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视频课题：高中数学人教A版版必修3.1.1 两角差的余弦公式_甘肃省 - 白银
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高中数学人教A版版必修3.1.1 两角差的余弦公式_甘肃省 - 白银
3.1.1 两角差的余弦公式教学设计
一、内容和内容解析
（1）内容：两角差的余弦公式是用两角的三角函数值来表示两角差的余弦值。这一内容是任意角三角函数知识的延伸，是后继内容两角和与差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式的知识基础。 (2)内容解析：两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，是在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示两角差的三角函数。对于α，β为任意角时的情况，教材运用向量的知识进行了探究，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，学生易于理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力。
二、教学重点和难点：两角差的余弦公式的探索与证明。 三、目标和目标解析 1、目标：
1) 探究如何用向量数量积证明两角差的余弦公式，体会探究的乐趣，强化学生的参与意识，培养学生分析问题、解决问题的能力。 2) 掌握两角差的余弦公式的结构特征、变形以及应用，培养运用数学知识的能力以及逆用思维的能力。 2、目标解析：
1) 探索公式不应追求一步到位，先不去理会其中细节，抓住主要问题进行探索，然后再作反思，予以完善。因此向量工具的引入，
使得两角差的余弦公式的得出成为一个纯粹的代数过程，大大降低了思考难度，而且体现了向量与三角函数之间的联系，发挥了向量的工具作用。所以这一过程，鼓励学生独立探索。这也是处理一般探索性问题应遵循的原则。在学生思维的困惑处，教师作必要提示。
2) 为了体现“数学是有用的”，我们的数学知识最终都要让学生掌握其应用，两角差的余弦也不例外。通过公式的正用、逆用，达到掌握公式的目的。 四、教学问题诊断分析
1、如何想到要用向量来证明两角差的余弦公式？如果突兀的给出，不符合科学知识产生的自然过程。所以我采用让学生仔细观察公式的构成要素和结构特征，联系所学知识，努力使数学思维显得自然、合理．
2、用向量的数量积公式对两角差的余弦公式的探究过程，少数基础薄弱的学生做不来。这个我的处理是，第一让他们做好比较充分的预习，第二是在所有学生独立探究这个内容时，我走到学生中去，对基础差的学生作指导。
关键的探究过程和推理过程通过幻灯片再借助黑板，即时完成必要的演算推证过程，比单纯的课堂展示事先做好演算推证过程的幻灯片要效果更好。 五、教学过程
1、 提出问题：从学生已有知识出发，从联系与变换的角度提出最为接近探究水平的问题，增强学生的问题意识，使问题探究更为真
实自然，更快贴近教学主题。
问题:不用查表和计算器，求cos15°的值. 思考:
1、15 °能否写成两个特殊角的和或差的形式? 2、 cos(45º-30º) 又如何计算？ 3、cos15º=cos(45º-30º)
=cos45°- cos30°成立吗?
2、新课讲解：由任意角的三角函数定义入手，从图形中直观联系所学向量知识，探索出公式；探索公式先不去理会细节，抓住主要问题进行探索，然后再作反思，予以完善。 公式特点:
Cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ (1)、α、β为任意角
(2)、差角的余弦公式不能按分配律展开，即一般情况下 cos(α-β)≠cos α-cosβ
(3)、记忆：公式右端是同名三角函数之积的和，左端为两角差的余弦，左右两端的连接符号相反 .
3、巩固体会：通过精选例题和练习题的求解，让学生熟悉公式的应用，比如要学会灵活地拆角、凑角；会进行简单的分类求解。
解决问题：计算cos15°的值. 法一、 cos15º=cos(45º-30º)
=cos45ºcos30º+sin45ºsin30º
=
= 法二、 cos15º=cos(60º-45º) 4、例题讲解
例1、已知sinα= ， ，cosβ= ， β是第
三象限的角，求cos（α-β）的值。
例1中去掉
）
，2（
这个条件，解法是否和例2一样？
62
4
23212222452（，）5
-13
解：1）当α为第一象限角时，由sinα= 5
4 得
cosα=
5
3sin-12
又cosβ= 135-
， β 为第三象限的角
∴
13
12-cos-1sin2
∴ cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=
2）当α为第二象限角时，由sinα= 5
4 得cosα=
53-
同理得 cos（α-β）=65
33-
练习
计算：1、cos50º cos20º +sin50ºsin20º
=cos30º
=
2、cos70ºsin130º-sin70ºcos130º
=cos70ºsin(90º+40º)-sin70ºcos(90º +40º
)
=cos70ºcos40º+sin70ºsin 40º
=cos30º=
化简：cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ
=cos[(α+β) – β] =cos α
例2、已知α、β均为锐角，cosα
= 54
， cos（α
+β）=
135
-
，
解：∵ α、β均是锐角 ，∴ 0< α+β<π
3
2
32
63-65
又cosα= 5
4 , cos（α+β）=
13
5-
∴
sinα= 5
3
, sin（α+β）= 1312
∴cosβ=cos[(α+β)- α]
=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
= 6516
5.随堂练习：
在△ABC中，sin(A+B)= ，cosB= ，求cosA
6.小结回顾 ： 1）、公式的特点。
2）、已知一个角的正弦（或余弦）求该角的余弦（或正弦）时，要注意该角所在的象限，从而确定三角函数值的符号。
3）、在差角的余弦公式中， α、β为任意角，所以α、β可以为单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，根据需要灵活的进行拆角或凑角，如β=(α+β)-α，2β=(α+β)-(α-β)等，同时应用公式解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择。 7.作业： P137 2、3、4
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