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视频标签：两角和与差,三角公式,余弦公式
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视频课题：人教B版高中数学必修四第三章3.1.1两角和与差的三角公式（一）正、余弦公式-山西省 - 忻州
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3.1.1 两角和与差的正、余弦公式
整体设计
一、教学分析
本节用一个实际问题做引入，从中提出了两个问题:①实际问题中存在研究像sin(45°+α)这样的包含两个角的三角函数的需要;②实际问题中存在研究像sin(45°+α)与cos(45°+α)这样的包含两角和的三角函数与α、45°单角的三角函数的关系的需要。以实例引入课题也有利于体现数学与实际问题的联系,增强学生的应用意识,激发学生学习的积极性,同时也让学生体会数学知识产生、发展的过程.
利用向量知识探索两角差的余弦公式时,要注意推导的层次性:①在回顾求角的余弦有哪些方法时,联系向量知识,体会向量方法的作用;②结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备;③探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓住主要问题及其线索进行探索,然后再反思,予以完善;④补充完善的过程,既要运用分类讨论的思想,又要用到诱导公式.
本节是数学公式的教学,教师要遵循公式教学的规律,应注意以下几方面:①要使学生了解公式的由来;②使学生认识公式的结构特征,加以记忆;③使学生掌握公式的推导和证明;④通过例子使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答有关问题.
二、三维目标 1、知识与技能
（1）能利用向量有关知识建立两角差的余弦公式; （2）推导并记忆两角和与差的正、余弦公式; （3）两角和与差正、余弦公式的简单应用。 2、过程与方法
师生合作利用向量方法建立两角差的余弦公式，通过余弦公式和诱导公式导出两角和与差的正、余弦公式。通过典型例题进行公式的简单应用。
3、情感、态度、价值观
体会两角差公式在三角运算中所起的基础作用，以及其它公式的推导方
法，让学生感受数学知识间的相互关系。
三、课标解读：
教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式. 教学难点:探索过程的组织和适当引导. 四、教学方法：大三步。 五、问题反馈：
1、两角差余弦公式的推导？ 5、8组 2、如何推导并记忆这些公式？ 8、9、10组 3、公式的正逆应用？化简、计算问题？ 简案26课时的例1？
给函数值求函数值的问题如何解决？ 1、5、6、11组 六、教学设想 （一）导入新课
(问题导入)播放多媒体,出示问题,让学生认真阅读课本引例.在用方程的思想分析题意,用解直角三角形的知识列方程的过程中,提出了两个问题:实际问题中存在研究像sin(45°+α)这样的包含两个角的三角函数的需要;②实际问题中存在研究像sin(45°+α)与cos(45°+α)这样的包含两角和的三角函数与α、45°单角的三角函数的关系的需要。在此基础上,再一般化而提出本节的研究课题进入新课.
（二）新知探究
问题反馈1：如何利用向量方法推导两角差的余弦公式
图1
教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图1,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角α、β,它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B,则OA=(cosα,sinα),OB=(cosβ,sinβ),∠AOB=α-β.
由向量数量积的定义有OA·OB=|OA||OB|·cos(α-β)=cos(α-β), 由向量数量积的坐标表示有
OA·OB=(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ, 于是,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角α-β必须符合条件0≤α-β≤π,以上结论才正确,由于α、β都是任意角,α-β也是任意角,因此就是研究当α-β是任意角时,以上公式是否正确的问题.当α-β是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角θ∈［0,2π),使cosθ=cos(α-β),若θ∈［0,π］,则OA·OB=cosθ=cos(α-β).若θ∈［π,2π］,则2π-θ∈［0,π］,且OA·OB=cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β).
由此可知,对于任意角α、β都有： cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α-β))
此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记为C(α-β).有了公式C(α-β)以后,我们只要知道cosα、cosβ、sinα、sinβ的值,就可以求得cos(α-β)的值了.
问题反馈2：公式的记忆
教师引导学生细心观察公式C(α-β)的结构特征,让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆,特别是运算符号,左“-”右“+”.或让学生进行简单填空,因此,只要知道了sinα、cosα、sinβ、cosβ的值就可以求得cos(α-β)的值了.
