小组探究二：如图，设角、的终边与单位圆的交点分别为BA,，尝试利用向量的数量积公式推导两角差的余弦公式。
师：大家观察一下，我们还常在什么当中能够 接触到角的余弦值？
生：在向量的数量积公式中能够出现夹角的 余弦值
师：那我们能否通过向量的方法来推导下余弦 公式呢？ 生：也许可以.
师：在单位圆中，我们能够构造出两条终边的单位向量吗？ 生：能
师：请同学们尝试一下利用这两条向量推导下两条向量夹角的余弦公式
△结论：上述构图得到)cos(=__________________. 思考：上述公式如何推广到任意角？
△设计意图：学生一时不能够自然而然地联想到要用向量来解决问题，那么需要引导学生，向量的数量积公式当中会出现两个向量夹角的余弦值，而这个就是考虑用向量法的关键点，利用数学运算来找出两向量的夹角，并最后对夹角与任意角的情况进行分析。 六、总结归纳
1.两角差的余弦公式
)cos(=__________________.
2.简记为
)(C=__________________.
3.公式记忆: SSCC
A
α
β
B
O
x
y
1
A β
α
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七、例题讲解 例1.求值
（1）15cos (2)105sin15sin105cos15cos （3）)24sin()21sin()24cos()21cos( （4）15sin30cos15cos60cos
（5）sin2
3
cos21
例2.已知13
5
cos),,2(,54sin，是第三象限角，求)cos(的值.
课后思考：已知53)cos(,21cos，,2
,0
求cos.
八、课堂小结 1.总结
2.布置作业
教材P127 第2、3、4题
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