联系本站客服加+微信号15139388181 或QQ：983228566 |
视频标签：两角差的余弦公式
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：高中数学人教A版版必修3.1.1 两角差的余弦公式_重庆市优课
本视频配套资料的教学设计、课件 /课堂实录及教案下载可联本站系客服
高中数学人教A版版必修3.1.1 两角差的余弦公式_重庆市优课
3.1.1两角差的余弦公式
一、教学目标
(1)知识与技能目标:掌握公式的两种证明方法：数形结合法与向量法；学会运用分类讨论思想完善证明；学会正用、逆用、变用公式。
(2)过程与方法目标:展开提出问题、分析问题、解决问题的学习活动，让学生体会从“特殊”到“一般”的探究过程。
(3)情感、态度和价值观目标:发挥学生学习的主动性，鼓励学生大胆质疑、大胆猜想，培养学生的“问题意识”
二、学情分析
《两角差的余弦公式》是第三章第一课时的教学内容，学生已经掌握三角函数和平面向量相关知识，通过三个多月高中学习，富有强烈探索新知的欲望和一定的计算能力和逻辑推理能力，却在寻找知识与知识间的相关联系的能力不够，所以面对该普通班级的学生，本堂课将公式的证明过程放慢了节奏，由此希望学生能够通过自己的努力收获成功。
三、教学重点、难点及关键
重点：两角差的余弦公式的探究和应用 难点：两角差的余弦公式的由来及证明 关键：学生最大的困惑在于如何得到公式
四、教学过程
一、知识回顾，问题引入 快速答出下列三角函数值：
0000
0
0
sin30,sin45,sin60,cos30,cos45,cos60,
知识回顾过度到cos150的值，提出两角差的余弦是否为余弦的差？利用特殊角带入否定了这个猜想。
提问：
例如，α＝60°，β＝30°，可以发现，左边＝cos（60°－30°）＝cos30°
＝
，右边＝cos60°－cos30°＝
－
．显然，对任意角α，β，cos
（α－β）＝cosα－cosβ不成立．
活动引入，体
现数学乐
趣，激发学生的学
习热情。
二、探寻特例，合作探讨
从特殊情况去猜测公式的结构形式． 令cos)cos()cos(,则：
令
sin)2
cos()cos(,2
则：
分析：可见，我们的公式的形式应该与sinsincoscos和均有关系？他们之间存在怎样的代数关系呢？会不会是“＋”、“－”、“”、“÷”？请同学们根据下表中数据，相互交流讨论，提出你的猜想． 用具体值检验猜想的合理性．
令30,60则2
330cos)3060cos()cos(
三角函数 60cos 30cos 60sin 30sin 三角函数值
2
1 23 2
3 2
1 令30,120则90cos)30120cos()cos(＝0 三角函数 120cos
30cos
120sin
30sin
三角函数值
2
1
23 2
3 2
1 学生再举特例进行验证．（各抒己见）
接着再利用单个特殊角的带入发现公式的组成部分，最后由表格中给出的三角函数值大胆猜想出两角差的余弦公式。
三、提出猜想：sinsincoscos)cos( 四、理论证明：
引导探究：研究三角函数问题，我们常用的一种方法就是利用单位圆，在单位圆中，角的余弦值可用余弦线来表示．
让学生体会数学知识的产生、发
展过程． 鼓励学生发挥想象力，大胆
猜测，然后再去验证其合理性，增强
学生探索问题、挑
战困难的勇气．
引导学生运用数形结合的思想给出证明．
我们先来讨论最简单的情况：
、为锐角，且
问题初探：方法一：（利用三角函数线） 证明：在单位圆O中，作OXP1， 交单位圆于点1P，作1
POP， 则XOP．过点P作PM垂直x 轴于M，AOPPA于点1，过点
BOMABA于点作点 ，过点CABPCP于点，作，则：
cosOA，sinAP，且OXPPAC1
sinsincoscossincosAPOACPOBBMOBOM
∴sinsincoscos)cos(（、为锐角，且） 几何画板展示验证，锐角范围外的角等式仍然成立。
用三角函数线的证明方法对任意角的推广很繁难，教材中也未具体推导，
结合学生层次引导学生除了用几何方法外，用代数方法进行更严谨的证明。 问题再探：方法二：（利用向量）
启发思考：我们来仔细观察猜想的结构，等式的左边是差角的余弦，我们在什么地方见到过类似结构？ （引导学生发现，提出证明方法） （学生：向量的数量积！）
证明：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角、，它们终边与单位圆O的交点分别为A、B，则：
加强新旧知识
的联系．
使学生从直观角度加强
对差角公式结构形
式的认识．
让学生经历用
向量知识解出一个数学问题的过程，体会向量
方法的作用．
x
y
P
P1 M B
O
A
C
1
1
y -1
-1
1
1
B)sin,(cos
)sin,(cos
x
0 A
OA=)sin,(cos，OB =)sin,(cos
)sin,)(cossin,(cos|
|||)cos(
OBOAOBOA
=sinsincoscos
∴)cos(=sinsincoscos （0≤≤）
方法小结：对比一下两种证明方法，你认为哪种更简单？向量在我们数学探究过程中是一种非常简洁有效的工具，在今后的学习中我们还将继续领悟向量在数学探究过程中的魅力！ 五、推广完善公式
思考：作为两向量的夹角，有没有限制条件？还会有哪些情况？我们的结论还会成立吗？怎样给出证明？（展示幻灯片，引导学生找到
与夹角之间的关系）
推广完善：令为OA、OB的夹角，
发现 存在，使得、Zmkmk22或 无论哪种情况，都有cos)cos(
sinsincoscoscos)cos(即
小结：两角差的余弦公式： sinsincoscos)cos(
（其中、为任意角，简记为)(C）
运用分类讨论思想．完善证明培养学生实事求是的科学态度．
要求学生对公式的形式加以
分析，体会数学中的对称
3.1.1 两角差的余弦公式
公式展示
证明
1三角函数线法方法： 2向量法 角的推广 三.例1 ，变1
例2，变2
六、知识运用
1、解决引例中的问题:求cos15°的值．
的值吗？、你会求变式75sin1
2、公式的逆用：的值求
15sin23
15cos21
的值、求变式15sin15cos2
3.学以致用：已知,13
5
cos),,2(,54sin
是第三象限角， 求)cos(．
（运用公式时应根据角的范围，正确确定两角正、余弦值的范围） 七、小结反思，公式推广
1、知识性内容的小结，学生总结本节课学习的基础知识及应用的数学思想（数形结合、转化与化归）公式探究的一般步骤：
特殊→猜想→证明
2 、在运用两角差的余弦公式时应注意：
（1）根据角的范围，确定两角正、余弦值的正、负． （2）适当逆用公式，可达到化简计算的目的． （3）灵活选取两角的形式，活用公式．
最后提出问题：适当变换两角差的余弦公式中两角的形式，例如取，你能得到哪些结论？
cos?
八、作业：课后练习题 美． 学生运用所学解决实际问
题．对逆用公式解题加深认识。 活用公式，加深学生对公式中两角形式变化的认识，强化整体思想． 课后思考为下节课
做铺垫
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