类比推出其它公式，学生回答：
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(C(α+β)) sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ(C(α-β)) sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(C(α+β)) （三）应用示例
问题反馈3：公式的正逆应用？化简、计算问题？ 例1(课前的实际问题)利用差角余弦公式求cos15°的值.
活动:先让学生自己探究,对有困难的学生教师可点拨学生思考题目中的角15°,它可以拆分为哪些特殊角的差,如15°=45°-30°或者15°=60°-45°,从而就可以直接套用公式C(α-β)计算求值.教师不要包办,充分让学生自己独立完成,在学生的具体操作下,体会公式的结构,公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法.对于很快就完成的同学,教师鼓励其换个角度继续探究.
学生解:方法一:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30 =
.4
2621222322 方法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°＋sin60°sin45° =
21×.4
2
62
32222 点评:本题是指定方法求cos15°的值,属于套用公式型的,这样可以使学生把注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式,灵活运用公式求值.本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角,但可以拆分成两角差的情形.至于如何拆分,让学生在应用中仔细体会.
变式训练
1.求sin75°,sin15°的值.
学生解:
sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =
.4
2621322322 sin15°=15cos12=2)426(
1=.4
2
6162628 点评:本题是例题的变式,比例题有一定的难度,但学生只要细心分析,利用相关的诱导公式,不难得到上面的解答方法.
2. 【简案例1】求值:sin163°sin223°＋sin259°sin313°. 解:原式=cos(223°-163°)=cos60°=
2
1
.
点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师加以引导,
让学生细心观察,先化简，再结合公式C(α-β)的右边的特征,逆用公式便可得到cos(223°-163°).这就是公式逆用的典例,从而培养了学生思维的灵活性.
例2 已知sinα=54,α∈(2,π),cosβ=13
5
,β是第三象限角,求cos(α-β)的值.
本例由学生自己独立完成. 解:由sinα=
54,α∈(2
,π),得 cosα=.53
)54(1sin122a
又由cosβ=13
5
,β是第三象限角,得 sinβ=.13
12)135(1cos122
所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
=.65
33
)1312(54)135()53(
点评:本题是直接运用公式C(α-β)求值的基础练习,但必须思考使用公式前应作出的必要准备.特别是运用同角三角函数平方关系式求值时,一定要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符号.教师可提醒学生注意这点,养成良好的学习习惯.
变式训练（1） 已知sinα=54,α∈(0,π),cosβ=13
5
,β是第三象限角,求cos(α-β)的值.
解:①当α∈［
2,π)时,且sinα=5
4
,得 cosα=53
)54(1sin122a,
又由cosβ=13
5
,β是第三象限角,得 sinβ=2
2)13
5(1cos1
=1312.
所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
=.
6533)1312(54)135()53(.
②当α∈(0,2)时,且sinα=5
4
,得
cosα=53
)54(1sin122a,
又由cosβ=13
5
,β是第三象限角,得 sinβ=.13
12)135(1cos122
所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
=.65
63
)1312(54)135(53 点评:本题与例2的显著的不同点就是角α的范围不同.由于α∈(0,π),这样cosα的符号可正、可负,需讨论,教师引导学生运用分类讨论的思想,对角α进行分类讨论,从而培养学生思维的严密性和逻辑的条理性.教师强调分类时要不重不漏.
变式训练（2）已知sin(α+
4)=53,且α∈(4, 4
3
),求sinα的值. 活动:教师引导学生观察题目中的条件与所求,让学生探究α、α+4
之间的
关系,也就是寻找已知条件中的角与所求角的关系.学生通过探究、讨论不难得到
α=(α+
4)-4
的关系式,然后利用公式C(α-β)求值即可.但还应提醒学生注意由α的取值范围求出α+4
的取值范围,这是很关键的一点,进而求出sinα.
学生解:∵α=(α+4)-4
∴sinα=sin[(α+4)-4]=sin(α+4)cos4-cos(α+4)sin4
∵sin(α+4)=53,且α∈(4, 43
)
∴α+4∈(2
, )
∴cos(α+4)=54
-
∴sinα=10
2
722542253
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
