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视频标签：两角差的余弦公式
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视频课题：高中数学人教A版版必修3.1.1 两角差的余弦公式_深圳市实验学校
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高中数学人教A版版必修3.1.1 两角差的余弦公式_深圳市第二实验学校
教学设计方案
课题名称
3.1.1两角差的余弦公式
任课教师 刘剑
教学目标(知识与技能、过程与方法、情感与价值)
1. 知识与技能
(1)引导学生建立两角差的余弦公式,掌握两角差的余弦公式,并能用之解决问题。 (2)通过对公式的推导,对学生渗透探究思想、类比思想以及分类讨论思想。
(3)通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。 2. 过程与方法目标：
在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。 3. 情感与态度目标：
(1)通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。
(2)通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。
教学重点
两角差余弦公式的探索过程和简单应用。
教学难点 公式的探索过程的组织和引导。
教学方式 1.自主性学习法：通过预习自学初步了解两角差的余弦公式.
2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.
3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距
教学准备
1.学生准备：预习《两角差的余弦公式》，初步了解公式推理和简单应用。 2.教师准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
板书设计、
媒体使用
多媒体课件，投影，学案，三角板圆规等教具
3.1.1两角差的余弦公式
一、引入：cos15o
=? 四、应用 cos(α-β)=? 例1、2、
例3、
二、探究：向量法 例3变式训练： 000000cos7010cos70cos10sin70sin10(1)结论： 解答：
cos_____________________猜想：
(2)证明：
coscossinsincoscoscoscossinsinabab
又（—）（—）
三：公式：coscoscossinsin（—） 五、小结
结构特征：(1)任意角(2)同名相乘,符号相反 六、作业
2
教材分析 两角和与差的余弦位于人教版必修四第三章第一节，教材分别利用三角函数线和向量方法对两角差的余弦公式进行了推导。其中，利用三角函数线仅对,,-为锐角的情况进行了推导，而,为任意角时教材指出公式的推导是复杂的，并没有给出推导过程。利用向量方法推导两角差的余弦公式简洁明了，充分的体现出了向量的工具性作用。所以这也是教材在编排上的一个考虑：在学生
学完第一章任意角的三角函数后没能直接学习第三章三角恒等变换，而是先学习第
二章平面向量。然而为了更好的构建学生的知识体系，在学生学习完第一章后，能够直接进入第三章的学习，就必须给出另外一种推导两角和与差的余弦公式的方法。因为该公式是全部和、差角公式，以及倍角、半角等公式的基础，是本章公式推导的“源”。所以两角和与差的余弦公式不仅起着承上启下的核心作用，也是高考的重点考点。
学情分析 之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如
何利用任意角，的正弦余弦值来表示cos()，牢固的掌握这个公式，并
会灵活运用公式进行下一节内容的学习。
课堂教学过程
教学阶段任务
教师活动
学生活动 设计意图
(一)引入课题
1.如图所示，一个斜坡倾斜角为30˚，已知作用在物体上的力F与水平方向的夹角为45˚，且大小为10N，在力F的作用下，物体沿斜坡运动了3m，求F做的功.
问题：（1）能不能不用计算器求值 ：
0cos45 = ，0cos30= ，0cos15= ，
0000cos(4530)cos45cos30是否成立？
(2)cos(-)=cos-cos是否恒成立？ 2.复习
（1）三角函数定义：
sin__
=___cosP点坐标(__)
（2）两个向量的数量积：
问题一：不借助计算器如何求cos15°的值？
师：(1)cos15=
cos45o
-cos150
?
cos(α-β)=?
问题二：我们之前已
经学习过任意角角差的正余弦，大家想想在哪呢？
（提示：学生如果想
1学生齐声回答：再思考，计算
2学生思考，复习，齐声回答
设计意图：
1.基于人的由低到高的认知规律，把新内容的起点定的越低学生越容易入门。所以我将原教材例子作了修改，使得学生可以当堂解决这个实际问题，做到课的前后呼应，还能体现数学来源于生活，又应用于生活的思想，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。
2．通过复习，联系旧知，从新旧知之间的联系入手，让学生对新知不陌生。为最
W=_____
3
_____________()
_____________()ab
定义式坐标式 不起来，可以翻教材寻找或交流谈论） 终公式的得出做小小的铺垫。
（二）、探索新知
[探究]0000(cos70,sin70),(cos10,sin10),abab求
________________________
abab
则又 结论： ____________________
（三）、拓展探索
_________________________________
abab
则又
问题二:此证明过程严谨吗？
设为,ab所成的夹角，
范围为____则一定有=吗？
问：
(1):数量积有哪两种算法，怎么计算？
(2)?ab
得到什么结论？
(3)猜测一般性的结论是什么？
(4)怎么证明这个一般性的结论？
(5)此证明过程严谨吗？
(6)此公式的结构特征是什么？
1学生思考回答
2学生思考，小组讨论，相互交流
3学生思考，找特点规律，并总结特点，自主发言，说法不全面时相互补充
设计意图： 1运用向量的知识进行了探究，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，大大降低了思考难度，而且体现了向量与三角函数之间的联系，发挥了向量的工具作用。学生易于理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力。 2这一过程，鼓励学生独立探索和讨论交流，推导过程不要求一步到位，先抓住主要问题进行探索，然后再引导学生反思完善。这也是处理一般探索性问题应遵循
3体会向量方法解决数学问题的简洁性。
（四）、生成公式 （五）、应用提高
例1：
变式训练：cos750
变式训练：cos750 =___________ 课堂练习：(抢答)
(1).cos50°cos20°+sin50°sin20°的
值为( )
1133A. B. C. D.
2
3
2
3
1求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题
2小组抢答，并给与正确的引导和点评总1求解过程
让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题
2.小组抢答
设计意图：
1通过例题和变式训练，进一步加深学生对公式的理解和应用；
2体验公式既可正用、逆用，还可变用；
(cos,sin),(cos,sin),,,abRab设求:问题一能得到什么结论？coscos?
吗coscoscossinsin
问题三：公式：有哪些结构特征？
oo
o
W=|F|||cos(45-30) =40cos15_______________
_______________
s
4
0000(2).cos175cos55sin175cos35_______0000(3).cos(21)cos(24)sin(21)sin(24)_________
25s,3in,13
已知，cos是第三象限角，求cos()。例值：的，4α=
α5
变式训练：
2sin,5
,13
已知，是锐角，
cos()求cos的值。
，4α=α5
结
3学生演板，并给与正确的引导和点评总结
4师生共同分析解答
3学生演板
4学生口
答，并给与正确的引导和点评总结
3使学生初步掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题，培养了学生的灵活思维品质，提高学生的数学交流能力，促进思维的创新。求解过程多让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题
（六）、课堂小结
通过本节课的学习你有哪些收获？ 1.探索并证明两角差的余弦公式 经历了，猜想— 探究—证明 ；利用向量工具得出了公式：
cos()coscossinsin2.所涉及的数学思想方法
数形结合，化归转化，特殊与一般
通过本节课的学习你有哪些收获？ 1知识点上面？ 2数学思想方法上面？
3有何感悟？
学生回顾，总结，归纳，补充 让学生通过自己小结，反思学习过程，加深对公式及其推
导过程（包括
猜想、探索、论证的数学化的过程）的理解。
（七）、分层作业
1.必做：P137，2,3,4，5
342.sinsin,coscos55
cos()
选做：,
求3.课后思考：你能用cos(α-β),推导出cos(α+β)吗？
针对学生的不同需要，以生为本，设计分层作业，让每个层次的学生都有提高。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
