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视频标签：两角差的余弦公式
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视频课题：高中数学人教A版版必修3.1.1 两角差的余弦公式_宁夏 - 银川
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高中数学人教A版版必修3.1.1 两角差的余弦公式_宁夏 - 银川
《两角差的余弦公式》教学设计
教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修4 课题：3.1.1 两角差的余弦公式 课时：1课时 一、 教学内容分析
三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇处，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力与运算能力的重要素材.由于和与差内在的联系性与统一性，教材选择两角差的余弦公式作为基础，使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握.教学没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果.这样安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、发展思维.
因此，本节课的教学重点是：利用诱导公式发现两角差的余弦公式，并运用向量方法证明公式.
二、教学目标
1.掌握两角差的余弦公式，并能正确运用公式进行简单的求值运算； 2.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；
3.在利用诱导公式进行两角差余弦公式的探究过程中，体会“特殊到一般”、“数形结合”、“归纳猜想”等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性.
三、学生学情分析
学生此前已经掌握了任意角三角函数的概念、诱导公式的推导、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标运算等知识.同时，学生多次经历了由特殊到一般，归纳猜想等数学思维方法，基本具备数形结合的能力，这些都为本节课的学习建立了良好的知识基础.
教材根据一个实例提出本章所要研究的主要内容，然后直接提出研究两角差的余弦公式，学生会感到有些突然；教材中用几何方法研究两角差的余弦公式学生不易想到用“割补法”求正弦线、余弦线；用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误.
2
因此，我将本节课的教学难点确定为：发现并证明两角差的余弦公式. 四、教学过程设计 1.创设情景
【情境问题】如图，某城市的电视发射塔CB建筑市郊的一座小山CD上,从山脚A测得AC=50m,塔顶B的仰角(DAB)为60，从A点观测塔顶B的视角（CAB）约为45，求：A,B两点间的距离.
（请学生思考求解过程，某生表述：AB=2AD=2×50×cos6045=100cos15.教师引导说明15角
的余弦值是未知的，而60角、45角的三角函数值是已知的，不妨用它们来求差角6045的余弦值.）
【设计意图】从实际问题出发,有利于强调数学与实际的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性，使其感受到实际问题中对研究差角公式的需要.
【思考1】cos6045如何求角60，45的正弦、余弦值来表示呢？ （请学生大胆尝试说明，并根据自己的结论计算验证.在这个过程中，可将问题一般化：两角差的余弦值与这两个角,的三角函数值之间有怎样的关系呢？引入课题：两角差的余弦公式）
【设计意图】让学生体验如何用反例进行反驳，明确常犯的直接性错误为什么是错的，提出本节课的研究内容，统一对探究目标中“恒等”要求的认识.
2.新知探究
【思考2】在已学过的知识中，有没有类似求两角差余弦的式子呢？
（请学生思考说明：诱导公式coscos，cossin2
.）
coscoscos2
特殊化
【说明】观察以上两式就是把角用特殊角、
2
来替换.由于特殊中往往D
CB
A
45°60°
3
能反映一般规律，我们不妨从上述公式出发，建立研究思路，寻找两角差的余弦公式的一般性规律.
【设计意图】从学生的学习实际出发，回想已有的关于两角差的余弦的式子，寻找新旧知识之间的联系，使两角差的余弦公式的发现与推导是用“随机、自然进入”的方式呈现给学生.
【探究1】cos如何用角和的正弦、余弦值来表示呢？ 本环节以教师引导探究为主， 展现知识的生成过程. 【问题1】根据三角函数的定义,你能写出点12,PP的坐标吗?
（请学生说明，点
12cos,sin,cos,sinPP.）
【问题2】根据三角函数的定义，cos是角的终边与单位圆交点的横坐标.那么，你能在图1中画出角的终边吗？
（请学生说明自己画图的过程，可能会有两种做法：
方法一：由角的终边画出角的终边，然后将角旋转角，得角的终边；方法二：以角的终边为始边旋转角，得角的终边.
设角的终边与单位圆交于点3P，则点3P的坐标为
cos,sin）
【过渡】在已知各点坐标的情况下，我们不妨用向量知识来解决问题. 【问题3】观察图1，有几组向量的夹角相等？
（请学生说明：0312POPPOP，又向量的模相等，0312OPOPOPOP，由向量数量积的坐标运算得：coscoscossinsin.）
【活动】根据上述推导过程，请同学们整理研究思路，在学案（附后表1）上完成图1对应的表格.
β的终边y
xπ-β的终边
1,0()
π的终边
P3P1
P2
O
P0
4
【设计意图】根据三角函数的定义及任意角三角函数的定义，建立几何图形与点的坐标之间的联系——向量，加强新旧知识之间的关联性，使向量方法的引入自然、合理.本环节设计为引导探究的学习方式，将探究一拆分为三个问题，帮助学生建立研究思路.
【探究2】根据上述做法， cos2
的值如何用角,2的正弦、余弦值
来表示呢？
（请学生根据学案中的图2，四人一组完成探究.
教师引导说明角
2
的终边的形成
过程，学生类比cos的推导过程，以向量为工具，根据向量的夹角相等，得：
0312OPOPOPOP
sin2sincos2cos2cos
【设计意图】再一次经历由图形对称得等量关系，运用向量数量积的坐标运算建立数与形的联系，推导两脚差余弦的一个表达式.使学生从知识、方法、策略上多层次的感受式子的推导过程.
【思考3】观察上面两个式子，猜想：若,是任意角，那么
cos ？ （学生观察上式，归纳说明.）
【设计意图】有特殊到一般，猜想任意角两角差的余弦公式，使学生成为数学结论的发现者，这对增强学生学习数学的信心、学会学习数学是有意义的.
【探究3】你能否证明自己的猜想？
β的终边yx
1,0()π2-β的终边P3
π
2
的终边
P2
P1
O
P0
5
（请学生类比上面两式的推导过程，在学案中自主探究完成，并与周围同学相互交流，解决自己存在的问题.其中，差角的形成过程教师可利用几何画板旋转得到，帮助学生认识图形间的内在联系.之后投影展示某生的证明过程，并请该生解说： 0312OPOPOPOP
coscoscossinsin）
【设计意图】通过对猜想进行证明，体现数学知识的严谨性、合理性，使学生对公式的认识上升到理性高度.同时，体会向量方法的作用.
【归纳】两角差的余弦公式：coscoscossinsin 【问题4】观察两角差的余弦公式，我们如记忆公式呢？
（请学生尝试说明，教师从式子左右两边的三角函数名及符号给予归纳：余余正正异相连.）
【设计意图】引导学生总结公式特点，帮助学生记忆公式. 3.应用举例 例.求cos15的值.
（本例由情景问题提出，可引导学生采用不同的方法求值，认识到拆分角的多样性.）
【设计意图】帮助学生掌握两角差的余弦公式的应用，拓展数学思维，体会拆分的多样性，决定变换的多样性.
4.课堂小结
【问题5】本节课你学到了哪些知识，有什么样的心得体会？ （学生说明，师生共同归纳总结.）
（1）两角差的余弦公式：coscoscossinsin； （2）向量作为工具性知识的运用；
（3）解决数学问题的思路：由已知到未知、由特殊到一般.
y
xβ的终边α的终边1,0()
P3
α-β的终边O
P0P2
P1
6
【设计意图】让学生对探究的过程、思路与方法有一个清晰的认识，获得知识和能力的共同进步.
5.作业布置
（1）课本127页，练习2,3题；
（2）查一查“两角差的余弦公式”还有其他证明方法吗？ 【设计意图】巩固所学知识，拓展解决数学问题的思路.
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
